Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

3. Demuestra independencia lineal de vectores y encuentra espacios generados por un conjunto devectores. Comprende el concepto de suma directa de espacios vectoriales.Problema 1. Suponga que {x 1 , x 2 , x 3 } es un conjunto linealmente independiente en R N . ¿Qué puededecir de los conjuntos {x 1 + x 2 , x 2 + x 3 , x 3 + x 1 } y {x 1 , x 1 + x 2 , x 1 + x 2 + x 3 }?Problema 2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos son linealmente independientes en el espacio de las funcionesreales continuas C(R)?a) {cos x, cos 2 x, cos 3 x, ..., cos n x}, n ∈ N.b) {e x , e 2x , x, x 2 }.Problema 3. a)Encuentre el subespacio de R 4 generado por las columnas de la matriz⎛⎞1 −2 0 3 −43 2 8 1 4⎜⎝ 3 3 7 2 3⎟⎠ .−1 2 0 4 −3b) Encuentre el subespacio de P [t] generado por los polinomios t − 2, 2t − 1, 4t − 2, t 2 − t + 1 yt 2 + 2t + 1.Problema 4. Demuestre que C(R) se puede descomponer en suma directa de los subespacios P = {f :R → R / f es par} e I = {f : R → R / f es impar}.4. Conoce y aplica el concepto de base y dimensión de un espacio vectorial.Problema 1. Determine la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales de M n (R):a) El subespacio de las matrices diagonales.b) El subespacio de las matrices triangulares superiores.c) El subespacio de las matrices simétricas y el subespacio de las matrices antisimétricas.d) El subespacio de las matrices tridiagonales.Problema 2. Demuestre que los vectores (3 − i, 2 + 2i, 4), (2, 2 + 4i, 3) y (1 − i, −2i, 1) forman una basede C 3 C , el espacio vectorial C3 sobre el cuerpo C. Encuentre las coordenadas de los vectores canónicos(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en esta base.Problema 3. Encuentre una base de R 4 que contenga a los vectores⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 −11⎜⎝ 3⎟⎠ y 1⎜⎝ 0⎟⎠ .42104