EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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Problema 2. [20] La temperatura en grados Celcius C está dada en términos de la temperatura en gradosFahrenheit F por C = 5 9(F − 32). Determine la razón de cambio de C con respecto F y la razón decambio de F con respecto C.Problema 3. [20] En el instante t (en meses), la población de chimpancés es deP (t) = 100[1 + 0,3t + 0,004t 2 ].a) ¿Cuánto tiempo tarda la población en duplicar su tamaño inicial P (0)?b) ¿Cuál es la razón de crecimiento instantánea de la población cuando P = 200?Problema 4. Calcule usando la definición, las derivadas de f(x) = x 3 + 2, g(x) = sen 2x, h(x) =cos(x + π), u(x) = tan( x 2) y v(x) = log(x + 1).15. Relaciona los conceptos de continuidad y de diferenciabilidad.Problema 1. [46] Pruebe que la función f definida en el intervalo [0, π] mediante la fórmula⎧⎪⎨ sen x si x ∈ [0, π 2 )f(x) =⎪⎩2 − sen x si x ∈ [ π 2 , π]es diferenciable en todo su intervalo de definición. ¿Qué puede decir de la continuidad de f? ¿Es dfdx unafunción continua ? ¿Es dfdx diferenciable? 140
Matemática .:. Análisis .:. Nivel 116. Calcula derivadas de funciones simples usando reglas de derivación. Usa la Regla de la Cadena.Problema 1. Para cada una de las funciones que siguen encuentre el máximo dominio sobre el cual esdiferenciable y calcule su derivada:a) f(x) = (e x − e −x )e 2x .√x2 + 2b) f(x) =cosec(x) .c) f(x) = sen 2 [cos(x 3 + 1 x )].17. Calcula derivadas de funciones invertibles.Problema 1. Denotando por g a la función inversa de la función f, calcule:a) g ′ (−1) si f(x) = x 3 − 5.b) g ′ (1) si f(x) = e 2−xx .18. Calcula derivadas de funciones trigonométricas inversas.Problema 1. Encuentre el máximo dominio de cada una de las funciones f y g, de modo que sean diferenciablesy calcule su derivada:a) f(x) = arcsen(x) + arctan(x).b) g(x) = cos(arctan(x 2 )) + arccos( √ x 3 + 5).Problema 2. [39] Un globo se eleva desde el suelo a 100 [m] de un observador, a razón de 50 [m/min].¿Con qué rapidez está creciendo el ángulo de elevación de la línea de visión del observador? ¿Cuánto valeesta rapidez cuando el globo se encuentra a una altura de 100 [m] por sobre esa línea?19. Calcula máximos y mínimos en intervalos cerrados.Problema 1. [41] Un problema fundamental en cristalografía es la determinación de la fracción de empaquede una celosía de cristal, que es la fracción de espacio ocupado por los átomos de la celosía, suponiendoque los átomos son esferas sólidas. Cuando la celosía contiene exactamente dos clases diferentesde átomos, puede demostrarse que la fracción de empaque está dada por la fórmula:donde x =r Rf(x) = K(1 + c2 x 3 )(1 + x) 3 ,es la razón de los radios R y r de cada tipo de átomos de la celosía (y por lo tanto,0 < x ≤ 1), c y K son constantes positivas y el dominio de f es el intervalo [0, 1].a) Pruebe que la función f tiene exactamente un valor t tal que f ′ (t) = 0. Encuentre el máximo y elmínimo de f en [0, 1].141
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