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Problema 2. Determine los posibles valores de los parámetros α y β de modo que la matrizsea invertible.⎛⎜⎝1 α 1β 1 0−1 1 112. Aplica valores y vectores propios para resolver modelos que requieren el cálculo de potencias de unamatriz. Modela problemas de población.Problema 1. [51] En poblaciones que tienen esquemas reproductivos estacionales, un modelo discreto seadapta muy bien para describir la evolución a lo largo del tiempo. Ciertamente el modelo más simple es⎞⎟⎠N(t + 1) = RN(t),donde N(t) es el número de individuos en el período t y R es la tasa de reproducción.En muchas especies la reproducción es altamente dependiente de la edad de los individuos. El siguientemodelo, debido a Patrick Leslie, corresponde a una especie que vive tres estaciones. En cada estaciónllevamos el registro del número de hembras según la edad, formando el vector⎛ ⎞N 0 (t)N(t) =N 1 (t)⎜⎝N 2 (t)⎟⎠ .N 3 (t)El modelo que plantea Leslie es el siguiente⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞N 0 (t + 1) 0 2 1,5 0 N 0 (t)N 1 (t + 1)⎜⎝N 2 (t + 1)⎟⎠ = 0,4 0 0 0N 1 (t)⎜⎝ 0 0,3 0 0⎟ ⎜⎠ ⎝N 2 (t)⎟⎠ .N 3 (t + 1) 0 0 0,1 0 N 3 (t)a) ¿Cómo se interpreta el hecho que la última columna de la matriz es nula?b) ¿Qué proporción de los individuos de 2 estaciones de edad sobreviven y pasan a 3 estaciones deedad?c) ¿Cuántos individuos nacen en cada estación de madres de 2 estaciones de edad?d) Si inicialmente la población estaba distribuida de acuerdo a N 0 = 0, N 1 = 1, N 2 = 2 y N 3 = 3,describa la distribución de la población después de tres estaciones.e) ¿Cuál es el comportamiento de la población en el largo plazo?114
Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 3f )Si una especie tiene matriz de Leslie⎛⎞5 7 1,5⎜⎟A = ⎝0,2 0 0 ⎠0 0,4 0y el vector de población inicial es (1000, 0, 0). ¿Después de cuánto tiempo se triplicará la población?¿Podría decir que la población crece para siempre?13. Conoce criterios de estabilidad para sistemas de evolución de la forma u k = Au k−1 .Problema 1. En un sistema de evolución x k = Ax k−1 . ¿Cómo se interpretan los valores propios complejoscon módulo uno? Este es el caso, por ejemplo, de las matricesA =(0 −11 0)⎛ ⎞0 0 1⎜ ⎟y B = ⎝1 0 0⎠ .0 1 0Problema 2. Modelo de Von Neumann para una economía en expansión. [62] Se supone que en laeconomía hay n ‘bienes’, b 1 , b 2 , . . . , b n . La producción de cada bien b 1 i en el año 1 requiere de los insumosproducidos en el año 0, de acuerdo a la relaciónb 1 i =n∑a ij b 0 j.a) Plantee un sistema de evolución discreto para describir el desarrollo de la economía.b) Considere el caso de tres bienes: acero, comida y trabajo. De acuerdo a la siguiente relaciónj=1⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞A 1 0,4 0 0,1 A 0⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝C 1 ⎠ = ⎝ 0 0,1 0,8⎠⎝C 0 ⎠ .T 1 0,5 0,7 0,1 T 0¿Qué puede decir del comportamiento de la economía en el largo plazo? ¿Se contrae o se expande?14. Investiga acerca de aplicaciones de matrices simétricas.Problema 1. Averigüe qué es el tensor de esfuerzos en Mecánica y el significado de los ejes principales.Relacione estos conceptos con sus conocimientos de matrices simétricas y diagonalización. Explique elsignificado de los vectores propios del tensor de esfuerzos.115
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