Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 111. Analiza la continuidad de una función.Problema 1. Estudie la continuidad de las siguientes funciones f : R → R definidas por:a)b) f(x) = x − [x].⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩tan xxsi x ≠ 0,1 si x = 0.Problema 2. Sea f : R → R tal que la función |f| : R → R, definida por |f|(x) = |f(x)| es continua.¿Es f continua?Problema 3. Dado cualquier número real a ¿existe una función f definida para todo número real que seacontinua en a pero discontinua en cualquier otro punto?12. Usa el teorema del valor intermedio.Problema 1. [46] Demuestre que la función f(x) = x 3 +x+1 tiene al menos una raíz real en el intervalo[−1, 1].Problema 2. [46] Sea f : [0, π cos(x)2] → R la función definida por f(x) =x 2 . Justifique que la imagen de+ 1f es el intervalo [0, 1].13. Reconoce y aplica el resultado: Las funciones continuas en un intervalo cerrado alcanzan su máximoy su mínimo.Problema 1. [46] Decida si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta:Si f : [0, 1] → R es una función continua, entonces el gráfico de f no tiene asíntotas verticales.Problema 2. [32] Los biológos establecieron que la velocidad de la sangre en una arteria es una funciónde la distancia de la sangre al eje central de la arteria. De acuerdo con la ley de Poiseuille la velocidad(en centímetros por segundo) de la sangre que se encuentra a r centímetros del eje central de una arteriaestá dada por S(r) = C(R 2 − r 2 ), donde C es una constante positiva y R es el radio de la arteria. ¿Dóndese producen la máxima y la mínima velocidad de la sangre?14. Comprende y utiliza el concepto de derivada como límite, como variación instantánea y su interpretacióngeométrica.Problema 1. Si en la figura A se muestra el gráfico de una función f entonces ¿cuál de las 5 figurassiguientes representa mejor el gráfico de dfdx ? 139