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Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 3b) Si esta condición no se cumple, se puede obtener una “aproximación” minimizando la distancia entreb y el espacio generado por las columnas de A. Usando este criterio obtenga una solución aproximadadel sistema:x + y + z = 0,x + z = 2,y + z = 1,y − z = 1.c) Sabiendo que en las condiciones dadas arriba la matriz A t A es invertible y mediante un razonamientogeométrico, encuentre la fórmula general¯x = (A t A) −1 Abpara obtener la proyección de b sobre el espacio generado por las columnas de A.Problema 2. Supongamos que en un cierto fenómeno están involucradas dos variables y que estas se hanobservado n veces, (y i , x i ) para i = 1, 2, . . . , n. Determine constantes α, β de modo que los errorese i = y i − α − βx i , i = 1, . . . , n,sean mínimos, en el sentido que minimicen ∑ ni=1 e2 i . Observando que el sistemaα + βx i = y i , i = 1, . . . , n,tiene solución en casos muy especiales, plantee el problema geométrico, como en el Problema 1 y deduzcafórmulas para α y β.Problema 3. Un productor mundial de acero tiene la siguiente tabla de producción anual, medida en milesde toneladas:año 1997 1998 1999 2000 2001producción 4500 4680 4430 4780 4800Usando mínimos cuadrados prediga la producción para el año 2002 y 2003.Problema 4. Debido, por ejemplo, a la calidad de las mediciones que llevaron a obtener las observaciones(x i , y i ), se quiere dar distinto peso a cada observación, de modo de cambiar el criterio de minimizaciónpor:n∑w i e 2 i ,i=1111