Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

23. Usa integrales indefinidas para estimar series.n∑ 1Problema 1. [61] Sea s n = la serie armónica. Pruebe queii=1s n ≤ 1 + log n.Usando esta cota verifique que s 10 6 < 15 y s 10 9 < 22.Problema 2. Estime∞∑n − 3 2 con un error menor o igual a 0, 01.n=124. Determina el radio de convergencia de una serie de potencias. Integra y deriva series de potencias ydetermina expresiones para éstas en algunos casos simples.Problema 1. Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias. Analice la convergenciaen los extremos del intervalo, cuando correspondaa)b)c)∞∑n=0∞∑n=1(−1) n (x + 1) n2 n .x 2n+1(2n + 1)! .∞∑ ( x) n(2n)! .2n=0Problema 2. Dada f(x) =∞∑n=0(−1) n+1n + 1 (x − 1)n :a) Encuentre el intervalo de convergencia de f(x).b) Encuentre una fórmula para la serie f(x).25. Utiliza la serie de Taylor para obtener aproximaciones de funciones.Problema 1. Considere el número real √ 1, 1.a) Use polinomio de Taylor de grado 4 para aproximarlo.b) Estime el error cometido.c) Estime el número de términos del polinomio de Taylor para garantizar una exactitud de 10 −10 .Problema 2. Aproxime∫ 101 − cos(x)x 2 dx con una precisión de cinco cifras decimales.Problema 3. Calcule la expansión en serie de potencias de h(x) = cos 2 (x) usando la expansión en seriede cos(x) y el hecho de que 2 cos 2 (x) = 1 + cos(2x).156