EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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12. Calcula áreas entre dos curvas.Problema 1. [46] Calcule el área bajo la curva y = 1 , sobre el eje x y entre las rectas x = 1 y x = 3.x2 Problema 2. [46] Determine el área de la región encerrada por las curvas de ecuacióny = x(x + 1)(x − 3) e y = 5x.Problema 3. [61] Encuentre el área limitada entre la parábola y = x 2 , la recta tangente a esta parábola en(1, 1) y el eje x.13. Calcula el volumen de sólidos de revolución.Problema 1. [61] El barrido de tomografía axial computarizada (TAC) produce vistas de secciones transversalesigualmente espaciadas de un órgano humano. Suponga que la TAC de un hígado humano muestrasecciones transversales con 1,5 [cm] de separación. El hígado tiene 15 [cm] de longitud y las áreas de lassecciones transversales en [cm 2 ] son: 0, 18, 58, 79, 94, 106, 117, 128, 63, 39 y 0. Estime el volumen delhígado.Problema 2. Determine el volumen de:a) Una esfera de radio R.b) Un cono recto de altura h y cuya base tiene radio r.c) Un toro de radios r y R.Problema 3. Encuentre el sólido generado al rotar la región R limitada por los gráficos de y = x ey = x 2 − 2, en torno a la recta de ecuación x = 2. Bosqueje el sólido y determine su volumen.14. Determina el área de una superficie de revolución.Problema 1. [40] Se diseña una lámpara haciendo girar en torno al eje X, la gráfica deCalcule el área de la lámpara.y = 1 3 x 1 2 − x32 , 0 ≤ x ≤13 .Problema 2. Determine el área de la superficie de una esfera.Problema 3. Determine el área de la superficie de un toro de radios r y R.15. Calcula áreas de regiones descritas usando coordenadas polares.Problema 1. [61] Trace la curva representada por cada ecuación y calcule el área que encierra:a) r = 1 + cos θ (cardioide).152
Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2b) r 2 = 4 cos 2θ (lemniscata).Problema 2. [20] Encuentre el área de la región que se encuentra encerrada por la curva r = 2 + cos θ yal exterior del círculo r = 2.16. Determina el valor promedio de una función y conoce el teorema del valor medio para integrales.Calcula centros de masa de láminas y varillas.Problema 1. La temperatura en ◦ C de una varilla metálica de 5 metros de longitud está dada por T (x) =4x a una distancia de x metros de uno de los extremos. Determine la temperatura promedio de la varilla.Problema 2. Calcule el valor promedio ¯f de f(x) = x sen(x 2 ) en [0, √ π]. Determine c tal que f(c) = ¯f.Problema 3. Calcule el centro de masa de una varilla de largo l con densidad de masa ρ(x) = e x donde xes la distancia a uno de sus extremos.Problema 4. [61] Calcule el centro de masa de la región de densidad uniforme limitada por las curvasy = sen x, y = cos x, x = 0 y x = π/4.17. Calcula la longitud de arco de curvas planas.Problema 1. [61] Un halcón vuela con una velocidad de 15 [m/s] a una altura de 180 [m] y accidentalmentesuelta a su presa. La trayectoria parabólica de la presa en caída libre hasta tocar tierra está dada pory = 180 − x 2 /45, donde y es la altura sobre el suelo y x es la distancia horizontal, en metros. Encuentreuna expresión para la distancia que recorre la presa entre el instante en que la sueltan y en el que toca latierra.Problema 2. [40] Determine la longitud de arco de la curva f(x) = x36 + 12x sobre el intervalo [ 1 2 , 2].18. Utiliza la Regla del Trapecio para aproximar integrales numéricamente y conoce cotas para el error.Problema 1. [61] Use la Regla del Trapecio para aproximar la integral ∫ 10 sen(x2 ) dx usando 6 intervalosequiespaciados, indicando una cota para el error.Problema 2. Use la regla del trapecio con n = 10 para estimar el largo de la curva y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 1.19. Aplica criterios de comparación para estudiar la convergencia de integrales impropias.Problema 1. Función Gama de Euler. Para t > 0 se define la funciónPruebe que:a) Γ(1) = 1.Γ(t) =∫ ∞0x t−1 e −x dx.153
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