Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 17. Comprende y aplica el concepto de convergencia y el de límite de una sucesión. Calcula límites desucesiones.Problema 1. Considerando que x = √ 2 se define como el número positivo que satisface x 2 = 2 y que1 < x < 2, se propone el siguiente procedimiento para aproximar x:a) Sea x 0 = 3 2 , es decir, el centro del intervalo [1, 2]. Como x2 = 2 < (x 0 ) 2 = 9 4se concluye que1 < x < 3 2 .b) Con esta información se elige una nueva aproximación x 1 como el centro del nuevo intervalo [1, 3 2 ],es decir, x 1 = 5 4 . Como (x 1) 2 = 2516 < x2 = 2, se concluye que 5 4 < x < 3 2 .c) Con esta información se elige una nueva aproximación x 2 como el centro del nuevo intervalo [ 5 4 , 3 2 ]y se continua razonando como en los pasos anteriores.Obtenga la sucesión de aproximaciones de x = √ 2 que resulta al repetir indefinidamente este proceso,describiendo un paso genérico, es decir, suponga que tiene un intervalo [a k , b k ] que contiene a x e indiquecomo calcula la nueva aproximación x k y el nuevo intervalo [a k+1 , b k+1 ].Encuentre una cota del error cometido por la aproximación k-ésima, es decir, c k tal que |x − x k | ≤ c k yobtenga una aproximación de √ 2 con un error menor que 0, 02.Problema 2. [20] Considere la sucesión {a n }, de término general a n = (−1)n cos(n)n 2 .a) Encuentre un número n tal que |a n | ≤ 10 −5 .b) Pruebe que la sucesión converge a cero.Problema 3. Calcule los siguientes límites:a)√ √ √lím n[ n + 1 − n].n→∞b)[ ( ) n ] 9lím 1 + .n→∞ 11Problema 4. Averigüe si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes y si son acotadas.a)b)c)3 − 4n 2n 2 + 1 .n + 3n + 2 .6n − 1n + 3 .Problema 5. Decida si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. En cada caso demuestre suaseveración.a) Toda sucesión convergente es acotada.137