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Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 38. Aplica el criterio de la multiplicidad geométrica y algebraica para determinar si una matriz esdiagonalizable.Problema 3. Determine cual de las siguientes matrices es diagonalizable:⎛⎞ ⎛⎞( ) ( ) −1 0 1 −1 4 −22 0 1 0 ⎜⎟ ⎜⎟,, ⎝ −1 3 0 ⎠ , ⎝ −3 4 0 ⎠ .1 2 6 −1−4 13 −1 −3 1 39. Conoce la forma normal de Jordan.Problema 1. En su forma más simple el Teorema de Jordan establece que toda matriz A se puede escribircomo A = B + N, donde B es diagonalizable, N es nilpotente y BN = NB.a) Use este resultado para definir e A .(b) Calcule e A para la matriz A =1/2 1/2−1/2 −1/2).10. Demuestra propiedades de la traza de una matriz.Problema 1. Demuestre las siguientes propiedades de la traza:a) tr(AB) = tr(BA) ∀A, B ∈ M n (R),b) tr(A) = ∑ ni=1 λ i, donde los λ i son los valores propios de A, contados con multiplicidad.Problema 2. Si A, B ∈ M n×m entonces tr(A t B) = tr(AB t ).11. Describe de varias maneras la condición: A es invertible.Problema 1. Indique cuál de las siguientes condiciones son equivalentes a ‘A es invertible’:a) El sistema Ax = 0 tiene a x = 0 como solución.b) det(A) ≠ 0.c) El rango fila y el rango columna de A coinciden.d) La ecuación Ax = b tiene una única solución, cualquiera sea b.e) A −1 existe.f )La función f : R n → R n definida por f(x) = Ax es sobreyectiva.g) Los valores propios de A son reales.113