Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El alumno conoce la noción de producto interno en un espacio vectorial general. El alumno comprendelas proyecciones ortogonales en cualquier dimensión y estudia ciertos aspectos geométricos de los espacioscon producto interno. Resuelve problemas provenientes de algunas aplicaciones usando la noción deproyección. Finalmente el alumno extiende la noción de producto interno a espacios de dimensión infinita.El alumno aborda el problema de valores propios de matrices y en general de operadores lineales en dimensiónfinita. Usando valores propios obtiene nuevas formas de caracterizar la invertibilidad de matrices.El alumno comprende los teoremas básicos de representación canónica, como la diagonalización de matricessimétricas. Conoce la descomposición de matrices en su forma normal de Jordan.En este nivel el alumno encuentra nuevas aplicaciones del álgebra lineal, relativas a problemas de valores propios.El alumno conoce problemas de dinámica de poblaciones y de economía.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Conoce los elementos básicos de espacios vectoriales con producto interno. Calcula ángulos y operacon la desigualdad de Cauchy-Schwarz.Problema 1. Calcule el ángulo entre e 1 = (1, 0, 0, . . . , 0) y el vector (1, 1, 1, . . . , 1) en R N . Interpretegeométricamente y analice qué sucede si N → ∞.Problema 2. Demuestre que si A ∈ M n,m (R) y x ∈ R m entonces‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖,considerando la norma euclideana en R n y R m y la norma ‖A‖ = ( ∑ ni=1∑ mi=1 a2 ij )1/2 , para A ∈M n,m (R).Problema 3. En el espacio C[−1, 1] consideremos el producto interno〈u, v〉 =∫ 1−1u(t)v(t)dt.109