EstÃ¡ndares para la formaciÃ³n en Ciencias de profesores de ... - DIM

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6. Calcula determinantes. Interpreta geométricamente el determinante.Problema 1. Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores (1, 2, 3), (−2, 5, 2) y(7, 6, 5).Problema 2. Calcule el determinante de la matriz⎛2 0 1 33 2 −4 −2⎜⎝ 2 3 −1 09 6 −4 6⎞⎟⎠ .Problema 3. Sean A y B matrices cuadradas. Demuestre que:a) det(AB) = det(A) det(B).( )A 0b) det = det(A) det(B).0 BProblema 4. Si u, v son vectores columna demuestre que det(I + uv t ) = 1 + u t v.7. Aplica la regla de Cramer para resolver sistemas y para demostrar propiedades.Problema 1. Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer:x + 4y − z = 1,x + y + z = 1,2x + 3z = 0.Problema 2. a) Suponga que A es una matriz con coeficientes enteros. Dé una condición sobre el determinantede A para que la matriz A −1 también tenga coeficientes enteros.b) Suponga que A y A −1 tienen coeficientes enteros. ¿Se puede decir que el determinante de A es 1 o−1?8. Modela problemas usando sistemas lineales.Problema 1. Modelo económico de Leontief para los precios en una economía cerrada. [38] Se considerauna economía muy simple en la cual hay solamente tres agentes: agricultor, carpintero y sastre. Sesupone que cada uno de ellos produce una unidad de su producto y que esta es usada en su totalidad por losotros agentes, es decir, se trata de una economía cerrada. El consumo de cada agente queda determinadoen la siguiente tabla de datos100
Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 1Agricultor Carpintero SastreAgricultor 7/16 1/2 3/16Carpintero 5/16 1/6 5/16Sastre 1/4 1/3 1/2Donde las columnas representan los bienes producidos y las filas los bienes consumidos por cada agente.Denotamos por p 1 , p 2 y p 3 el ingreso de cada uno de los agentes de la economía.a) Plantee el sistema que relaciona la matriz A, que aparece en la tabla, con el vector de precios oingresos, para obtener Ap = p.b) Resuelva el sistema. ¿Cómo interpreta el hecho que existan infinitas soluciones?c) Plantee el problema en una economía con n agentes. ¿Qué condición debe satisfacer la matriz A?¿Qué condiciones debe satisfacer la solución p? Explique.Problema 2. Modelo económico de Leontief para la producción en una economía abierta. [38] Seconsidera que la economía está constituida por n rubros R i , cada uno de los cuales produce un artículo A i .Se quiere determinar la cantidad x i del artículo A i que debe producirse con el fin de satisfacer la demandainterna, de los otros rubros, más una demanda externa para exportación.Se dispone de los números c ij que representan la cantidad del artículo A j que se requiere para produciruna unidad del artículo A i .Si C es la matriz de los coeficientes c ij , x es el vector con componentes x i y d es el vector de demandaexterna, entonces el modelo queda determinado porx = Cx + d.a) Explique cómo se obtiene este modelo. Construya un ejemplo.b) ¿Qué condición debe satisfacer x para que tenga sentido económico?c) Investigue las condiciones sobre la matriz C, de modo que se cumpla la condición dada en b).9. Investiga sobre otras aplicaciones de las matrices.Problema 1. a) Averigüe sobre aplicaciones de las matrices al estudio de circuitos eléctricos. En particularexplique el significado de la Ley de Kirchhoff.b) Averigüe sobre el uso de matrices en problemas de tráfico vehicular.c) Encuentre analogías y diferencias entre las dos aplicaciones anteriores.101
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