Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

a) Calcule el ángulo entre u(x) = x 3 y v(x) = x.b) Demuestre que las funciones pares son ortogonales a las funciones impares.Problema 4. a) Suponga que la matriz P satisface P t = P −1 , es decir que P es una matriz ortogonal.Demuestre que la transformación T : x ∈ R n → P x es una isometría cuando en R n se considera lanorma euclideana.b) Suponga que en R n se considera la norma inducida por el producto interno 〈u, v〉 = u t Av, donde Aes una matriz simétrica definida positiva. ¿Qué condición debe satisfacer P para que la transformaciónT sea una isometría?2. Construye bases ortonormales de un subespacio vectorial.Problema 1. En el espacio de las funciones continuas C[0, 1] consideramos el producto interno〈u, v〉 =∫ 10u(x)v(x)dx.Encuentre una base ortonormal del subespacio generado por {1, x, x 2 , x 3 }.3. Encuentra la proyección de un vector sobre un subespacio de dimensión finita. Interpreta la proyeccióncomo el punto que minimiza la distancia al subespacio.Problema 1. a) Encuentre una fórmula para calcular la proyección de un vector p sobre el subespaciogenerado por el vector u ≠ 0.b) Si A = {u 1 , . . . , u k } es un conjunto ortonormal, determine una fórmula para calcular la proyecciónde un vector p sobre el espacio generado por A.Problema 2. Encuentre la proyección del vector (2, 1, 2, 1) sobre el espacio generado por los vectores(1, 1, 1, 1) y (1, −1, 1, 0).Problema 3. Encuentre a 1 , a 2 y a 3 de modo que la integralsea mínima.∫ 2π0(a 1 sen t + a 2 sen 2t + a 3 sen 3t + t 2 ) 2 dt4. Interpreta geométricamente el método de mínimos cuadrados y lo aplica al ajuste de datos. Es capazde plantear métodos de ajuste con más parámetros.Problema 1. Supongamos que A ∈ M n×m (R) y que el rango de A es m, con n > m.a) Dé una condición para que el sistema Ax = b tenga una solución.110