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Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 2Problema 4. Considere el espacio vectorial F (R) de las funciones de R en R. En F (R) considere lasfunciones f a definidas como⎧⎨1 t ≥ a,f a (t) =⎩0 t < a.Demuestre que el conjunto A = {f a / a ∈ R} es linealmente independiente y en consecuencia F (R) tienedimensión infinita ¿Es A una base de F (R)?Problema 5. El conjunto {sen(nθ) / n ∈ N} es linealmente independiente. ¿Es una base de P (2π), elespacio de las funciones periódicas de R en R, de período 2π?5. Encuentra el Núcleo y la Imagen de una aplicación lineal. Conoce la Ley de Silvester y la aplica.Problema 1. Sea f una transformación lineal entre los espacios vectoriales X e Y . Demuestre que si{f(x 1 ), f(x 2 ), . . . , f(x k )} es un conjunto linealmente independiente entonces el conjunto {x 1 , x 2 , . . . , x k }es linealmente independiente.Problema 2. Determine el rango y la nulidad de la matriz⎛1 2 1 3 −12 1 −1 2 2⎜⎝ 1 0 0 −1 04 1 −1 0 1⎞⎟⎠ .Problema 3. Considere la función lineal L : R 4 → R 3 definida por L(x, y, z, w) = (x + y, y + z, z + w).Encuentre el Núcleo de L e indique la dimensión de la Imagen de L ¿Es L sobreyectiva?Problema 4. Encuentre la imagen de la aplicación lineal L : R 3 → P 4 [x] definida porL(a, b, c) = a + bx + cx 2 + x(a + bx) + x 2 (2b − 3cx 2 ).¿Cuál es la nulidad de L?Problema 5. Sea X de dimensión finita y f ∈ L(X, X) tal que Ker(f) = Ker(f 2 ). Demuestre queX = Ker(f) ⊕ Im(f).6. Usa conceptos de Espacios Vectoriales y de Transformaciones Lineales para reinterpretar los sistemasde ecuaciones lineales.Problema 1. Considere la matriz A ∈ M n×m (R) y la función lineal L : R m → R n definida por L(x) =Ax. Interprete las posibles salidas del método de Gauss para resolver la ecuación Ax = b, en términos delnúcleo e imagen de la aplicación L.105