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la planta i y como b j el requerimiento del local j, suponga en una primera etapa quem∑ n∑a i = b j .i=1 j=1Luego plantee el problema sin suponer esta restricción.Problema 2. Problema de Análisis de Actividad.a) Una empresa dispone de una cantidad fija de recursos (materiales, mano de obra, equipos) para laproducción de un cierto número de productos. Se tiene una tabla con la cantidad del recurso i quese requiere para producir una unidad del producto j y además se dispone de las utilidades que seobtienen de producir una unidad de cada uno de los productos. Plantee el problema de programaciónlineal que permita determinar qué cantidad de producto se debe producir para maximizar lasutilidades.Los datos y variables son:m: número de insumos,n: número de productos,a ij : número de unidades del insumo i para producir una unidad del producto j,b i : la cantidad de insumos i disponibles,c j : utilidad de producir una unidad del producto j,x j : nivel de actividad del producto j.b) Encuentre en su entorno un problema real que se pueda formular usando este modelo. Si es posiblevisite una empresa local y obtenga datos reales para la formulación del modelo.Problema 3. Problema de las Dietas.a) Suponga que se conoce el contenido nutritivo de varios productos, por ejemplo, la cantidad de fósforoy de hierro que contienen algunos alimentos, digamos: pan, leche y carne. También sabemos cualesson los requerimientos de cada uno de los nutrientes (fósforo y hierro) para mantener una dieta sana.El problema consiste en determinar la cantidad de cada uno de los alimentos (pan, carne y leche)minimizando el costo total, pero satisfaciendo los requerimientos de fósforo y hierro. Plantee elproblema de programación correspondiente.b) Generalice a un número n de alimentos y un número m de minerales o nutrientes. Incorpore cualquierotro elemento que usted considere importante para obtener un problema más realista.2. Plantea problemas de programación lineal.Problema 1. a) Una planta generadora de electricidad quema carbón, petroleo y gas. Cada toneladade carbón genera 600 [Kwh], emite 20 unidades de bióxido de azufre y 15 unidades de partículas118
Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 4suspendidas y tiene un costo de 200 dólares. Cada tonelada de petroleo genera 550 [Kwh], emite18 unidades de bióxido de azufre y 12 unidades de partículas suspendidas y tiene un costo de 220dólares. Cada tonelada de gas genera 500 [Kwh], emite 15 unidades de bióxido de azufre, 10 unidadesde partículas suspendidas y tiene un costo de 250 dólares.La Comisión ambiental restringe las emisiones de contaminantes de modo que diariamente no sepuede emitir más de 60 unidades de bióxido de azufre y 75 unidades de partículas suspendidas. Sila planta no quiere gastar diariamente más que 2000 dólares en combustible, ¿cuánto combustible decada tipo debe comprar diariamente para maximizar la cantidad de energía generada?b) Incorpore elementos adicionales al modelo de modo de hacerlo más realista.3. Resuelve gráficamente problemas de programación lineal en dos variables.Problema 1. Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal:Maximizar M = x 1 + 2x 2 , sujeto a las restriccionesx 1 ≤ 25,x 1 + x 2 ≤ 30,−x 1 + x 2 ≤ 10,x 1 , x 2 ≥ 0.Problema 2. Suponga que el conjunto factible de un problema de programación lineal está determinadopor las desigualdades2x + y ≤ 50 y x + 2y ≤ 70.Haga un dibujo del conjunto factible y determine cuáles son las funciones objetivo lineales que alcanzansu máximo en dicho conjunto.4. Conoce y usa las propiedades básicas de los conjuntos factibles en programación lineal.Problema 1. Demuestre que el conjunto factible {x ∈ R n / Ax ≤ b}, con A ∈ M m×n (R), b ∈ R m , esun conjunto convexo.Problema 2. Demuestre que el conjunto de soluciones (mínimos o máximos) de un problema de programaciónlineal es convexoProblema 3. [35] Para el sistema6x 1 − x 2 + 14x 3 − 20x 4 + 7x 5 = −16,2x 1 + x 2 − 5x 3 + 10x 4 − 3x 5 = 11,x 1 + x 2 − 7x 3 + 12x 4 − 4x 5 = 13,119
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