Estándares para la formación en Ciencias de profesores de ... - DIM

Matemática .:. Estándares para la formación en Matemática de Profesores de Enseñanza MediaESTANDARES PARA LA FORMACIONEN MATEMATICA DE PROFESORESDE ENSEÑANZA MEDIAIntroducciónEl conjunto de estándares que se presentan en este documento apuntan a los fundamentos disciplinarios que laformación de un Profesor de Enseñanza Media de Matemática debería tener. El desarrollo de estos estándaresse enmarca en una tendencia mundial que se basa en la necesidad de medir la efectividad de las políticas educacionalesa todo nivel. En el caso de la formación de profesores, la idea básica es determinar cuáles son loscontenidos disciplinarios fundamentales que todo profesor debe saber y ser capaz de aplicar.Estos tópicos fundamentales podrían ser presentadas en un listado de contenidos, como tradicionalmente sehace. Así se podría decir que una institución cumple con los requerimientos cuando ‘pasan la materia’ que seindica en el listado de contenidos. La definición de estándares, como se hace en este documento, busca cambiarla perspectiva. Ya no importa si se han impartido los contenidos indicados en los programas, si no lo que losestudiantes saben y son capaces de hacer. Este cambio de punto de vista requiere especificar con mayor detallelo que se espera de los estudiantes durante y al término de su proceso de formación.Las habilidades y conocimientos que un estudiante de Pedagogía en Matemática debe tener se ordenan por ejestemáticos y se desarrollan en 4 niveles. Para cada eje y cada nivel se especifica qué es lo que se espera de losalumnos con una frase del tipo “el alumno es capaz de...” a lo cual generalmente le siguen uno o más problemastipo que aclaran y acotan el contenido de la frase.Ciertamente la formación de un profesor requiere de elementos que van más allá de lo disciplinario y que seenmarcan en la metodología del aprendizaje, la didáctica y las ciencias pedagógicas en general. Estos aspectos,si bien son de la mayor importancia, de ningún modo deben opacar lo disciplinario.23

En esta línea quisiéramos llamar la atención sobre un aspecto que nos parece negativo, y que hemos observado enla práctica de la formación de profesores. Se trata de la tendencia a pensar que aquellos contenidos que el profesorno enseñará en la sala de clases de Enseñanza Media son una especie de relleno, que no tiene gran importanciafrente a las materias escolares propiamente tales. Pensamos que este es un profundo error. Un profesor debesaber Matemática, debe conocer su disciplina con tal soltura que le permita sentirse seguro en lo que finalmenteva a enseñar.En la preparación de estos estándares hemos tenido en cuenta los siguientes elementos, los que nos han permitidoseleccionar material y determinar la profundidad requerida para cada tópico seleccionado:.:. La formación de un profesor debe darle soltura en el manejo de todas las materias que deberá enseñar enla sala de clases. Debe otorgar una preparación sólida que le permita al profesor, en el futuro, enfrentar loscambios curriculares que con certeza se presentarán..:. Esta formación debe dar la perspectiva que le permita al profesor ubicarse en el contexto de la Matemática,adquiriendo una visión global de la disciplina..:. El Profesor de Matemática debe tener un manejo del pensamiento matemático y de los fundamentos de laMatemática que le permitan entender cómo ésta se construye..:. El Profesor debe tener una buena noción de los aspectos abstractos de la Matemática, los que muchas vecesestán desarrollados como una necesidad de responder a preguntas fundamentales, sin tener necesariamenteuna aplicación práctica inmediata..:. El Profesor de Matemática debe tener muy claro el rol de la Matemática en la resolución de problemasde la vida diaria. Debe conocer la enorme utilidad práctica de la Matemática y entender que este aspectoestimula continuamente su desarrollo..:. En relación a los dos puntos anteriores, el Profesor de Matemática debe conocer aspectos históricos deldesarrollo de la Matemática, especialmente para comprender qué problemas motivaron los desarrollosmatemáticos y el contexto en el cual se dieron..:. El Profesor de Matemática tiene una clara noción de la importancia de la idea de algoritmo, la cual se haceimprescindible con el advenimiento de los computadores..:. El Profesor de Matemática sabe que la disciplina está en constante creación y conoce desarrollos matemáticosrecientes, como la teoría del caos y la geometría fractal.24

Matemática .:. Estándares para la formación en Matemática de Profesores de Enseñanza MediaEjes para los Estándares de MatemáticasLos estándares que se presentan en este documento se han organizado en 7 ejes temáticos.Los ejes cubren todos los temas que se proponen como fundamentales y los niveles permiten organizar el materialdesde el punto de vista lógico y en general en un nivel creciente de complejidad. Si bien la estructura de losestándares podría sugerir una secuencia de cursos, pensamos que hay posibilidades de interpretación que puedendar origen a mallas curriculares muy distintas, con énfasis diferentes y naturalmente con metodologías diversas.Los ejes temáticos son:Eje 1: Fundamentos y Algoritmos.Eje 2: Estructuras Algebraicas.Eje 3: Algebra Lineal.Eje 4: Análisis.Eje 5: Geometría.Eje 6: Probabilidades.Eje 7: Estadística.Los Estándares de Matemáticas en relación con el Currículo y losEstándares para Enseñanza MediaLos estándares para la formación de profesores de Matemática están en concordancia con los programas deEnseñanza Media vigentes, en el sentido que un profesor formado de acuerdo a éstos posee todos los conocimientosdisciplinarios necesarios para su adecuado desempeño profesional. Así es como, teniendo en cuenta loscambios curriculares recientes, se ha incluido materias como programación lineal, estadística y probabilidadescon bastante profundidad.Aún teniendo en vista lo anterior, pensamos que una implementación curricular de estos estándares para la formaciónde profesores de Matemática, debe incluir un estudio y análisis completo de todo el programa de EnseñanzaMedia. A través de este estudio, el estudiante debe conectar muy fuertemente los amplios conocimientos queposee con los contenidos de la Enseñanza Media y la forma de enseñarlos.25

Para la lectura de este documento de EstándaresPara la adecuada lectura y comprensión de los estándares presentados en este documento es necesario tener encuenta algunos puntos que se precisan.Los autores están conscientes que muchos temas tratados en estos estándares pueden estar ausentes de algunosprogramas, o estando presentes, pueden ser tratados con una menor profundidad. También entienden que laactual planificación curricular de algunos programas no permite, por cuestiones de tiempo, que sus alumnoslogren los estándares aquí establecidos. Es necesario tener presente entonces, que el logro de los estándares noestá dirigido a los actuales estudiantes de pedagogía en Matemática, si no a los futuros. Esta propuesta se concibecomo un primer paso para que gradual y sostenidamente se mejore la formación de profesores. Se entiende quela adopción de estos estándares puede requerir cambios curriculares que lleven a la definición de nuevos cursosy a la readecuación de los tiempos de dedicación a los distintos aspectos de la formación.En una primera lectura se puede llegar a pensar que estos estándares no destacan adecuadamente los temas ylas habilidades correspondientes y que no ponen énfasis en los aspectos más importantes. Una segunda lecturarequiere que el lector comprenda que la profundidad y extensión que un determinado tema tiene, está expresadaen los enunciados y con mayor precisión en los indicadores de logros y ejemplos. De esta manera un tema quetiene solamente un indicador es ciertamente menos importante que un tema al cual se han asociado dos o tresindicadores.También es posible que frente a un determinado tema, el lector se deja llevar por su propia percepción de éstey no repare en la verdadera dimensión que se propone a través de los indicadores y ejemplos. A modo de ejemploconsideremos la llamada ‘Teoría de Grafos’, que es una hermosa teoría matemática que combina aspectosabstractos con múltiples aplicaciones. Una lectura cuidadosa de estos estándares debería llevar a notar que nose propone que el estudiante de pedagogía en Matemática sea un conocedor de la Teoría de Grafos en granprofundidad, si no que éste conozca sólamente los aspectos más elementales de ella: se quiere que el estudianteconozca lo que explícitamente se indica y no más que eso, que corresponde a los problemas emblemáticos y aciertos algoritmos básicos, entre los cuales el único que no es elemental es el algoritmo para Flujo en Redes.26

dfacegEje 1h i jFundamentos y Algoritmos

Matemática .:. Fundamentos y algoritmosFUNDAMENTOS Y ALGORITMOSDescripción GeneralToda la estructura de la Matemática está basada y construida sobre los pilares de la Lógica y la Teoría deConjuntos. Es mediante estos elementos que es posible describir afirmaciones en forma precisa y determinar laveracidad de éstas sin ambigüedad.Un Profesor de Matemática tiene soltura para manejar proposiciones lógicas y operaciones entre conjuntos.Integra estos aspectos abstractos en la demostración concreta de propiedades, proposiciones y teoremas de distintosámbitos de la Matemática. Conoce los distintas esquemas lógicos de demostración, como por ejemplo,demostración por contradicción y es capaz de dar contraejemplos.Pero un nivel superior en la comprensión de la Matemática requiere de un análisis del método matemático en sí.El profesor conoce el método axiomático, sus alcances y limitaciones. Conoce la construcción axiomática de losnúmeros reales, de la geometría y de la Teoría de Conjuntos. Las paradojas clásicas de la Teoría de Conjuntos leson familiares y conoce la manera de evitarlas.El profesor conoce estructuras matemáticas discretas como son los grafos y árboles. Estas estructuras simplesproveen de un rico marco para el desarrollo de la capacidad de inventar demostraciones. Por otra parte éstas se relacionancon numerosas aplicaciones a distintos ámbitos, contestando así de manera muy simple, pero completa,a la pregunta ¿para qué sirve la Matemática? Muchos de los modelos que aquí aparecen pueden ser traspasadosde manera directa al aula. También son muy apropiados para el desarrollo de trabajos de investigación.Finalmente es necesario que el profesor conozca muy bien el concepto de algoritmo y su rol en la Matemáticamoderna. En particular, debe ser capaz de inventar algoritmos para resolver problemas y analizar su complejidaden situaciones simples.29

Cuadro sinópticoNiveles del eje

Nivel 1Nivel 2El estudiante opera con conectivos lógicos yestablece el valor de verdad de una proposición.El alumno comprende la relación entre lasproposiciones lógicas y circuitos eléctricos simples.El estudiante se familiariza con los cuantificadores,sus negaciones y adquiere habilidad para demostrarteoremas simples, usando las técnicas básicas dedemostración.En este nivel el alumno también conoce la definiciónde relación, de función y demuestra propiedades.Describe relaciones entre conjuntos finitos a travésde matrices de incidencia. Identifica funcionesinyectivas, epiyectivas y biyectivas.El estudiante conoce el principio de InducciónMatemática y aprecia su rol en la demostración depropiedades que involucran números naturales.Comprende la definición de sucesiones porrecurrencia.El estudiante es capaz de resolver ecuaciones endiferencias sencillas. Usa ecuaciones en diferenciaspara modelar ciertas situaciones de la vida real,como la dinámica de una población. Analiza elcomportamiento de largo plazo de un sistemadinámico discreto unidimensional y conoce elsistema logístico y su relación con la Teoría delCaos.El estudiante entiende el concepto de algoritmo ylo aplica para resolver problemas sencillos. Analizaun algoritmo en términos del número de operacionesque este requiere.El alumno conoce la estructura de grafos y sefamiliariza con dos problemas paradigmáticosde la Teoría de Grafos como el de los puentes deKönigsberg y el coloreado de mapas. El alumnomodela problemas de la realidad usando grafos yárboles. Conoce y aplica algoritmos para resolverdichos problemas.32

Eje 1: Fundamentos y AlgoritmosNivel 3Nivel 4El estudiante comprende el concepto de cardinalidadde un conjunto y entiende el significado de conjuntoenumerable. El alumno es capaz de determinar lacardinalidad de un conjunto, usando las propiedadesbásicas. Entiende el rol histórico que el conceptode infinito ha jugado en el desarrollo de laMatemática.El alumno utiliza los axiomas de cuerpo y de ordenpara construir los números reales. Usa el axiomadel supremo para demostrar la existencia de númerosirracionales, como 2 y para introducir la nociónde completitud de los números reales de manerarigurosa. El alumno comprende las nocionestopológicas elementales de conjunto abierto, cerrado,de puntos de acumulación. En particular el alumnodemuestra el Teorema de Bolzano-Weierstrass.Comprende la noción de conjunto compacto yreconoce el conjunto de Cantor como uno de ellos.El alumno formaliza el Método Axiomático comométodo para construir la Matemática. Reconoceel Método Axiomático en geometría.Conoce los elementos básicos de la Teoría deConjuntos siguiendo la axiomática de Zermelo, enparticular conoce el significado del Axioma deElección y algunas de sus consecuencias vistosascomo que `todo espacio vectorial posee una base'.El alumno conoce la paradoja de Russell.El alumno comprende la construcción del conjuntode los números naturales a partir de la Teoría deConjuntos. Y a partir de aquí la construcción delos números reales usando las Cortaduras deDedekind, como una alternativa a la construcciónaxiomática basada en el Axioma del Supremo.El alumno critica el método axiomático y conoceel enfoque del método constructivista como unaalternativa para la fundamentación y construcciónde la Matemática.33

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1Nivel 1Enunciado. El estudiante opera con conectivos lógicos y establece el valor de verdad de una proposición. Elalumno comprende la relación entre las proposiciones lógicas y circuitos eléctricos simples. El estudiante sefamiliariza con los cuantificadores, sus negaciones y adquiere habilidad para demostrar teoremas simples, usandolas técnicas básicas de demostración.En este nivel el alumno también conoce la definición de relación, de función y demuestra propiedades de ellas.Describe relaciones entre conjuntos finitos a través de matrices de incidencia. Identifica funciones inyectivas,epiyectivas y biyectivas.El estudiante conoce el principio de Inducción Matemática y aprecia su rol en la demostración de propiedadesque involucran números naturales. Comprende la definición de sucesiones por recurrencia.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Determina el valor de verdad de una proposición y es capaz de manipular algebraicamente expresionesque involucran los conectivos lógicos, simplificando y obteniendo tautologías.Problema 1. [36] Suponiendo que p y r son falsas y q y s son verdaderas determine el valor de verdad des ⇒ (p∧ ∼ r) ∧ ((p ⇒ (r ∨ q)) ∧ s).Problema 2. [36] Determine si P ≡ Q cuando P ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) y Q ≡ p ⇒ r.2. Diseña y analiza circuitos lógicos simples.Problema 1. Un comité formado por cuatro miembros requiere de mayoría para aprobar una moción,siempre que tenga el voto del presidente (poder de veto). Diseñe un circuito para indicar cuándo unamoción es aprobada.35

Problema 2. Demuestre que los circuitos de la figura son equivalentes.3. Comprende el significado de los cuantificadores lógicos determinando el valor de verdad de proposicionesque los contengan. Realiza operaciones de negación con ellos.Problema 1. a)Determine el valor de verdad de la siguiente expresión, donde las variables son númerosreales: ∀y ∃x tal que x 2 + y 2 ≥ 9.b) Obtenga la negación de la proposición en a).Problema 2. (*) 1 La definición de límite de una función real de variable real en un punto es:f tiene límite l en a si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ R, si 0 0” por una condición más débil: “∀ε ∈ (0, 1)”?¿Por qué?c) Para la función f : R → R definida por f(x) = x 2 , el siguiente argumento demuestra que el límitede f en 0 es 0: Dado 0 < ε < 1 se considera δ = ε y se tiene que |x| < δ = ε ⇒ x 2 < ε 2 < ε.Si se toma ahora x ∈ R con |x| ≥ δ = ε ¿se tiene |f(x)| ≥ ε? ¿Existe alguna elección de δ enfunción de ε tal que si |x| ≥ δ ⇒ |f(x)| ≥ ε?d) Para una función f cualquiera, si l es el límite de f en a ¿Es posible elegir un δ en función de ε talque |x − a| ≥ δ ⇒ |f(x) − l| ≥ ε?4. Demuestra teoremas simples usando un argumento por contradicción.Problema 1. Considere la siguiente proposición: Para todo par de números reales x e y se tiene quex + y ≥ 2 implica que x ≥ 1 o y ≥ 1, que se puede escribir como: ∀x, y ∈ R P .a) Escriba la proposición P usando conectivos lógicos.b) Escriba la recíproca y la contrarrecíproca de P .1 En los siguientes tres indicadores, los problemas que se marcan con (*) son ejemplos del indicador correspondiente, pero el contenidoestá presente en otro Eje o Nivel. Los hemos dejado en este lugar para enfatizar la necesidad que el alumno domine el aspecto lógico deéstos.36

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 1c) Muestre que la recíproca de P es falsa.d) Muestre que la contrarrecíproca de P es verdadera.e) ¿Qué puede concluir acerca del valor de verdad de P ?Problema 2. [33] Demuestre por contradicción la siguiente proposición: Los 123 residentes de un edificiotienen edades que suman 3813 años. Entonces existen 100 de ellos, cuyas edades suman al menos 3100.Problema 3. (*) Demuestre, por contradicción, que la cantidad de números primos es infinita (Euclides).Problema 4. (*) Demuestre, por contradicción, que √ 2 no puede ser un número racional.5. Utiliza contraejemplos para probar la falsedad de una afirmación.Problema 1. Demuestre que la siguiente afirmación no es cierta: Si dos esferas se intersectan en más deun punto, la intersección es una circunferencia.Problema 2. (*) Demuestre que la siguiente afirmación es falsa: Para toda sucesión {X n } que converge acero en R, la sucesión de sumas parciales S n = X 1 + X 2 + ... + X n es convergente.6. Demuestra equivalencias lógicas.Problema 1. (*) Demuestre que una función lineal f es inyectiva si y sólo si Ker(f) = {0}.Problema 2. (*) Fijados los puntos F 1 = (−c, 0) y F 2 = (c, 0) con c > 0 y constantes A > 2c, a = A 2 sedefinen los conjuntos:E 1 = {(x, y) ∈ R 2 / d((x, y), F 1 ) + d((x, y), F 2 ) = A},E 2 =}{(x, y) ∈ R 2 / x2a 2 +y2a 2 − c 2 = 1 ,E 3 = {(x, y) ∈ R 2 / √ (x + c) 2 + y 2 + √ (x − c) 2 + y 2 = 2a}.37

Demuestre que E 1 = E 2 = E 3 . En la definición de E 1 d(P, Q) representa la distancia entre los puntos Py Q.Problema 3. (*) Dados vectores p, q ∈ R 3 , compruebe la equivalencia de los siguientes enunciados:a) p y q son linealmente independientes.p · p p · qb)∣ q · p q · q ∣ ≠ 0.( )c) La matrizpq, cuyas filas son p y q, tiene rango mayor o igual a dos.Problema 4. (*) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea L ⊂ V no vacío. Demuestre que lassiguientes condiciones son equivalentes:a) L es subespacio vectorial de V (espacio vectorial con las leyes de composición internas y externasde V).b) Para todo u, v ∈ L, α, β ∈ K ⇒ α · u + β · v ∈ L.c) Para todo u, v ∈ L ⇒ u + v ∈ L y para todo u ∈ L, α ∈ K ⇒ α · u ∈ L.7. Determina el valor de verdad de proposiciones que involucran conjuntos y demuestra propiedades.Problema 1. [36] En cada una de las siguientes afirmaciones demuestre si es verdadera u obtenga uncontraejemplo si es falsa:a) (X \ Y ) ∩ (Y \ X) = ∅ para todo conjunto X e Y .b) X ∩ (Y × Z) = (X ∩ Y ) × (X ∩ Z) para todo conjunto X, Y y Z.Problema 2. [36] Demuestre que si X 1 , ..., X n y X son conjuntos entoncesn⋃ n⋃X ∩ X i = (X ∩ X i ).i=1 i=18. Conoce ejemplos de relaciones de orden y de equivalencia. En casos concretos determina si unarelación es de orden o de equivalencia.Problema 1. [12] Determine si las siguientes relaciones son de equivalencia o de orden. Demuestre susafirmaciones:a) A ∼ B si y sólo si A ⊂ B.b) A ∼ B si y sólo si existe una biyección entre A y B.38

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 19. Encuentra las clases de una relación de equivalencia.Problema 1. [36] Sean R 1 y R 2 relaciones de equivalencia en X.a) Muestre que R 1 ∩ R 2 es una relación de equivalencia en X.b) Describa las clases de equivalencia de R 1 ∩ R 2 en términos de las clases de equivalencia de R 1 y deR 2 .Problema 2. [36] Sea f : X → Y una función epiyectiva y S = {f −1 ({y}) / y ∈ Y }. Muestre que S esuna partición de X. Defina una relación de equivalencia que tenga a S como su conjunto cuociente.10. Representa relaciones entre conjuntos finitos usando matrices.Problema 1. Considere una relación en el conjunto {w, x, y, z} cuya matriz asociada esw x y z⎛⎞w 1 0 1 0x 0 0 0 0y⎜⎝ 1 0 1 0⎟⎠z 0 0 0 1Determine si esta relación es simétrica, refleja y/o transitiva.Problema 2. Dada la matriz asociada a una relación de equivalencia ¿Cómo puede determinar fácilmentela clase de equivalencia de un elemento x?11. Demuestra propiedades de conjuntos y funciones.Problema 1. Sea f : X → Y . Demuestre que f es inyectiva si y sólo si f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) paratodo A, B ⊂ X.Problema 2. Sea f : X → Y una función.a) Si f no es sobreyectiva, se puede modificar el conjunto de llegada Y para definir una nueva funciónque sí es sobreyectiva. Indique cómo hacerlo.b) Si f no es inyectiva, se puede modificar el conjunto de partida para definir una nueva función quesí es inyectiva. Indique cómo hacerlo.12. Estudia funciones en situaciones específicas.Problema 1. Considere la relación en [−1, 1] × [−1, 1] dada por C = {(x, y) ∈ R 2 / x 2 + y 2 = 1}. ¿Esposible encontrar F ⊂ C de modo quea) F sea una función par?39

) F sea una función inyectiva en [−1, 1] × [−1, 1]?c) F sea una función sobreyectiva en [−1, 1] × [−1, 1]?13. Aplica el Principio de Inducción Matemática para demostrar propiedades que involucran númerosnaturales.Problema 1. [57] Un grupo de personas hacen cola a la entrada de un cine. La primera persona en la colaes una mujer y la última es un hombre. Demuestre que en algún lugar de la cola hay un hombre junto auna mujer.Problema 2. Demuestre que para todo n ∈ N, (1 + √ 2) n + (1 − √ 2) n es un número natural.Problema 3. [36] Teniendo en cuenta la serie telescópica intuya una fórmula paray demuéstrela.( ) ( ) ()1 24 + 8 + · · · + 2 n+1 n2 · 3 3 · 4(n + 1) · (n + 2)Problema 4. [33] Considere un ‘tablero de ajedrez’ con 2 n × 2 n cuadrados en el cual se ha sacado uncuadrado. Demuestre que este tablero puede ser cubierto de manera exacta por triminoes de la forma14. Aplica el Principio de Inducción Fuerte.Problema 1. Los números de Fibonacci satisfacen la relación de recurrenciaF n+1 = F n−1 + F n , con F 1 = F 0 = 1.a) Demuestre que para todo n ∈ N se tienen∑F i = F n+2 − 1.i=0b) Demuestre que para todo n ∈ N se tiene(n∑j=0n − jj)= F n .40

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 115. Aplica el Teorema del Binomio de Newton.Problema 1. Evalúe la siguiente expresión(n∑(−1) kk=0nk).Problema 2. Demuestre que(n∑n(1 + x) n−1 =k=1nk)kx k−1 .16. Realiza una investigación histórica sobre el origen de la Teoría de Conjuntos.Problema 1. La Teoría de Conjuntos provee a la Matemática de un lenguaje que hoy nos parece muynatural. Esta teoría es reciente, si consideramos toda la historia de la Matemática. Averigüe cuándo apareceesta teoría por primera vez, quién fué su inventor y qué problemas estaba estudiando cuándo la creó.41

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 2Nivel 2Enunciado. El alumno es capaz de resolver ecuaciones en diferencias sencillas. Usa ecuaciones en diferenciaspara modelar ciertas situaciones de la vida real, como la dinámica de una población. Analiza el comportamientode largo plazo de un sistema dinámico discreto unidimensional y conoce el sistema logístico y su relación con laTeoría del Caos.El estudiante entiende el concepto de algoritmo y lo aplica para resolver problemas sencillos. Analiza un algoritmoen términos del número de operaciones que este requiere.El alumno conoce la estructura de grafos y se familiariza con dos problemas paradigmáticos de la Teoría deGrafos como el de los puentes de Königsberg y el coloreado de mapas. El alumno modela problemas de larealidad usando grafos y árboles. Conoce y aplica algoritmos para resolver dichos problemas.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Es capaz de plantear modelos con ecuaciones en diferencias y de resolverlos en situaciones simples.Problema 1. Resuelva la ecuaciónu n = 2u n−1 + u n−2 , con u 1 = 1 y u 2 = 2.Problema 2. Una persona ahorra mensualmente $50.000 y los deposita en un banco a una tasa de interésdel 1, 2 % compuesto mensualmente. Si A n representa la cantidad al final de n meses, encuentre unarelación de recurrencia y condición inicial para determinar la sucesión {A n }.¿Cuánto tiempo deberá ahorrar para comprar un auto que vale $2.250.000?Problema 3. La población de una especie de ciervo que vive en Estados Unidos se comporta de modo queel crecimiento desde el año n − 1 al año n es dos veces el crecimiento desde el año n − 2 al año n − 1.Escriba una relación de recurrencia que describa el comportamiento de la población de ciervos. Si en elaño 1990 la población era de 200 ciervos y en 1991 la población era de 220 ciervos, ¿cúal será la poblaciónel año 2011?43

2. Analiza el comportamiento de largo plazo de un sistema discreto unidimensional.Problema 1. Considere los siguientes tres modelos que describen el comportamiento de una población:Modelo de Malthus: x k+1 = x k + d x k .Modelo de Velhurst: x k+1 = x k + d x k (1 − x k ).Modelo logístico de May: x k+1 = c x k (1 − x k ).Discuta el significado de los diferentes términos de los modelos. En particular interprete los parámetros cy d.Problema 2. En el caso del modelo logístico y para los valores de c = 1, 5; c = 2, 5 y c = 3, 5 encuentrelos puntos de equilibrio del sistema y analice su estabilidad. Haga el gráfico de iteraciones en cada caso.Problema 3. Para el modelo logístico considere c > 1. Encuentre los puntos de período dos y determinesu estabilidad (analice en términos de los distintos valores del parámetro c).3. Conoce los elementos de un sistema caótico en relación al sistema logístico.Problema 1. Explique, en el contexto del modelo logístico, el significado de:a) Sensibilidad en los datos iniciales.b) Densidad de orbitas periódicas.4. Diseña algoritmos para resolver problemas.Problema 1. a)Diseñe un algoritmo para determinar si un número natural dado es primo.b) Diseñe un algoritmo para determinar un primo mayor que un natural dado.Problema 2. Diseñe un algoritmo que tome como entrada una lista de n palabras y entregue como resultado:a) La lista en orden inverso.b) La lista ordenada alfabéticamente.Problema 3. Diseñe un algoritmo para multiplicar dos enteros.Problema 4. Diseñe un algoritmo que a partir de la matriz de incidencia de un grafo determine si el grafoes conexo.5. Diseña y analiza algoritmos recursivos.Problema 1. Describa el problema de las torres de Hanoi y un algoritmo recursivo para resolverlo. Determineel número de operaciones necesarias.44

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 2Problema 2. Construya un algoritmo recursivo para evaluar un polinomio de grado nn∑p(t) = c i t i ,i=0en t = t 0 . Sea b n el número de multiplicaciones requerido para calcular p(t 0 ). Encuentre una relación derecurrencia para determinar b n y resuélvala.Construya un segundo algoritmo que evalúe directamente el polinomio p en t 0 multiplicando t 0 i vecespara calcular t i 0. Determine el número de multiplicaciones para calcular p(t 0 ). ¿Cuál algoritmo es másconveniente?Problema 3. Construya un algoritmo recursivo para encontrar un cierto valor en una lista ordenada. Losdatos del problema son: una lista s 1 , s 2 , . . . , s n ordenada y un valor ‘clave’. La salida del algoritmo es:el subíndice de ‘clave’, si ‘clave’ está en la lista,N si ‘clave’ no está en la lista.Determine el número de veces que su algoritmo es requerido para resolver el problema en el peor de loscasos.6. Conoce problemas paradigmáticos de la Teoría de Grafos.Problema 1. a)Describa el problema de los Puentes de Königsberg.b) Indique cuál es la solución dada por Euler al problema de los Puentes de Königsberg.c) Verifique si el grafo de la figura tiene un ciclo Euleriano.Problema 2. a)Explique la relación entre el Problema de los Cuatro Colores y la Teoría de Grafos.b) Cada semestre la Facultad dedica dos semanas a los exámenes de los alumnos. Estos exámenes tienenuna duración de dos horas y su programación debe ser tal que un alumno no tenga dos exámenes a lamisma hora. Modele este problema como uno de colorear un grafo. ¿Es deseable que el número decolores sea mínimo?45

7. Encuentra ciclos Hamiltoniano y conoce el Problema del Vendedor Viajero.Problema 1. a)Encuentre un ciclo Hamiltoniano en el grafo de la figurab) Demuestre que el grafo cuya matriz de incidencia es⎛⎞0 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1 10 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 0 1 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 10 1 0 0 1 0 0 1 0⎜⎟⎝1 1 1 1 1 1 1 0 1⎠0 1 1 0 1 1 0 1 0no tiene ciclo Hamiltoniano.c) Describa el Problema del Vendedor Viajero.8. Conoce y aplica la fórmula de Euler para grafos planares.Problema 1. a)Los grafos K 3,3 y K 5 no son planares. Use la fórmula de Euler para demostrarlo.b) ¿Cuál es la importancia de estos dos grafos en el estudio de grafos planares?c) Dé una interpretación tomada de la ‘vida real’ para K 3,3 y K 5 .9. Conoce el problema del árbol de peso máximo en un grafo. Conoce y aplica el algoritmo de Kruskalpara encontrar un árbol de peso máximo en un grafo. Modela problemas usando árboles de pesomáximo.Problema 1. Una empresa forestal iniciará la explotación de 8 plantaciones de pinos. Estas plantacionesestán distribuidas geográficamente de acuerdo a la tabla adjunta de distancias relativas.46

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 21 2 3 4 5 61 / 2,6 4,2 1,8 1,4 3,62 2,6 / 1,8 3,6 2,4 5,23 4,2 1,8 / 5,2 3,4 5,04 1,8 3,6 5,2 / 1,4 3,25 1,4 2,4 3,4 1,4 / 1,86 3,6 5,2 5,0 3,2 1,8 /7 4,0 4,6 3,8 3,0 2,1 1,28 3,0 2,2 2,0 1,8 1,6 2,0Para la explotación de estos recursos es necesario construir caminos que permitan conectar completamentetodas las plantaciones. El costo de construcción de estos caminos es proporcional a su longitud. Determinela manera más barata de construir los caminos requeridos.10. Conoce y aplica el algoritmo de Dijstra para encontrar el camino más corto entre dos nodos de ungrafo.Problema 1. [63] El siguiente grafo muestra el camino al éxito (desde la cuna (C) al Ministerio de Educación(M)). En cada arista se indica el número de años que toma recorrerlo y el número de enemigos quese gana.a) Determine el camino más rápido al éxito.b) Determine el camino más rápido al éxito evitando los nodos c, g y k.c) Determine el camino al éxito que minimiza el número de enemigos que gana.11. Investiga sobre la relación entre el conjunto de Cantor y el sistema logístico.Problema 1. Averigüe qué relación tiene el conjunto de Cantor con el comportamiento caótico del sistemalogístico para valores grandes del parámetro c.47

Problema 2. Averigüe en qué consiste el Shift de Bernoulli. Comprenda cómo se codifica la dinámica delsistema logístico sobre el conjunto de Cantor (para c grande) para relacionarla con el Shift de Bernoulli.12. Averigua sobre el estado actual del Problema de los Cuatro Colores.Problema 1. Investigue el estado actual del Problema de los Cuatro Colores. En particular discuta elsignificado de una demostración por computador y la polémica que se crea en torno a ésta.13. Realiza una investigación bibliográfica sobre el concepto de complejidad de algoritmos.Problema 1. El concepto de complejidad de algoritmos aparece en el estudio de los límites de la computación.En este trabajo se pide realizar una investigación para definir y describir los principales conceptosrelacionados con la complejidad. En particular, determinar el significado de problemas polinomiales, NPy NP completos.48

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. Comprende el concepto de cardinalidad de un conjunto y entiende el significado de conjunto enumerable.El alumno es capaz de determinar la cardinalidad de un conjunto, usando las propiedades básicas. Entiendeel rol histórico que el concepto de infinito ha jugado en el desarrollo de la Matemática.El alumno utiliza los axiomas de cuerpo y de orden para construir los números reales. Usa el axioma del supremopara demostrar la existencia de números irracionales, como √ 2 y para introducir la noción de completitudde los números reales de manera rigurosa. El alumno comprende las nociones topológicas elementales de conjuntoabierto, cerrado, de puntos de acumulación. En particular el alumno demuestra el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Comprende la noción de conjunto compacto y reconoce el conjunto de Cantor como uno de ellos.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Es capaz de demostrar que un conjunto es enumerable.Problema 1. Demuestre que el conjunto L = {(x, y) ∈ R 2 / x, y ∈ Z} es enumerable.Problema 2. Se dice que un número es algebraico si es solución de una ecuación polinomial de la forman∑a i x i = 0,i=0donde n ∈ N y a i ∈ Q. Demuestre que el conjunto de todos los números algebraicos es enumerable.2. Determina la cardinalidad de conjuntos de cardinalidad ℵ o y c.Problema 1. Indique qué cardinalidad tienen los siguientes conjuntos:a) [0, 1] × [0, 1].b) El conjunto de números trascendentales.c) El conjunto de los números algebraicos que además son irracionales.49

Problema 2. Sea f : R → R. ¿Cuál es la cardinalidad del gráfico de f, es decir del conjunto de puntos dela forma {(x, f(x)) ∈ R 2 / x ∈ R}?Problema 3. ¿Cuál es la cardinalidad de la esfera en R N ? Demuestre su afirmación.Problema 4. Indique la cardinalidad del conjunto de las partes de N y del conjunto de las partes finitas deN. Demuestre sus respuestas.Problema 5. a) Defina, a través de fórmulas explícitas, tres funciones f : N → N tales que f(1) = 1,f(2) = 2 y f(3) = 3.b) ¿Cuántas sucesiones {x n } de números naturales tales que x 1 = 1, x 2 = 2 y x 3 = 3 existen?3. Usa los axiomas de Cuerpo y de Orden para deducir propiedades de los números reales.Problema 1. En la formulación axiomática de los números reales el conjunto R, al igual que la suma y lamultiplicación, es un término técnico no definido.a) ¿Cómo se asegura que R es no vacío?b) ¿Cómo se asegura que los números naturales están contenidos en R?c) ¿Cómo se asegura que los números racionales están contenidos en R?Problema 2. Usando solamente los axiomas de cuerpo demuestre que:a) ∀a ∈ R a · 0 = 0.b) ∀a, b ∈ R a · b = (−a) · (−b).c) Si a ∈ R satisface a · a = a entonces a = 0 o a = 1.Problema 3. Usando solamente los axiomas de cuerpo y de orden demuestre que:a) Si a ∈ R, a ≠ 0 entonces a 2 > 0.b) 1 > 0.4. Demuestra propiedades del supremo e ínfimo de un conjunto de números reales.Problema 1. Demuestre que si A y B son subconjuntos acotados de R entonces A∪B es también acotadoy que sup(A ∪ B) = sup{sup A, sup B}.5. Usa el Axioma del Supremo para deducir propiedades de los números.Problema 1. Demuestre la Propiedad Arquimediana a partir del axioma del supremo.Problema 2. Usando el Axioma del Supremo demuestre que existe un número real x tal que x 3 = 2.Problema 3. Demuestre que los siguientes conjuntos son densos en R:50

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 3a) Los números racionales.b) Los números irracionales.c) Los números algebraicos.d) Los números trascendentales.6. Demuestra propiedades que involucran conceptos de topología en R: conjunto abierto, conjuntocerrado, interior de un conjunto, adherencia de un conjunto, frontera de un conjunto.Problema 1. a) Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que un conjunto sea cerradoes que contenga a todos sus puntos frontera.b) Use lo anterior para dar una caracterización de conjunto abierto en términos de sus puntos frontera.Problema 2. Si int(A) denota el interior del conjunto A ⊂ R. Demuestre quea) int(int(A)) = int(A).b) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B)c) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B) y mediante un ejemplo demuestre que la inclusión contraria no esválida.7. Caracteriza nociones topológicas usando sucesiones.Problema 1. Sea F un conjunto de números reales. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes:a) F es un subconjunto cerrado de R.b) Si {x n } es cualquier sucesión convergente de números reales, cuyos elementos pertenecen a F ,entonces lím x n ∈ F .Problema 2. Sea A un subconjunto de R. Demuestre que x es un punto frontera de A si y sólo si existensucesiones de números reales {x n } ⊂ A e {y n } ⊂ A c tales que lím x n = lím y n = x.8. Conoce y aplica el Teorema de Bolzano-Weierstrass.Problema 1. Sea {x n } una sucesión acotada de números reales. Suponga que existe x ∈ R con la siguientepropiedad: Toda subsucesión de {x n } tiene una subsucesión que converge a x. Demuestre que {x n }converge a x.Problema 2. Considere una sucesión de intervalos reales I n con la propiedad I n ⊂ I n−1 para todo n. Sedice que estos intervalos están encajonados.a) Muestre que existen intervalos cerrados encajonados I n tales que ∩ ∞ n=1I n = ∅.51

) Muestre que existen intervalos acotados encajonados I n tales que ∩ ∞ n=1I n = ∅.c) Usando el Teorema de Bolzano-Weierstrass demuestre que si los intervalos encajonados I n son cerradosy acotados entonces ∩ ∞ n=1I n ≠ ∅.9. Realiza una investigación sobre las discusiones en cuanto al significado del infinito en la Matemáticay las contribuciones de Cantor a su comprensión.Problema 1. Investigue sobre el significado y las discusiones sobre la naturaleza del infinito durante laúltima parte del siglo XIX y las fuertes críticas que recibió el trabajo de Cantor. ¿Cuáles fueron los principaleselementos de esta crítica?10. Investiga sobre la Hipótesis del Continuo.Problema 1. Realice una investigación sobre la Hipótesis del Continuo ¿Cuál es su importancia en eldesarrollo de la Matemática? Describa el trabajo de Gödel y de Cohen en relación a la hipótesis delcontinuo.52

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El alumno formaliza el Método Axiomático como método para construir la Matemática. Reconoceel Método Axiomático en geometría. Conoce los elementos básicos de la Teoría de Conjuntos siguiendo laaxiomática de Zermelo, en particular conoce el significado del Axioma de Elección y algunas de sus consecuenciasvistosas como que ‘todo espacio vectorial posee una base’. El alumno conoce la paradoja de Russell.El alumno comprende la construcción del conjunto de los números naturales a partir de la Teoría de Conjuntos. Ya partir de aquí la construcción de los números reales usando las Cortaduras de Dedekind, como una alternativaa la construcción axiomática basada en el Axioma del Supremo.El alumno critica el método axiomático y conoce el enfoque del método constructivista como una alternativapara la fundamentación y construcción de la Matemática.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Conoce los postulados de Euclides para la geometría. Entiende la importancia del 5 ◦ Postulado,tanto desde el punto de vista de la geometría como de la Matemática, y conoce formas equivalentesde formularlo.Problema 1. a) En su afán por demostrar el 5 ◦ postulado de Euclides en términos de los otros cuatro,numerosos matemáticos encontraron formulaciones equivalentes. Indique al menos dos de ellas.b) ¿Porqué era importante saber si el 5 ◦ postulado era consecuencia de los otros postulados? ¿Qué consecuenciatuvo finalmente este esfuerzo para la humanidad?c) Investigue sobre los primeros matemáticos que concibieron geometrías no-euclideanas.2. Conoce una Teoría Axiomática para las geometrías euclideana plana, hiperbólica y esférica.Problema 1. [8] Realice una investigación bibliográfica sobre la formulación axiomática de la geometríaeuclideana plana en el contexto de espacios métricos completos. Haga lo mismo para la geometría hiperbólicay la esférica. ¿Cuáles axiomas son comunes? ¿Cuáles axiomas distinguen las tres geometrías?53

3. Comprende los elementos básicos de una teoría axiomática. Entiende la necesidad de una TeoríaAxiomática de Conjuntos.Problema 1. [8] Desde el punto de vista de la teoría axiomática moderna ¿Cuál es la crítica que se le hacea los Postulados de Euclides? ¿Constituyen un ejemplo de sistema axiomático?Problema 2. [8] Explique los conceptos de: sistema axiomático consistente, axioma independiente y sistemaaxiomático completo. Dé ejemplos.4. Comprende la Paradoja de Russell y la forma de evitarla.Problema 1. a) Muy conocida es la historia del barbero: “En Sevilla hay un barbero que afeita a todoslos hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos”. ¿Quién afeita al barbero?b) Relacione esta paradoja con la paradoja de Russell: Se dice que el conjunto X es ordinario si X ∉ X.Sea A el conjunto de todos los conjuntos ordinarios. ¿Es A ordinario?c) Explique cómo se resuelve esta paradoja.5. Conoce los axiomas de la Teoría de Conjuntos.Problema 1. [67] En la teoría axiomática de conjuntos:a) ¿Qué axioma garantiza que existe al menos un conjunto?b) ¿Qué axioma garantiza que existe un conjunto infinito?c) ¿Qué axioma garantiza que existen conjuntos no enumerables?6. Comprende la construcción de los naturales a partir de los axiomas de la Teoría de Conjuntos.Conoce los Axiomas de Peano.Problema 1. [67] Demuestre las siguientes propiedades de los números naturales:a) Todo número natural es un conjunto ordinario.b) N no es un número natural.c) N es un conjunto ordinario.d) Si n y m son números naturales entonces n ∉ m o m ∉ n.(El Axioma de Infinito dice “Existe un conjunto, denotado por N, que tiene a todos los números naturalescomo sus elementos”).54

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. Nivel 47. Conoce el Lema de Zorn y sabe que es equivalente al axioma de Elección. Demuestra teoremas comoconsecuencias del Lema de Zorn.Problema 1. Sea X subespacio vectorial del espacio vectorial V . Demuestre que existe un subespaciocomplementario de X.Problema 2. Demuestre que en un anillo conmutativo con unidad, todo ideal está contenido en un idealmaximal.8. Comprende las cortaduras de Dedekind y demuestra propiedades de los números reales definidosde esta manera.Problema 1. [67] Sea (L, U) un número real (es decir una cortadura de Dedekind). Demuestre que:a) Si α ∈ L y β ∈ U, entonces α < β.b) Si α 1 ∈ L y α 2 < α 1 , entonces α 2 ∈ L.c) Si β 1 ∈ U y β 1 < β 2 , entonces β 2 ∈ U.d) Si α 1 ∈ L, entonces existe algún α 2 ∈ L tal que α 1 < α 2 .Problema 2. [67] Demuestre la propiedad Arquimediana:Para todo par de números reales positivos (L 1 , U 1 ), (L 2 , U 2 ) tales que (L 1 , U 1 ) < (L 2 , U 2 ) existe unnatural N tal queN(L 1 , U 1 ) > (L 2 , U 2 ).Aquí N en sí mismo es considerado una cortadura de Dedekind, con la inclusión canónica.Problema 3. Usando cortaduras de Dedekind demuestre que existe un número real x tal que x 3 = 2.Problema 4. En la construcción de Dedekind ¿qué axiomas de la Teoría de Conjuntos se requieren paragarantizar la existencia de los números reales?9. Averigua sobre las contribuciones de David Hilbert a la Matemática y sus fundamentos.Problema 1. a) Averigüe sobre las investigaciones de Hilbert en geometría. ¿Qué importancia tienenen el desarrollo de los fundamentos de la Matemática?b) ¿Cómo se distingue el enfoque de Hilbert con el enfoque constructivista?Problema 2. Averigüe sobre la presentación de Hilbert en Paris el año 1900. ¿Existe algo parecido para elaño 2000?55

10. Realiza una investigación bibliográfica sobre las contribuciones de Russell a la comprensión de laTeoría de Conjuntos y la Lógica.Problema 1. Investigue sobre la vida y contribuciones matemáticas de Bertrand Russell.Problema 2. Investigue sobre la relación entre el trabajo de Bertrand Russell y el de Kurt Gödel.11. Conoce el Método Constructivista.Problema 1. Investigue sobre el método constructivista en la Matemática.a) ¿Cuáles son los fundamentos de este método?b) ¿Cuáles son las principales críticas que los constructivistas hacen al método axiomático?c) ¿Porqué, a la larga, el método axiomático se ha impuesto frente al método constructivista?d) Investigue sobre los aportes de Luitzen Brouwer al método constructivista.56

Matemática .:. Fundamentos y algoritmos .:. BibliografíaNota bibliográfica para el Eje de Fundamentos y AlgoritmosEn los temas de matemática finita el libro de Richard Johnsonbaugh [36] es bastante bueno y adecuado para losniveles inferiores. En esta línea también podemos citar el libro de Kolman [38].Para el Nivel 4 mencionamos el libro de Leonard Blumenthal [8], donde podemos encontrar una visión de laaxiomática en un lenguaje accesible y de la geometría desde el punto de vista de los axiomas. En cuanto a lateoría axiomática de conjuntos mencionamos el libro de Paul Halmos [28], donde hay una exposición intuitivade la axiomática. Esta exposición no es en modo alguno simple, pero se acerca a lo que se requiere en estosestándares. Un libro con un rigor mucho mayor pero que, con una adecuada selección de temas, permite unalectura al nivel de estos estándares, es el libro de Martin Zuckerman [67]. Este libro tiene además numerososejercicios, muchos de ellos de dificultad baja.Sobre aspectos históricos de la Matemática resalta el libro de Howard Eves [21], donde se presenta la Matemáticadesde sus orígenes hasta la actualidad. Este libro posee incluso algunos ejercicio matemáticos para el lector.El libro de Richard Courant y Herbert Robbins [13] representa una fuente muy interesante de ideas matemáticasy de historia de la Matemática. Es altamente recomendable para un estudiante de pedagogía en Matemática.Un libro un poco más avanzado es el de Grattan-Guinness [25], que tiene un desarrollo muy profundo de losfundamentos de la Matemática, partiendo desde el cálculo, pasando por la teoría de funciones y el problema delinfinito.Sugerencias para la implementación curricularDe los siete ejes presentados en este documento, es tal vez este eje el que puede tener implementaciones curricularesmás variadas. No queremos sugerir los cursos que integrarán estas materias, pero el tema de la lógicay algoritmos nos merecen un comentario especial. No nos parece conveniente tener estos temas separados delresto de los temas de matemáticas aislándolos en cursos, si no más bien integrados en el material de otros cursos.En particular la lógica debería estar presente en todos los temas y niveles.Finalmente, el Nivel 4 también requiere de un comentario. El tema de la construcción de la matemática nosparece de gran importancia para comprender la matemática moderna, pero a la vez es un tema muy complejo yprofundo que, para su cabal comprensión, requiere de mucho trabajo y tiempo. La implementación curricular deeste nivel debe ser cuidadosa con el objeto de no caer en la anécdota ni en un excesivo formalismo y rigor. Enlos indicadores hemos querido reflejar un adecuado balance entre estos dos aspectos.57

Bibliografía para el eje[8] Blumenthal, Leonard, A modern view of geometry. W. H Freeman and Company, USA, 1961.[12] Burton, David, Introduction to Modern Abstract Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1967.[14] Courant, Richard y Robbins, Herbert, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996.[21] Eves, H., Introdução á história da matemática. Editorial Unicamp, 2004. Brasil.[25] Grattan-Guinness, I., From the Calculus to Set Theory, 1630-1910. Princeton University Press, 2000.[28] Halmos, Paul, Naive set theory. D. Van Nostrand Company Inc, 1965.[33] Ivanov, O.A., Easy as π?: An introduction to higher mathematics. Springer Verlag, New York Inc., 1999.[36] Johnsonbaugh, Richard, Discrete Mathematicas. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1993.[57] Scheinerman, Edward, Matemáticas Discretas. Thomson Learning, 2001.[63] Tucker, A., Applied Combinatorics. John Wiley & Sons, Inc. 1995.[67] Zuckerman, Martin, Sets and Transfinite Numbers. Macmillan Publishing Co. Inc. New York, 1974.58

K4 = ~ Z2 X Z 2Eje 2Estructuras Algebraicas

Matemática .:. Estructuras algebraicasESTRUCTURAS ALGEBRAICASDescripción GeneralEl Profesor de Matemática conoce las diferentes estructuras algebraicas, las propiedades fundamentales que lesson comunes y también aquellas que las distinguen.Las estructuras concretas que un profesor conoce son: el anillo de los enteros, los polinomios con coeficientes enQ, R, C y Z p , el cuerpo de los números racionales, de los reales, de los números complejos, los cuerpos finitos,los grupos de transformaciones geométricas tanto del plano como del espacio y los grupos de permutaciones deun conjunto. Además trabaja con las estructuras desde un punto de vista abstracto lo que le permite conocer losalcances y limitaciones del método axiomático, así como conocer y aplicar las técnicas básicas de demostración.El Profesor de Matemática entiende que una de las herramientas fundamentales en el estudio de las estructurasalgebraicas es el concepto del homomorfismo el cual permite establecer relaciones entre las diversas estructuras.El Profesor de Matemática conoce las extensiones de cuerpos y las herramientas propias de la Teoría de Galois,que le son necesarias. Con este conocimiento puede dar respuesta a problemas clásicos como la duplicación delcubo, la cuadratura del círculo y la trisección de un ángulo.Finalmente es importante que el Profesor de Matemática comprenda y aplique la acción de grupos sobre conjuntos,en particular para demostrar los Teoremas de Sylow. Relacionando éstos con las extensiones finitas decuerpos demuestra el Teorema Fundamental del Algebra.61

Cuadro sinópticoNiveles del eje

Nivel 1Nivel 2El estudiante comprende la teoría de la divisibilidaden los números enteros y en el conjunto de lospolinomios con coeficientes reales. Aplica elconcepto de polinomio irreducible como el análogoal de número primo en los enteros.En este nivel el alumno opera con los númerosenteros módulo n. Demuestra propiedades de lafunción j de Euler y propiedades de los númerosprimos. Conoce propiedades de los números deFermat F n =2 2n + 1, y de los números deMersene M p =2 p - 1 , con p primo.Resuelve ecuaciones diofánticas lineales. Usa elTeorema Chino de los restos en los enteros para laresolución de congruencias.Conoce las propiedades algebraicas del cuerpo delos números complejos y su forma trigonométrica.Aplica la fórmula de De Moivre para calcularraíces de números complejos.El estudiante describe en forma algebraica lastransformaciones geométricas elementales del planoy del espacio. Descompone transformacionesusando transformaciones geométricas elementales.Maneja el concepto de simetrías en las figurasplanas y su relación con las transformacionesgeométricas del plano.En este nivel el estudiante conoce algunos gruposfinitos como son: el grupo de permutaciones de unconjunto, el grupo de las simetrías de una figuraplana, el grupo afin, el grupo lineal y el grupoespecial lineal.El alumno demuestra propiedades del cuerpo delos números constructibles con regla y compás.Conoce el problema de la construcción y trisecciónde algunos ángulos así como la construcción dealgunos polígonos regulares.64

Eje 2: Estructuras algebraicasNivel 3Nivel 4El estudiante demuestra propiedades de grupos.Usa el concepto de homomorfismo de grupos y losteoremas fundamentales para estos homomorfismos.Identifica y trabaja con grupos dados por relaciones.Encuentra el grupo cuociente de un grupo por unsubgrupo normal. Construye grupos vía productosdirectos y semi-directos.El alumno usa acciones de grupos sobre conjuntospara demostrar los Teoremas de Sylow. Utilizaestos teoremas para probar propiedades de gruposfinitos.En este nivel el estudiante trabaja con la estructurade anillos y de ideales. Conoce el concepto de idealprimo e ideal maximal. Usa los Teoremas deIsomorfía para anillos. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la resolución de congruencias y conocesu aplicación a la Criptografía.El estudiante comprende la estructura de cuerpo.Conoce criterios para estudiar la irreducibilidad depolinomios. Construye cuerpos a partir de un idealmaximal de un anillo y como cuociente de dominiosde integridad.En este nivel el estudiante resuelve problemasrelativos a extensiones de cuerpos, algebraicas ytrascendentales. Usa estas propiedades en la resoluciónde problemas clásicos como la duplicacióndel cubo, la cuadratura del círculo y la trisecciónde un ángulo. Calcula cuerpos de descomposiciónde polinomios sobre los racionales y sobre cuerposfinitos. Aplica el Teorema de Galois al estudio delas estructuras de las extensiones finitas de cuerpos.Usa extensiones finitas, los Teoremas de Sylow yTeorema de Galois para probar el Teorema Fundamentaldel Algebra.65

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1Nivel 1Enunciado. El estudiante comprende la teoría de la divisibilidad en los números enteros y en el conjunto de lospolinomios con coeficientes reales. Aplica el concepto de polinomio irreducible como el análogo al de númeroprimo en los enteros.En este nivel el alumno opera con los números enteros módulo n. Demuestra propiedades de la función ϕ deEuler y propiedades de los números primos. Conoce propiedades de los números de Fermat F n = 2 2n + 1 y delos números de Mersene M p = 2 p − 1, con p primo.Resuelve ecuaciones diofánticas lineales. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros para la resoluciónde congruencias. Conoce las propiedades algebraicas del cuerpo de los números complejos y su forma trigonométrica.Aplica la fórmula de De Moivre para calcular raíces de números complejos.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Aplica el concepto de la divisibilidad en Z.Problema 1. Para los siguientes números enteros: 23789045, 7543951 y 87659430 use criterios para determinarsi ellos son divisibles por 2, 3 y 5.Problema 2. Determine un criterio relativo a los dígitos de un número entero para establecer su divisibilidadpor 11.2. Usa la descomposición de los enteros en producto de números primos.Problema 1. Determine el máximo común divisor entre los números 224711 y 3266.Problema 2. Pruebe que √ 3 no es un número racional.3. Utiliza el algoritmo de Euclides para la división en los enteros.Problema 1. Sean a, b números naturales. Pruebe que el entero más pequeño de la forma ax + by dondex e y son números naturales, es el máximo común divisor de a y b.67

Problema 2. Exprese el máximo común divisor entre los números 224711 y 3266 en la forma 224711x +3266y.Problema 3. Demuestre que (n, n + 1) = 1, para todo número natural n.Problema 4. Sean a, b, c números naturales. Si c es un divisor de ab y (c, a) = 1, pruebe que c es undivisor de b.4. Utiliza el algoritmo de Euclides para dividir polinomios.Problema 1. Encuentre el cuociente y el resto obtenidos al dividir los polinomios p(x) = x 5 + 3x 4 −12 x3 + 8x − 122 y h(x) = 3x 3 − 5x 2 + 34.Problema 2. Encuentre el valor de m para que el polinomio 2x 4 + 9x 3 + 2x 2 − 6x + 3m tenga resto 12al dividirlo por x + 12.Problema 3. Determine un máximo común divisor en Q[x] entre los polinomios p(x) = x 2 − 2x +1, h(x) = x 2 + x − 2 y f(x) = 2x 3 + 3x 2 − 3x − 2.5. Demuestra propiedades de los números primos, de los números de Fermat F n = 2 2n + 1 y de losnúmeros de Mersene M p = 2 p − 1, con p primo.Problema 1. Demuestre que todo número primo impar es de la forma 4k − 1 o 4k + 1.Problema 2. Sea p un número primo. Demuestre que los números p, p + 2 y p + 4 no pueden ser todosprimos.Problema 3. [29] Pruebe que dos números de Fermat no tienen un máximo común divisor mayor que 1.Problema 4. [29]a) Si a ≥ 2 y si a n + 1 es primo, entonces a es impar y n = 2 m .b) Si n > 1 y si a n − 1 es primo, entonces a = 2 y n es primo.6. Demuestra propiedades de la función ϕ de Euler y de los números perfectos.Problema 1. [29] Demuestre que para todo n ≥ 1, se cumple que ∑ d/nϕ(d) = n.Problema 2. [4]a) Sean n = p α11 · · · pα kk, descomposición de n en factores primos distintos. Pruebe que ϕ(n) = n(1 −1p 1) · · · (1 − 1p k).b) Pruebe que ϕ(n) > n 6para todo n número natural con a lo más 8 factores primos distintos.Problema 3. Sea a entero positivo. Pruebe que si 2 a − 1 es primo entonces 2 a−1 (2 a − 1) es perfecto. Conesto se prueba que a todo primo de Mersene le corresponde un número perfecto.68

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 1Problema 4. Si N = 2 n p es perfecto, con p primo, entonces pruebe que la suma de los divisores de N es(2 n+1 − 1)(p + 1). Es decir por cada número perfecto de la forma N = 2 n p hay un primo de Mersenep = 2 n+1 − 1.7. Demuestra propiedades de la función µ de Möbius y la relaciona con la función ϕ de Euler.Problema 1. [29]a) Demuestre que µ es multiplicativa, es decir, µ(nm) = µ(n)µ(m) ∀ n, m ∈ N.b) Demuestre que para todo n ≥ 2, se tiene ∑ d/nµ(d) = 0.Problema 2. Pruebe que para todo n ≥ 1, se tiene ϕ(n) = ∑ d/n µ(d) n d .Problema 3. Fórmula de inversión de Möbius. [29] Sean f y g funciones de números naturales tales queg(n) = ∑ d/n f(d). Pruebe que f(n) = ∑ d/n µ( n d )g(d).8. Opera con los números enteros módulo n.Problema 1. Si hoy día es Martes 7 de Abril, ¿qué día de la semana será en 100 días más?Problema 2. En Z 11 , pruebe que para todo [x] ≠ [0] existe [y] ≠ [0] tal que [x][y] = [1].Problema 3. a) Encuentre todos los divisores de cero en Z 12 .b) Resuelva la ecuación x 2 − 5x + 6 = 0 en Z 12 .Problema 4. Pruebe que el número de elementos de Zn ∗ es igual a ϕ(n).9. Demuestra y usa criterios de irreducibilidad de polinomios en Q[x] y en Z p [x], con p primo.Problema 1. Sea F = Q o Z p . Demuestre que un polinomio de grado 2 o 3 con coeficientes en F esreducible si y sólo si tiene una raíz en F.Problema 2. Pruebe que x 3 + 3x + 2 es irreducible en Z 5 [x].Problema 3. Sea p(x) = a n x n +· · ·+a 0 un polinomio con coeficientes enteros tal que a n ≠ 0. Demuestreque las raíces racionales de p(x) son de la forma r = m q , donde m es un divisor de a 0 y q es un divisor dea n .Problema 4. Encuentre las raíces racionales, si las hay, de x 4 + x 3 + 2x − 11.10. Resuelve ecuaciones diofánticas lineales.Problema 1. a) ¿Tiene solución la ecuación diofántica 15x + 27y = 1?b) Resuelva la ecuación diofántica 2x + 3y = 17.69

Problema 2. [3] Sea (x 0 , y 0 ) solución de la ecuación diofántica ax − by = 1. Pruebe que el área deltriángulo de vértices (x 0 , y 0 ), (b, a) y (0, 0) es igual a 1 2 .11. Usa el Teorema Chino de los restos en los enteros.Problema 1. ¿Tiene solución el siguiente sistema de congruencias x ≡ 5(mod 4) y x ≡ 7(mod 8)?Justifique.Problema 2. Determine un entero x que al ser dividido por 25 deja resto 10, al ser dividido por 12 dejaresto 5 y al ser dividido por 13 deja resto 6.12. Utiliza las propiedades algebraicas y la forma trigonométrica de los números complejos. Encuentraraíces de números complejos.Problema 1. Escriba la forma trigonométrica de los siguientes números complejos. Dibuje.a) z = 4(1 − √ 3i).b) z =(−1 − i)( √ 3 − i) .Problema 2. Utilize la fórmula de De Moivre para calcular la potencia indicada. Expresar el resultadocomo pares ordenados de números reales.a) 2( √ 3 + i) 7 .b)[cos( 5π4)+ i sen( 5π4)] 10.Problema 3. Calcule las raíces que se especifican, represéntelas en el plano complejo y exprese cada unade las raíces en forma cartesiana.a) Raíces cuartas de 16 [ cos ( ) (4π3 + i sen 4π)]3 .b) Raíces cúbicas de − 1252 (1 + √ 3i).Problema 4. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: x 4 − 81 = 0 y x 3 + 64i = 0.13. Usa la representación de los puntos del plano vía los números complejos. Relaciona el producto denúmeros complejos con rotaciones y homotecias.Problema 1. Describa geométricamente el efecto de multiplicar el complejo 2+5i por el complejo 1 2√3+12 i.Problema 2. Represente geométricamente el efecto de multiplicar los complejos 7 + i, 6 + 3i y 5 + 2ipor el complejo 3[cos(30 ◦ ) + i sen(30 ◦ )].70

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 114. Conoce la evolución histórica de los números de Fermat y de los números de Mersene así como laconexión de estos últimos con los números perfectos.Problema 1. [4] Realice una investigación sobre la primalidad de los números de Fermat y de los númerosde Mersene. Investigue los aportes de Euler y de Euclides.15. Conoce la evolución histórica de la conjetura de Goldbach y la relaciona con la conjetura de Erdös.Problema 1. [3] [4] Realice una investigación sobre las conjeturas de Goldbach y de Erdös. ¿Cuáles fueronlas constribuciones de Vinogradov? ¿Qué relación existe entre la conjetura de Goldbach y la conjetura deErdös?71

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 2Nivel 2Enunciado. El estudiante describe en forma algebraica las transformaciones geométricas elementales del planoy del espacio. Descompone transformaciones usando transformaciones geométricas elementales. Maneja elconcepto de simetrías en las figuras planas y su relación con las transformaciones geométricas del plano.En este nivel el estudiante conoce algunos grupos finitos como son: el grupo de permutaciones de un conjunto,el grupo de las simetrías de una figura plana, el grupo afin, el grupo lineal y el grupo especial lineal.El alumno demuestra propiedades del cuerpo de los números constructibles con regla y compás. Conoce elproblema de la construcción y trisección de algunos ángulos así como la construcción de algunos polígonosregulares.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Describe en forma algebraica las transformaciones geométricas del plano.Problema 1. La función φ ⃗v : R 2 → R 2 , definida por φ ⃗v (⃗x) = ⃗x + ⃗v, representa una traslacióndel plano. Si ⃗v = (2, 5), encuentre las coordenadas de los vértices del cuadrado en que se transforma elcuadrado de vértices (1, 0), (0, 1), (−1, 0) y (0, −1). Dibuje ambos cuadrados.Problema 2. La función Rot 30 ◦ : R 2 → R 2 , definida porRot 30 ◦(x, y) = (x cos(30 ◦ ) − y sen(30 ◦ ), x sen(30 ◦ ) + y cos(30 ◦ ))representa una rotación de centro el origen y ángulo que mide 30 ◦ . Encuentre las coordenadas del triánguloen que se transforma el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). Dibuje ambos triángulos.Problema 3. Pruebe que la composición de dos reflexiones cuyos ejes forman un ángulo de 30 ◦ es unarotación Rot 60 ◦ de centro el punto de intersección de esos ejes.73

2. Describe en forma algebraica las transformaciones geométricas del espacio.Problema 1. Pruebe queA =⎛⎜⎝2/3 −1/3 2/32/3 2/3 −1/3−1/3 2/3 2/3⎞⎟⎠es la matriz de rotación en 60 ◦ alrededor de la recta de ecuación x = y = z y centro el origen.Problema 2. a) Calcule las coordenadas en que se trasforman los vértices de un cubo definido por lospuntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotación anterior.b) Calcule las coordenadas en que se trasforma la pirámide de vértices (0, 0, 0) y base el triángulodefinido por los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), mediante la rotación anterior.3. Interpreta congruencias de figuras planas como composición de transformaciones geométricas elementales.Problema 1. Los triángulos de vértices (0, 0), (4, 0), (4, −2) y (−3, 0), (−5, 4), (−3, 4) son congruentes.Determine una secuencia de transformaciones geométricas elementales del plano que transforman untriángulo en el otro.4. Opera con el grupo de permutaciones de un conjunto finito.Problema 1. Considere la permutación de S 8 dada por(1 2 3 4 5 6 7 8σ =2 3 4 5 1 7 6 8).Escríbala como producto de ciclos disjuntos y luego como producto de transposiciones.Problema 2. Encuentre todos los subgrupos del grupo A 4 .Problema 3. Dadas las siguientes afirmaciones, demuéstrelas si son verdaderas o dé un contraejemplo sison falsas:a) La inversa de una permutación par es par.b) Para toda σ, π ∈ S n , (π ◦ σ) −1 = σ −1 ◦ π −1 .c) Para toda σ, π ∈ S n , |σ ◦ π| = |σ||π|, donde |σ| denota el orden de la permutación σ.d) Una permutación σ es una transposición si y sólo si σ ≠ 1 y σ = σ −1 .Problema 4. Sea π = (1, 2)(3, 4, 5, 6, 7)(8, 9, 10, 11)(12) ∈ S 12 . Determine el menor entero positivo ktal que π k = 1.74

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 25. Conoce el grupo afín, el grupo lineal de orden n y el grupo especial lineal de orden n.Problema 1. Considere el conjunto de funcionesA(R 2 ) = {φ a,⃗v : R 2 → R 2 , φ a,⃗v (⃗x) = a⃗x + ⃗v / a ∈ R − {0}, ⃗v ∈ R 2 }.Pruebe que A(R 2 ) es cerrado para la composición y que constituye un grupo con esta operación (grupoafín del plano).Problema 2. Sea T = Q, R o Z p y K = Z, Q, R o Z p , con p primo. Considere los conjuntos:GL(n, T ) = {A ∈ M n (T ) / det(A) ≠ 0},SL(n, K) = {A ∈ M n (K) / det(A) = 1},donde GL(n, T ) se conoce como grupo lineal de orden n y SL(n, K) como grupo especial lineal deorden n.a) Pruebe que GL(n, T ) y SL(n, K) son grupos bajo la multiplicación de matrices.b) Pruebe que GL(n, T ) no es abeliano para todo n ≥ 2.c) Encuentre la tabla de multiplicación del grupo GL(2, Z 2 ).( )a bd) Sea M el conjunto de matrices de la forma , donde a, b, c ∈ R, tales que ac ≠ 0. Pruebe0 cque M es un subgrupo de GL(2, R).e) SeaH ={(1 00 1),(1 00 −1),(−1 00 1),(−1 00 −1)}.Pruebe que H es subgrupo de GL(2, R).6. Conoce el grupo de simetrías de una figura plana.Problema 1. Sea T un triángulo equilátero. Determine todas las simetrías de T y represéntelas comopermutaciones de sus vértices. Compare el resultado con S 3 .Problema 2. Pruebe que el grupo S 4 es el grupo de simetrías de un tetraedro regular.Problema 3. Encuentre el grupo D 8 , de las simetrías de un cuadrado.Problema 4. ¿Cuál es el grupo de simetrías de un cubo?Problema 5. Sea P un pentágono regular. Determine todas las simetrías de P y represéntelas como permutacionesde los vértices.75

7. Demuestra propiedades del cuerpo de los números constructibles con regla y compás.Problema 1. Sea C = {α ∈ R / α es constructible con regla y compás}. Demuestre que:a) C es un subgrupo de R.b) C ∗ = C − {0} es un subgrupo de R ∗ .c) Si α ∈ C, α > 0 entonces √ α ∈ C.8. Construye algunos ángulos con regla y compás.Problema 1. a) Construya un ángulo que mida 30 ◦ y otro que mida 45 ◦ .b) Construya el coseno de un ángulo que mide 22, 5 ◦ .9. Justifica la trisección de algunos ángulos y la construcción de algunos polígonos regulares con reglay compás.Problema 1. a)Construya un polígono regular de 10 lados.b) Trisecte un ángulo que mide 72 ◦ .c) ¿Es constructible un ángulo que mida 3 ◦ ?10. Comprende la importancia de las simetrías en el estudio de la matemática moderna.Problema 1. [54] Realice una investigación sobre la importancia de las simetrías en la teoría de grupos ylas contribuciones de Artin.76

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El estudiante demuestra propiedades de grupos. Usa el concepto de homomorfismo de grupos ylos teoremas fundamentales para estos homomorfismos. Identifica y trabaja con grupos dados por relaciones.Encuentra el grupo cuociente de un grupo por un subgrupo normal. Construye grupos vía productos directos ysemi-directos.El alumno usa acciones de grupos sobre conjuntos para demostrar los Teoremas de Sylow. Utiliza estos teoremaspara probar propiedades de grupos finitos.En este nivel el estudiante trabaja con la estructura de anillos y de ideales. Conoce el concepto de ideal primo eideal maximal. Usa los Teoremas de Isomorfía para anillos. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la resoluciónde congruencias y conoce su aplicación a la Criptografía.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Demuestra propiedades básicas de grupos.Problema 1. Sean S, T subgrupos de un grupo G, con S subgrupo normal. Pruebe que ST es un subgrupode G ¿Es ST un subgrupo normal de G?Problema 2. Sea H un subgrupo de índice 2 de un grupo finito G. Pruebe que para todo g ∈ G, gH =Hg.2. Demuestra propiedades de los grupos cíclicos.Problema 1. Demuestre que un grupo cíclico de orden n tiene uno y sólo un subgrupo de orden m paracualquier m divisor de n.Problema 2. Considere las siguientes matrices(A =0 1−1 0)y B =(−10 1−1),elementos del grupo SL(2, Z) :77

a) Calcule el orden de A y de B.b) Pruebe que el subgrupo generado por AB es un subgrupo cíclico infinito.c) ¿Es finito el orden del producto de dos elementos de orden finito?Problema 3. Sea G un grupo cíclico y H un subgrupo de G de índice m. Pruebe que el grupo cuocienteG/H es cíclico de orden m.3. Calcula el orden de un elementos de un grupo.Problema 1. Considere el grupo G 1 = U(Z) de las unidades de Z. Encuentre el orden de cada elementode G 1 × Z 8 .Problema 2. Calcule el orden de cada uno de los elementos del grupo A 4 × Z 8 .Problema 3. [24] Escriba la tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo formado por los elementosde Z 12 que son relativamente primos con 12. ¿Es éste un grupo cíclico?4. Conoce el grupo de Klein.Problema 1. Considere el conjunto K 4 , de las permutaciones de orden 2 de A 4 , es decir,K 4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.Pruebe que:a) K 4 es un subgrupo de A 4 .b) K 4 ≃ Z 2 × Z 2 .c) Z 2 × Z 2 no es isomorfo a Z 4 .d) Todo grupo de orden 4 es isomorfo a K 4 o a Z 4 .5. Demuestra propiedades de los grupos de permutaciones.Problema 1. Considere el grupo alternante A n , con n ≥ 3.a) Pruebe que está generado por ciclos de longitud 3.b) Pruebe que A n = < (123), (124), . . . , (12n) > .Problema 2. Sea G un subgrupo de S n , n ≥ 5, que contiene todos los ciclos de longitud 3. Demuestreque si H es un subgrupo normal de G tal que G/H es abeliano, entonces H contiene todos los ciclos delongitud 3.Problema 3. Sea σ ∈ S n y c = (i 1 , . . . , i k ) un ciclo de longitud k en S n . Pruebe que σ ◦ c ◦ σ −1 =(σ(i 1 ), . . . , σ(i k )), es decir, σ ◦ c ◦ σ −1 es un ciclo de longitud k de S n .78

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3Problema 4. Pruebe que GL(2, Z 2 ) es isomorfo a S 3 .6. Prueba propiedades del grupo diedral D 2n y del grupo de cuaterniones Q 2n .Problema 1. Pruebe que los gruposson de orden 2n y no son abelianos para n > 2.D 2n = < a, b : a n = 1, b 2 = 1, ba = a n−1 b >,Q 2n = < a, b : a n = 1, b 2 = a 2 , ba = a n−1 b >Problema 2. Pruebe que D 6 = < a, b : a 3 = 1, b 2 = 1, ba = a 2 b > es isomorfo a S 3 .Problema 3. Escriba la tabla de multiplicación de D 8 y de Q 8 y encuentre el orden de cada uno de suselementos.Problema 4. Pruebe que el grupo Q 8 no es isomorfo al grupo D 8 .7. Encuentra grupos cuocientes y usa los Teoremas de Isomorfía para grupos.Problema 1. Considere los grupos aditivos infinitos Q y Z. Encuentre el grupo cuociente Q / Z.Problema 2. Considere el grupo multiplicativo C ∗ y sea U = {z ∈ C ∗ / |z| = 1} el círculo unitario.Pruebe que U ≃ R / nZ ∀ n ∈ N.Problema 3. Demuestre que C ∗ / R ∗ ≃ U / G, donde G = {1, −1}.⎛ ⎞1 a b⎜ ⎟Problema 4. Sea T el conjunto de matrices de la forma ⎝ 0 1 c ⎠ , donde a, b, c ∈ R.0 0 1Demuestre que Z(T ) ≃ R y que T / Z(T ) ≃ R × R, donde R es grupo bajo la suma.8. Caracteriza grupos construidos por productos directos y semi-directos.Problema 1. Sean G 1 , G 2 , G 3 grupos. ¿Es cierto que el producto directo de los tres grupos es abeliano siy sólo si cada G i , i = 1, 2, 3, es abeliano?Problema 2. Caracterice el grupo diedral D 2n como un producto semi-directo.Problema 3. Pruebe que todo grupo de orden 25 o es cíclico o es isomorfo a un producto directo de dosgrupos cíclicos de orden 5.Problema 4. Obtenga la descomposición en producto semi-directo del grupo de simetrías del cubo.79

9. Usa acciones de grupos sobre conjuntos finitos.Problema 1. Demuestre que la acción natural de un grupo sobre las clases laterales de cualquiera de sussubgrupos es una acción transitiva.Problema 2. ¿Actúa transitivamente el grupo de las transformaciones lineales de un espacio vectorial dedimensión finita, sobre el conjunto de vectores?Problema 3. Demuestre que el grupo de las traslaciones de un espacio vectorial de dimensión finita actúatransitivamente sobre el conjunto de vectores.Problema 4. Sea G un subgrupo de permutaciones de un conjunto S. Demuestre que G actúa sobre elconjunto formado por los subconjuntos de S de cardinalidad 2.10. Utiliza los Teoremas de Sylow para probar propiedades de grupos finitos.Problema 1. [54]a) Demuestre que ningún grupo de orden 39 es simple.b) Demuestre que ningún grupo de orden 45 es simple.Problema 2. Encuentre todos los 3-Sylow de S 4 y pruebe que ellos son conjugados.Problema 3. Demuestre que un grupo diedral de orden 2 k n, con n número impar, contiene n subgruposde Sylow de orden 2 k .11. Conoce ejemplos de anillos, subanillos e ideales.Problema 1. Pruebe que el conjunto de los enteros provisto de las operaciones a ∗ b = a + b − 1 ya ◦ b = a + b − ab es un anillo. Con esta estructura de anillo ¿es 5Z un ideal de Z?Problema 2. Sea X un conjunto y (A, ⊕, ⊙) un anillo. Considere el conjunto A XA / f función}. Defina (f + g)(x) = f(x) ⊕ g(x); (fg)(x) = f(x) ⊙ g(x).= {f : X →a) Pruebe que A X con estas dos operaciones es un anillo.b) Pruebe que si A es conmutativo entonces A X es conmutativo.Problema 3. Considere el anillo C(R) de las funciones reales continuas. Demuestre que H = {f ∈C(R) / f(0) = 0} es un ideal de C(R).Problema 4. [24] Considere el anillo R = Z × Z.a) Encuentre un subanillo de R que no sea ideal de Z × Z.b) Encuentre un ideal maximal de R.80

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 3c) Encuentre un ideal primo de R que no sea maximal.Problema 5. [24] Pruebe que {a + xq(x) / a ∈ 2Z, q(x) ∈ Z[x]} es un ideal en Z[x].12. Encuentra ideales primos y maximales.Problema 1. Encuentre todos los ideales primos y maximales del anillo R = Z 12 .Problema 2. Sea R anillo conmutativo e I ideal de R. Defina (R : I) = {a ∈ R / a n ∈ I para algún n ∈N } y pruebe que es un ideal de R. ¿Es un ideal primo?13. Conoce dominios de integridad y encuentra unidades.Problema 1. [24] Sea n ∈ N, tal que √ n /∈ N. Se define:Z[ √ n] = {a + b √ n / a, b ∈ Z} ⊆ R,Z[ √ −n] = {a + ib √ n / a, b ∈ Z} ⊆ C.a) Pruebe que Z[ √ n] y Z[ √ −n] son subanillos de R y de C respectivamente.b) ¿Son dominios de integridad?c) Se definen dos funciones N 1 : Z[ √ n] → Z y N 2 : Z[ √ −n] → N por N 1 (a + b √ n) = a 2 − nb 2 yN 2 (a + ib √ n) = a 2 + nb 2 , respectivamente. Pruebe que N i es multiplicativa para i = 1, 2.d) Encuentre las unidades de Z[ √ n] y de Z[ √ −n] respectivamente.14. Calcula anillos cuocientes y utiliza los Teoremas de Isomorfía para anillos.Problema 1. [24] Encuentre todos los ideales I de Z 12 . En cada caso encuentre Z 12 / I.Problema 2. Dé la tabla de suma y de multiplicación del anillo cuociente 2Z / 8Z. ¿Son 2Z / 8Z y Z 4anillos isomorfos?15. Comprende y usa el Teorema de Euler-Fermat.Problema 1. Resuelva la congruencia 5x ≡ 3(mod 24).Problema 2. [24] Use el pequeño Teorema de Fermat y que 383838 = 2 · 3 · 7 · 13 · 19 · 37 para probarque n 37 − n es divisible por 383838 para todo n ∈ N.Problema 3. Sean a, n ∈ N, tales que (a, n) = 1 y (a − 1, n) = 1. Pruebe que 1 + a + · · · + a ϕ(n)−1 ≡0 (mod n).81

16. Aplica el Teorema de Euler-Fermat en la Criptografía de clave pública.Problema 1. [57] Alicia desea enviar un mensaje cifrado M a Roberto. Suponga que la función de cifradode Roberto es E(M) = M 53 (mod 589). Alicia cifra el mensaje M, calcula E(M) = 289 y manda elvalor 289 a Roberto. ¿Cuál fue el mensaje M que envió Alicia?17. Conoce las constribuciones de L. Sylow a la teoría de grupos.Problema 1. Haga una investigación de las constribuciones de L. Sylow a la teoría de grupos.18. Conoce las constribuciones de E. Noether a la teoría de anillos.Problema 1. Haga una investigación de las constribuciones de E. Noether a la teoría de anillos, en especiala los anillos que llevan su nombre.82

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El estudiante comprende la estructura de cuerpo. Conoce criterios para estudiar la irreducibilidadde polinomios. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal de un anillo y como cuociente de dominios deintegridad.En este nivel el estudiante resuelve problemas relativos a extensiones de cuerpos, algebraicas y trascendentales.Usa estas propiedades en la resolución de problemas clásicos como la duplicación del cubo, la cuadratura delcírculo y la trisección de un ángulo. Calcula cuerpos de descomposición de polinomios sobre los racionales ysobre cuerpos finitos. Aplica el Teorema de Galois al estudio de las estructuras de las extensiones finitas de cuerpos.Usa extensiones finitas, los Teoremas de Sylow y Teorema de Galois para probar el Teorema Fundamentaldel Algebra.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Usa el Criterio de irreducibilidad de Eisenstein.Problema 1. Pruebe que el polinomio h(x) = x 5 + 4x 4 − 6x 2 + 12x + 2 es irreducible en Q[x].2. Aplica la sustitución de x por x + a para probar la irreducibilidad de polinomios.Problema 1. Pruebe que el polinomio ciclotómico φ p (x) = xp − 1x − 1 = xp−1 + · · · + x + 1, es irreducibleen Q[x] para cualquier primo p.3. Construye cuerpos a partir de un ideal maximal del anillo.Problema 1. Demuestre que Z 11 [x] / < x 2 + x + 4 > es un cuerpo.Problema 2. Considere el cuerpo F = R[x] / < x 2 + 3 > . Pruebe que todo elemento de F es de laforma (ax + b)+ < x 2 + 3 >, con a, b ∈ R, a ≠ 0.Problema 3. Considere el anillo cuociente A = R[x] / < x 2 + x + 1 > .a) Demuestre que A es un cuerpo.83

) Demuestre que A es isomorfo al cuerpo de los números complejos.4. Construye cuerpos a partir de un dominio de integridad.Problema 1. Considere el anillo de enteros de Gauss Z[i] = {a + bi / a, b ∈ Z}.a) Pruebe que Z[i] es un dominio de integridad.b) Pruebe que Q[i] = {a + bi / a, b ∈ Q} es el cuerpo de cuocientes de Z[i].5. Resuelve problemas relativos a extensiones algebraicas.Problema 1. Pruebe en detalle que Q( √ 3 + √ 7) = Q( √ 3, √ 7).Problema 2. Calcule el grado de la extensión Q(2 1 3 , 3 1 2 ) sobre Q.Problema 3. [24] Considere las extensiones Q(2 1 6 ) y Q(2 1 2 , 2 1 3 ) de los números racionales.a) Encuentre una base de Q(2 1 2 , 2 1 3 ) sobre Q.b) Pruebe que Q(2 1 2 , 2 1 3 ) = Q(2 1 6 ).6. Usa el Teorema de Caracterización de un n-ágono regular constructible con regla y compás.Problema 1. a)Justifique que un 30-ágono regular es constructible con regla y compás.b) Justifique que un 99-ágono regular es constructible con regla y compás.Problema 2. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, demostrando o dando un contraejemplo.a) El 15-ágono regular es constructible con regla y compás.b) Para un primo p, el p-ágono regular es constructible si sólo si p es un número de Fermat.7. Aplica extensiones algebraicas en la solución de problemas clásicos de la geometría Euclideana.Problema 1. Problema de la duplicación del cubo. Demuestre que no es posible construir con regla ycompás el lado de un cubo de volumen 2 cm 3 .Problema 2. Problema de la trisección de un ángulo. Pruebe que no es posible trisectar un ángulo quemida 40 ◦ .Problema 3. Encuentre el número natural n más pequeño de manera que el ángulo que mida n grados seaconstructible.84

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. Nivel 48. Usa el hecho que π es trascendente sobre Q para resolver el problema de la cuadratura del círculo ola construcción con regla y compás de π.Problema 1. Problema de la cuadratura del círculo. Pruebe que no es posible construir con regla ycompás un círculo de área 4.9. Calcula el cuerpo de descomposición K p(x) de polinomios de grados pequeños.Problema 1. Calcule Q p(x) para los polinomios: x 3 − 11, x 5 − 1, x 6 − 1 y x 4 − 2x 2 − 8.10. Construye grupos de Galois para extensiones de Q y cuerpos finitos.Problema 1. Considere el cuerpo Q p(x) para el polinomio p(x) = x 5 − 1. Encuentre el grupo de GaloisG(Q p(x) , Q) y pruebe que es un grupo cíclico de orden 4.Problema 2. Sean F p m ⊆ F p n cuerpos finitos.a) Demuestre que φ m : F p n → F p n definida por φ(x) = x pm es un generador de G(F p n, F p m).b) Demuestre que G(F p n, F p m) es un grupo cíclico.11. Aplica el Teorema de la correspondencia de Galois.Problema 1. [24] Considere el cuerpo de descomposición Q p(x) para el polinomio p(x) = x 4 − 2.a) Encuentre todos los subgrupos H de G(Q p(x) , Q).b) Encuentre todos los cuerpos fijos para cada subgrupo H de la parte a) y haga los diagramas mostrandola correspondencia de Galois.Problema 2. Considere el cuerpo Q p(x) para el polinomio p(x) = x 3 −11. Encuentre todos los subcuerposde K p(x) y los subgrupos de G(Q p(x) , Q) y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois.Problema 3. Considere el cuerpo finito F p 12. Encuentre todos sus subcuerpos y los subgrupos de G(F p 12, F p )y haga los diagramas mostrando la correspondencia de Galois.12. Usa extensiones finitas, Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para demostrar el Teorema Fundamentaldel Algebra.Problema 1. Pruebe que el cuerpo de los números complejos no admite extensiones de grado 2.Problema 2. Use los Teoremas de Sylow y el Teorema de Galois para probar que la única extensión finitade C es C.Problema 3. Pruebe el teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio f(x) ∈ C[x] de grado ≥ 1 tieneuna raíz en C.85

13. Investiga la existencia de algunos números trascendentes.Problema 1. [37] Realice una investigación sobre la trascendencia del número π y del número e. Averiguelos aportes realizados por Lindemann y por Hermite respectivamente.14. Comprende el problema de la fórmula para la obtención de raíces de polinomios de grado n, expresadaspor medio de radicales. Investiga la obtención de raíces de polinomios de grados 3 y 4,expresadas por medio de radicales y el significado del problema de la insolubilidad de la quíntica.Problema 1. [65] Investigue la obtención de raíces de polinomios de grados 3 y 4, expresadas por mediode radicales.Problema 2. [65] Investigue el significado del problema de la insolubilidad de la quíntica.15. Conoce las constribuciones de E. Galois en la Teoría de Cuerpos.Problema 1. Realice una investigación sobre la vida de E. Galois. ¿Qué acontecimientos históricos afectarona Galois en su corta vida?Los escritos de Galois no se publicaron inmediatamente. ¿Quién y cuándo fueron difundidos? ¿Se puededecir que Galois es el fundador de la teoría de grupos?Investigue sobre la influencia de Galois en otros matemáticos y en el desarrollo de la Matemática engeneral.86

Matemática .:. Estructuras algebraicas .:. BibliografíaNota bibliográfica para el eje de Estructuras AlgebraicasEn la preparación de los estándares del eje de Estructuras Algebraicas se consultó varios textos, los que sedetallan en la bibliografía dada más abajo.El texto de G. H. Hardy y Wright [29] es un clásico en la Teoría de Números, que no puede estar ausente deestos estándares y que se complementa muy bien con los textos de T. M. Apostol [4] y de G. E. Andrews [3].El texto de B. L. Van der Waerden [65] es un clásico en la Teoría de Anillos y de Cuerpos que junto con lostextos de J. B. Fraleigh [24] y de I. N. Hernstein [30] dan un acabado tratamiento de estos temas.El libro de F. Klein [37] es una joya en lo que respecta a la solución de los tres problemas clásicos de la duplicacióndel cubo, de la cuadratura del círculo y de la trisección de un ángulo. Este libro otorga un tratamientoelemental al tema desde un punto de vista de la matemática moderna y también a la demostración de la trascendenciade e y de π.El texto de I. N. Hernstein [30] trae una muy buena demostración de los Teoremas de Sylow usando accionesde grupos sobre conjuntos finitos. Por otra parte, el libro de J. S. Rose [54] considera con bastante detalle laestructura de los grupos.Finalmente el texto de E. R. Scheinerman [57] es una buena referencia para la aplicación del Teorema de Euler-Fermat a la Criptografía.Sugerencias para la implementación curricularEste eje provee la oportunidad de profundizar en el aspecto abstracto de la Matemática. Desde ese punto de vistaen una implementación curricular es conveniente que el desarrollo del eje en el tiempo permita la maduración delos conceptos por parte de los alumnos.Este eje tiene fuertes conexiones con el eje de geometría, las que pueden reforzarse por medio de cursos oseminarios que exploten este hecho.Finalmente, los temas de este eje también permiten abrir la discusión sobre la naturaleza propia de la Matemática,que debe su desarrollo por un lado a la vertiente de las aplicaciones y por otro lado a su vertiente interna, rica enpreguntas y desafíos intelectuales.87

Bibliografía para el eje[3] Andrews, G. E., Number Theory. Dover Pub. Company, N. Y. 1971.[4] Apostol, T. M., Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, N.Y. 1976.[24] Fraleigh, J. B., A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley Pub., 1971.[30] Hernstein, I. N., Topics in Algebra, Blasdell Pub. Company, 1964.[29] Hardy, G. H. y Wright, E. M., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1954.[37] Klein, F., Famous problems of elementary Geometry. Dover Pub. N.Y 1956.[54] Rose, J. S., A course on Group Theory, Dover Pub. Company, N. Y. 1994.[57] Scheinerman, E. R., Matemáticas Discretas, International Thomson Editores, S. A. 2001.[65] Van der Waerden, B. L., Modern algebra, Vol. I, Frederick Ungar Pub. Co. N.Y. 1966.88

(Eje 3Algebra Lineal1 a b0 1 c(0 0 1

Matemática .:. Algebra linealALGEBRA LINEALDescripción GeneralEl Algebra Lineal y la teoría de los Espacios Vectoriales constituyen una hermosa abstracción que a su veztiene innumerables e interesantes aplicaciones a los más diversos ámbitos. Si bien los espacios vectoriales sonestructuras algebraicas particulares, hemos querido distinguirla de las demás para enfatizar su importancia.El Profesor de Matemática conoce el álgebra de matrices, la noción de determinante y de matriz invertible.Plantea sistemas de ecuaciones, los representa matricialmente y los resuelve. Usa el método de Gauss paradeterminar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales cualquiera. Concibe el método de Gausscomo un algoritmo finito que, simultáneamente provee de un método efectivo para obtener soluciones y de unmétodo de análisis general.El Profesor de Matemática conoce a fondo la estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los númerosreales y de los números complejos. Especialmente familiares son los espacios de matrices, de polinomios y defunciones en general.Comprende la importancia del problema de valores y vectores propios, tanto desde el punto de vista teórico comopráctico. Relaciona el polinomio característico de una matriz con sus valores propios y determina si una matriz esdiagonalizable. El Profesor de Matemática modela problemas de evolución discretos y analiza el comportamientoasintótico de estos modelos. Es consciente que la modelación forma parte sustancial de la Matemática y es unfuerte acicate para su desarrollo.A través de la noción de producto interno sobre un espacio vectorial, se familiariza con conceptos geométricosbásicos en espacios abstractos. En particular, conoce el problema de la proyección ortogonal y lo interpreta comoun problema de minimización. Aplica proyecciones en diversos espacios con producto interno.El Profesor de Matemática es capaz de modelar y encuentra en la programación lineal una herramienta muy ricapara el desarrollo de esta capacidad. Resuelve problemas de optimización lineal mediante el método gráfico.Conoce los fundamentos del método simplex y los aplica para la resolución de problemas concretos.91

Cuadro sinópticoNiveles del eje

Nivel 1Nivel 2El estudiante realiza las operaciones básicas conmatrices. A través del método de Gauss es capazde resolver sistemas lineales. Comprende laimportancia del método como un algoritmo quepermite determinar el conjunto solución de unsistema lineal cualquiera. Conoce el concepto dematriz invertible y usa el método de Gauss parainvertir matrices.El estudiante calcula determinantes y usa la reglade Cramer para resolver sistemas.El alumno conoce varios ejemplos en los cualeslas matrices sirven para describir situaciones de lavida real. Es capaz de modelar situaciones simplesusando sistemas lineales.El estudiante sistematiza las estructuras de espaciode vectores de R N y de matrices, en la noción deEspacio Vectorial. Trabajando sobre el cuerpo delos números reales, el alumno comprende que laabstracción hecha también permite estudiar espaciosde funciones lineales y de funciones en general,bajo la misma estructura. En este nivel se formalizala noción de base y de dimensión de un espaciovectorial. El alumno comprende la noción de dimensióninfinita y conoce ejemplos.El alumno comprende que un espacio vectorial sepuede definir sobre cualquier cuerpo, en particularconoce los espacios complejos y relaciona espacioscomplejos con espacios reales.El alumno entiende que las funciones lineales sonlas transformaciones naturales en el contexto delos espacios vectoriales y aprende a manipularlasy a representarlas.94

Eje 3: Algebra LinealNivel 3Nivel 4El estudiante conoce la noción de producto internoen un espacio vectorial general. El alumno comprendelas proyecciones ortogonales en cualquierdimensión y estudia ciertos aspectos geométricosde los espacios con producto interno. Resuelveproblemas provenientes de algunas aplicacionesusando la noción de proyección. Finalmente elalumno extiende la noción de producto interno aespacios de dimensión infinita.El alumno aborda el problema de valores propiosde matrices y en general de operadores lineales endimensión finita. Usando valores propios obtienenuevas formas de caracterizar la invertibilidad dematrices.El alumno comprende los teoremas básicos derepresentación canónica, como la diagonalizaciónde matrices simétricas. Conoce la descomposiciónde matrices en su forma normal de Jordan.El estudiante desarrolla la programación linealcomo herramienta para modelar diversos problemasde la vida real. Para problemas de dos variables,el estudiante interpreta y resuelve geométricamentelos problemas de programación lineal. En el casode muchas variables, el alumno conoce el métodosimplex como el método usual de resolución deproblemas de programación lineal. Resuelve problemasde tamaño pequeño. El alumno continúadesarrollando su capacidad para modelar.En este nivel se aborda el problema de Flujo enGrafos. El alumno conoce y aplica un algoritmopara resolverlo. El estudiante formula alternativamenteel problema de Flujo en Grafos como unproblema de programación lineal.En este nivel el alumno encuentra nuevas aplicacionesdel álgebra lineal, relativas a problemas devalores propios. El alumno conoce problemas dedinámica de poblaciones y de economía.95

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 1Nivel 1Enunciado. El alumno realiza las operaciones básicas con matrices. A través del método de Gauss es capaz deresolver sistemas lineales. Comprende la importancia del método como un algoritmo que permite determinar elconjunto solución de un sistema lineal cualquiera. Conoce el concepto de matriz invertible y usa el método deGauss para invertir matrices.El estudiante calcula determinantes y usa la regla de Cramer para resolver sistemas.El alumno conoce varios ejemplos en los cuales las matrices sirven para describir situaciones de la vida real. Escapaz de modelar situaciones simples usando sistemas lineales.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Opera algebraicamente con matrices.Problema 1. Muestre que no existen matrices reales de 2 × 2 A y B tales que( )1 0AB − BA = .0 1Problema 2. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a) Si A y B son matrices de n × n entonces(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 .b) Si A, B, C son matrices invertibles entonces(ABC) −1 = A −1 B −1 C −1 .c) Si A, B, C son matrices entonces(ABC) t = C t B t A t .97

Problema 3. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a) El producto de matrices simétricas es una matriz simétrica.b) El producto de matrices antisimétricas es una matriz antisimétrica.c) El producto de matrices tridiagonales es tridiagonal.d) El producto de matrices triangulares superiores es triangular superior.e) El producto de matrices doblemente estocásticas es una matriz doblemente estocástica.Problema 4. Suponga que la matriz A es nilpotente, es decir, existe n ≥ 1 tal que A n = 0. Muestre quela matriz I − A es invertible y que su inversa esI + A + A 2 + . . . + A n−1 .2. Usa matrices para modelar.Problema 1. Considere un grupo de personas que interactúa de acuerdo a una cierta relación. Si anotamospor P 1 , . . . , P n estas personas, construimos una matriz A de modo que A ij es igual a 1 si P i está relacionadocon P j y cero si no. Como convención P i no se relaciona consigo mismo.a) ¿Cuál es el significado de A 2 ?b) ¿Es posible que haya elementos no nulos en la diagonal de A 2 ? ¿Cómo se interpreta?c) En un vecindario hay 4 personas P 1 , P 2 , P 3 y P 4 . Si P 1 escucha un rumor, ésta se lo cuenta a P 2y P 4 . P 2 le cuenta todos los rumores a P 3 . P 3 le pasa los rumores a P 1 y a P 4 no le gusta contarrumores.i) Si P 1 sabe un rumor, ¿después de cuantos pasos lo sabrán todos?ii) Si P 3 sabe un rumor, ¿después de cuantos pasos lo sabrán todos?d) Encuentre otra interpretación social a: “P i está relacionado con P j ”.3. Clasifica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales usando el algoritmo de Gauss. Usa el algoritmode Gauss para determinar invertibilidad de matrices y para calcular inversas.Problema 1. Determine los valores para los parámetros α y β para los cuales el sistema de ecuacionesx + 2y + 3z = 1,2x + 3y + 4z = β,3x + 4y + αz = 1,tiene como conjunto solución:98

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 1a) Un singleton.b) El conjunto vacío.c) Un conjunto infinito.¿Puede que el conjunto solución del sistema tenga dos elementos?Problema 2. Encuentre el conjunto solución del sistemax + 2y + 3z + w = 6,x + z + w = 3.Problema 3. Al utilizar el algoritmo de Gauss para invertir una matriz se ha llegado a la siguiente matrizintermedia⎛⎞1 31 −71 100 6 13 41⎜⎝ 0 0 0 −5⎟⎠ .0 0 7 85Determine si la matriz original es invertible.4. Interpreta el método de Gauss como un método de factorización matricial.Problema 1. Indique qué matrices elementales hay que usar para transformar la matriz⎛ ⎞2 4 0 2A =0 3 3 1⎜⎝2 7 9 7⎟⎠0 0 6 5en una matriz triangular superior. Obtenga una descomposición LU de A.5. Determina el número de operaciones que requiere el algoritmo de Gauss.Problema 1. Determine el número de operaciones (multiplicaciones y divisiones) que requiere el algoritmode Gauss para:a) Resolver un sistema lineal Ax = b.b) Descomponer una matriz en la forma LU, cuando es posible.c) Descomponer una matriz tridiagonal en forma LU, cuando es posible.99

6. Calcula determinantes. Interpreta geométricamente el determinante.Problema 1. Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores (1, 2, 3), (−2, 5, 2) y(7, 6, 5).Problema 2. Calcule el determinante de la matriz⎛2 0 1 33 2 −4 −2⎜⎝ 2 3 −1 09 6 −4 6⎞⎟⎠ .Problema 3. Sean A y B matrices cuadradas. Demuestre que:a) det(AB) = det(A) det(B).( )A 0b) det = det(A) det(B).0 BProblema 4. Si u, v son vectores columna demuestre que det(I + uv t ) = 1 + u t v.7. Aplica la regla de Cramer para resolver sistemas y para demostrar propiedades.Problema 1. Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer:x + 4y − z = 1,x + y + z = 1,2x + 3z = 0.Problema 2. a) Suponga que A es una matriz con coeficientes enteros. Dé una condición sobre el determinantede A para que la matriz A −1 también tenga coeficientes enteros.b) Suponga que A y A −1 tienen coeficientes enteros. ¿Se puede decir que el determinante de A es 1 o−1?8. Modela problemas usando sistemas lineales.Problema 1. Modelo económico de Leontief para los precios en una economía cerrada. [38] Se considerauna economía muy simple en la cual hay solamente tres agentes: agricultor, carpintero y sastre. Sesupone que cada uno de ellos produce una unidad de su producto y que esta es usada en su totalidad por losotros agentes, es decir, se trata de una economía cerrada. El consumo de cada agente queda determinadoen la siguiente tabla de datos100

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 1Agricultor Carpintero SastreAgricultor 7/16 1/2 3/16Carpintero 5/16 1/6 5/16Sastre 1/4 1/3 1/2Donde las columnas representan los bienes producidos y las filas los bienes consumidos por cada agente.Denotamos por p 1 , p 2 y p 3 el ingreso de cada uno de los agentes de la economía.a) Plantee el sistema que relaciona la matriz A, que aparece en la tabla, con el vector de precios oingresos, para obtener Ap = p.b) Resuelva el sistema. ¿Cómo interpreta el hecho que existan infinitas soluciones?c) Plantee el problema en una economía con n agentes. ¿Qué condición debe satisfacer la matriz A?¿Qué condiciones debe satisfacer la solución p? Explique.Problema 2. Modelo económico de Leontief para la producción en una economía abierta. [38] Seconsidera que la economía está constituida por n rubros R i , cada uno de los cuales produce un artículo A i .Se quiere determinar la cantidad x i del artículo A i que debe producirse con el fin de satisfacer la demandainterna, de los otros rubros, más una demanda externa para exportación.Se dispone de los números c ij que representan la cantidad del artículo A j que se requiere para produciruna unidad del artículo A i .Si C es la matriz de los coeficientes c ij , x es el vector con componentes x i y d es el vector de demandaexterna, entonces el modelo queda determinado porx = Cx + d.a) Explique cómo se obtiene este modelo. Construya un ejemplo.b) ¿Qué condición debe satisfacer x para que tenga sentido económico?c) Investigue las condiciones sobre la matriz C, de modo que se cumpla la condición dada en b).9. Investiga sobre otras aplicaciones de las matrices.Problema 1. a) Averigüe sobre aplicaciones de las matrices al estudio de circuitos eléctricos. En particularexplique el significado de la Ley de Kirchhoff.b) Averigüe sobre el uso de matrices en problemas de tráfico vehicular.c) Encuentre analogías y diferencias entre las dos aplicaciones anteriores.101

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 2Nivel 2Enunciado. El alumno sistematiza las estructuras de espacio de vectores de R N y de matrices, en la noción deEspacio Vectorial. Trabajando sobre el cuerpo de los números reales, el alumno comprende que la abstracciónhecha también permite estudiar espacios de funciones lineales y de funciones en general, bajo la misma estructura.En este nivel se formaliza la noción de base y de dimensión de un espacio vectorial. El alumno comprendela noción de dimensión infinita y conoce ejemplos.El alumno comprende que un espacio vectorial se puede definir sobre cualquier cuerpo, en particular conoce losespacios complejos y relaciona espacios complejos con espacios reales.El alumno entiende que las funciones lineales son las transformaciones naturales en el contexto de los espaciosvectoriales y aprende a manipularlas y a representarlas.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Conoce la definición de espacio vectorial sobre un cuerpo. Demuestra propiedades que se deducende la definición.Problema 1. Demuestre las siguientes leyes de cancelación en un espacio vectorial V :a) Si x ∈ V , x ≠ 0 entonces c 1 , c 2 ∈ K, c 1 x = c 2 x implica c 1 = c 2 .b) Si c ≠ 0 entonces x, y ∈ V , cx = cy implica x = y.2. Conoce el concepto de isomorfismo de espacios vectoriales.Problema 1. Considere el subespacio de las matrices M 2,2 (R){(V =) }a b/ a, b ∈ R .−b aDemuestre que V es isomorfo a C R , el espacio vectorial C sobre el cuerpo de los reales.103

3. Demuestra independencia lineal de vectores y encuentra espacios generados por un conjunto devectores. Comprende el concepto de suma directa de espacios vectoriales.Problema 1. Suponga que {x 1 , x 2 , x 3 } es un conjunto linealmente independiente en R N . ¿Qué puededecir de los conjuntos {x 1 + x 2 , x 2 + x 3 , x 3 + x 1 } y {x 1 , x 1 + x 2 , x 1 + x 2 + x 3 }?Problema 2. ¿Cuál de los siguientes conjuntos son linealmente independientes en el espacio de las funcionesreales continuas C(R)?a) {cos x, cos 2 x, cos 3 x, ..., cos n x}, n ∈ N.b) {e x , e 2x , x, x 2 }.Problema 3. a)Encuentre el subespacio de R 4 generado por las columnas de la matriz⎛⎞1 −2 0 3 −43 2 8 1 4⎜⎝ 3 3 7 2 3⎟⎠ .−1 2 0 4 −3b) Encuentre el subespacio de P [t] generado por los polinomios t − 2, 2t − 1, 4t − 2, t 2 − t + 1 yt 2 + 2t + 1.Problema 4. Demuestre que C(R) se puede descomponer en suma directa de los subespacios P = {f :R → R / f es par} e I = {f : R → R / f es impar}.4. Conoce y aplica el concepto de base y dimensión de un espacio vectorial.Problema 1. Determine la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales de M n (R):a) El subespacio de las matrices diagonales.b) El subespacio de las matrices triangulares superiores.c) El subespacio de las matrices simétricas y el subespacio de las matrices antisimétricas.d) El subespacio de las matrices tridiagonales.Problema 2. Demuestre que los vectores (3 − i, 2 + 2i, 4), (2, 2 + 4i, 3) y (1 − i, −2i, 1) forman una basede C 3 C , el espacio vectorial C3 sobre el cuerpo C. Encuentre las coordenadas de los vectores canónicos(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en esta base.Problema 3. Encuentre una base de R 4 que contenga a los vectores⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 −11⎜⎝ 3⎟⎠ y 1⎜⎝ 0⎟⎠ .42104

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 2Problema 4. Considere el espacio vectorial F (R) de las funciones de R en R. En F (R) considere lasfunciones f a definidas como⎧⎨1 t ≥ a,f a (t) =⎩0 t < a.Demuestre que el conjunto A = {f a / a ∈ R} es linealmente independiente y en consecuencia F (R) tienedimensión infinita ¿Es A una base de F (R)?Problema 5. El conjunto {sen(nθ) / n ∈ N} es linealmente independiente. ¿Es una base de P (2π), elespacio de las funciones periódicas de R en R, de período 2π?5. Encuentra el Núcleo y la Imagen de una aplicación lineal. Conoce la Ley de Silvester y la aplica.Problema 1. Sea f una transformación lineal entre los espacios vectoriales X e Y . Demuestre que si{f(x 1 ), f(x 2 ), . . . , f(x k )} es un conjunto linealmente independiente entonces el conjunto {x 1 , x 2 , . . . , x k }es linealmente independiente.Problema 2. Determine el rango y la nulidad de la matriz⎛1 2 1 3 −12 1 −1 2 2⎜⎝ 1 0 0 −1 04 1 −1 0 1⎞⎟⎠ .Problema 3. Considere la función lineal L : R 4 → R 3 definida por L(x, y, z, w) = (x + y, y + z, z + w).Encuentre el Núcleo de L e indique la dimensión de la Imagen de L ¿Es L sobreyectiva?Problema 4. Encuentre la imagen de la aplicación lineal L : R 3 → P 4 [x] definida porL(a, b, c) = a + bx + cx 2 + x(a + bx) + x 2 (2b − 3cx 2 ).¿Cuál es la nulidad de L?Problema 5. Sea X de dimensión finita y f ∈ L(X, X) tal que Ker(f) = Ker(f 2 ). Demuestre queX = Ker(f) ⊕ Im(f).6. Usa conceptos de Espacios Vectoriales y de Transformaciones Lineales para reinterpretar los sistemasde ecuaciones lineales.Problema 1. Considere la matriz A ∈ M n×m (R) y la función lineal L : R m → R n definida por L(x) =Ax. Interprete las posibles salidas del método de Gauss para resolver la ecuación Ax = b, en términos delnúcleo e imagen de la aplicación L.105

Problema 2. Encuentre un sistema de ecuaciones con 5 incógnitas que tenga como espacio solución elgenerado por los vectoresu 1 =(t (t1 0 1 0 1)y u 2 = 1 −1 1 −1 1).¿Cuál es el número mínimo de ecuaciones que debe tener el sistema?7. Encuentra la matriz representante de una transformación lineal. Calcula la matriz de cambio debase entre dos bases de un espacio vectorial.Problema 1. Considere la transformación lineal L : M 2 (R) → M 2 (R) definida por L(A) = A t . Considerelas basesyDetermine la matriz representante de L:( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0 0 0A = { , , , }0 0 0 0 1 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 1 0 0 0 1B = { , , , }.0 0 0 0 1 1 0 1a) Usando A como base para el espacio de partida y de llegada.b) Usando A como base para el espacio de partida y B de llegada.Problema 2. Considere las aplicaciones lineales L : R 3 → R 4 y M : R 4 → R 2 cuyas matrices representantescon respecto a bases B 3 , B 4 y B 2 de R 3 , R 4 y R 2 respectivamente, son:⎛⎞2 3 −2()1 5 3⎜⎝ −1 4 2⎟⎠ y 1 3 −2 0.1 −1 3 20 3 1Encuentre la matriz representante de M ◦ L con respecto a las bases B 3 y B 2 . Determine las coordenadasde M ◦ L(x) cuando las coordenadas de x en la base B 3 son(1 3 −1) t.Problema 3. Sea A la matriz representante de una transformación lineal de T : R n → R n , con respectoa la base canónica. Si {v 1 , . . . , v n } es otra base de R n , ¿cuál es la matriz representante T con respecto aesta base en la partida y en la llegada?Problema 4. Suponga que L : X → X es una función lineal en el espacio X de dimensión finita. SeaU ≠ {0} un subespacio de X tal que L(U) ⊂ U. Demuestre que existe una base de X tal que la matriz106

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 2representante de L en esa base tiene la forma( )A B.0 C¿Bajo qué condición la matriz representante es diagonal por bloques, es decir, B = 0?8. Conoce aspectos históricos de la teoría de espacios vectoriales.Problema 1. Realice una investigación histórica sobre el uso de las nociones de vectores en R 2 y R 3 .Averigüe a quién se atribuye la primera definición abstracta de espacio vectorial.107

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El alumno conoce la noción de producto interno en un espacio vectorial general. El alumno comprendelas proyecciones ortogonales en cualquier dimensión y estudia ciertos aspectos geométricos de los espacioscon producto interno. Resuelve problemas provenientes de algunas aplicaciones usando la noción deproyección. Finalmente el alumno extiende la noción de producto interno a espacios de dimensión infinita.El alumno aborda el problema de valores propios de matrices y en general de operadores lineales en dimensiónfinita. Usando valores propios obtiene nuevas formas de caracterizar la invertibilidad de matrices.El alumno comprende los teoremas básicos de representación canónica, como la diagonalización de matricessimétricas. Conoce la descomposición de matrices en su forma normal de Jordan.En este nivel el alumno encuentra nuevas aplicaciones del álgebra lineal, relativas a problemas de valores propios.El alumno conoce problemas de dinámica de poblaciones y de economía.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Conoce los elementos básicos de espacios vectoriales con producto interno. Calcula ángulos y operacon la desigualdad de Cauchy-Schwarz.Problema 1. Calcule el ángulo entre e 1 = (1, 0, 0, . . . , 0) y el vector (1, 1, 1, . . . , 1) en R N . Interpretegeométricamente y analice qué sucede si N → ∞.Problema 2. Demuestre que si A ∈ M n,m (R) y x ∈ R m entonces‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖,considerando la norma euclideana en R n y R m y la norma ‖A‖ = ( ∑ ni=1∑ mi=1 a2 ij )1/2 , para A ∈M n,m (R).Problema 3. En el espacio C[−1, 1] consideremos el producto interno〈u, v〉 =∫ 1−1u(t)v(t)dt.109

a) Calcule el ángulo entre u(x) = x 3 y v(x) = x.b) Demuestre que las funciones pares son ortogonales a las funciones impares.Problema 4. a) Suponga que la matriz P satisface P t = P −1 , es decir que P es una matriz ortogonal.Demuestre que la transformación T : x ∈ R n → P x es una isometría cuando en R n se considera lanorma euclideana.b) Suponga que en R n se considera la norma inducida por el producto interno 〈u, v〉 = u t Av, donde Aes una matriz simétrica definida positiva. ¿Qué condición debe satisfacer P para que la transformaciónT sea una isometría?2. Construye bases ortonormales de un subespacio vectorial.Problema 1. En el espacio de las funciones continuas C[0, 1] consideramos el producto interno〈u, v〉 =∫ 10u(x)v(x)dx.Encuentre una base ortonormal del subespacio generado por {1, x, x 2 , x 3 }.3. Encuentra la proyección de un vector sobre un subespacio de dimensión finita. Interpreta la proyeccióncomo el punto que minimiza la distancia al subespacio.Problema 1. a) Encuentre una fórmula para calcular la proyección de un vector p sobre el subespaciogenerado por el vector u ≠ 0.b) Si A = {u 1 , . . . , u k } es un conjunto ortonormal, determine una fórmula para calcular la proyecciónde un vector p sobre el espacio generado por A.Problema 2. Encuentre la proyección del vector (2, 1, 2, 1) sobre el espacio generado por los vectores(1, 1, 1, 1) y (1, −1, 1, 0).Problema 3. Encuentre a 1 , a 2 y a 3 de modo que la integralsea mínima.∫ 2π0(a 1 sen t + a 2 sen 2t + a 3 sen 3t + t 2 ) 2 dt4. Interpreta geométricamente el método de mínimos cuadrados y lo aplica al ajuste de datos. Es capazde plantear métodos de ajuste con más parámetros.Problema 1. Supongamos que A ∈ M n×m (R) y que el rango de A es m, con n > m.a) Dé una condición para que el sistema Ax = b tenga una solución.110

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 3b) Si esta condición no se cumple, se puede obtener una “aproximación” minimizando la distancia entreb y el espacio generado por las columnas de A. Usando este criterio obtenga una solución aproximadadel sistema:x + y + z = 0,x + z = 2,y + z = 1,y − z = 1.c) Sabiendo que en las condiciones dadas arriba la matriz A t A es invertible y mediante un razonamientogeométrico, encuentre la fórmula general¯x = (A t A) −1 Abpara obtener la proyección de b sobre el espacio generado por las columnas de A.Problema 2. Supongamos que en un cierto fenómeno están involucradas dos variables y que estas se hanobservado n veces, (y i , x i ) para i = 1, 2, . . . , n. Determine constantes α, β de modo que los errorese i = y i − α − βx i , i = 1, . . . , n,sean mínimos, en el sentido que minimicen ∑ ni=1 e2 i . Observando que el sistemaα + βx i = y i , i = 1, . . . , n,tiene solución en casos muy especiales, plantee el problema geométrico, como en el Problema 1 y deduzcafórmulas para α y β.Problema 3. Un productor mundial de acero tiene la siguiente tabla de producción anual, medida en milesde toneladas:año 1997 1998 1999 2000 2001producción 4500 4680 4430 4780 4800Usando mínimos cuadrados prediga la producción para el año 2002 y 2003.Problema 4. Debido, por ejemplo, a la calidad de las mediciones que llevaron a obtener las observaciones(x i , y i ), se quiere dar distinto peso a cada observación, de modo de cambiar el criterio de minimizaciónpor:n∑w i e 2 i ,i=1111

donde los pesos w i son números positivos. Como en el Problema 2 deduzca la fórmula para obtener α yβ.5. Comprende el problema de valores propios. Encuentra los valores propios de una matriz.Problema 1. Encuentre los valores propios de la matrizA =⎛⎜⎝−1 4 −2−3 4 0−3 1 3Problema 2. Demuestre que los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal.⎞⎟⎠ .6. Conoce y aplica el teorema de diagonalización de matrices simétricas.Problema 1. Encuentre una base ortonormal de R 3 formada de vectores propios de la matriz⎛ ⎞4 2 2⎜ ⎟⎝2 4 2⎠ .2 2 4Problema 2. Demuestre que los vectores propios de una matriz simétrica asociados a valores propiosdiferentes son ortogonales.Problema 3. Demuestre que una matriz simétrica es definida positiva si y sólo si todos sus valores propiosson positivos.7. Aplica diagonalización de matrices para estudiar cónicas.( )2 aProblema 1. Identificando los valores y vectores propios de la matriz A = realice la rotación ya 2la traslación de ejes que transforme la ecuación 2x 2 + 2y 2 + 2axy + 3x − y = 0 en una ecuación del tipoλ 1¯x 2 + λ 2 ȳ 2 = b. Caracterice las cónicas que se obtienen para distintos valores del parámetro a.Problema 2. Considere las siguientes formas cuadráticas:a) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x 2 x 3 .b) 6x 1 x 2 + 8x 2 x 3 .Para cada una de éstas encuentre una forma cuadrática equivalente de la forma λ 1 x 2 1 + λ 2 x 2 2 + λ 3 x 2 3.112

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 38. Aplica el criterio de la multiplicidad geométrica y algebraica para determinar si una matriz esdiagonalizable.Problema 3. Determine cual de las siguientes matrices es diagonalizable:⎛⎞ ⎛⎞( ) ( ) −1 0 1 −1 4 −22 0 1 0 ⎜⎟ ⎜⎟,, ⎝ −1 3 0 ⎠ , ⎝ −3 4 0 ⎠ .1 2 6 −1−4 13 −1 −3 1 39. Conoce la forma normal de Jordan.Problema 1. En su forma más simple el Teorema de Jordan establece que toda matriz A se puede escribircomo A = B + N, donde B es diagonalizable, N es nilpotente y BN = NB.a) Use este resultado para definir e A .(b) Calcule e A para la matriz A =1/2 1/2−1/2 −1/2).10. Demuestra propiedades de la traza de una matriz.Problema 1. Demuestre las siguientes propiedades de la traza:a) tr(AB) = tr(BA) ∀A, B ∈ M n (R),b) tr(A) = ∑ ni=1 λ i, donde los λ i son los valores propios de A, contados con multiplicidad.Problema 2. Si A, B ∈ M n×m entonces tr(A t B) = tr(AB t ).11. Describe de varias maneras la condición: A es invertible.Problema 1. Indique cuál de las siguientes condiciones son equivalentes a ‘A es invertible’:a) El sistema Ax = 0 tiene a x = 0 como solución.b) det(A) ≠ 0.c) El rango fila y el rango columna de A coinciden.d) La ecuación Ax = b tiene una única solución, cualquiera sea b.e) A −1 existe.f )La función f : R n → R n definida por f(x) = Ax es sobreyectiva.g) Los valores propios de A son reales.113

Problema 2. Determine los posibles valores de los parámetros α y β de modo que la matrizsea invertible.⎛⎜⎝1 α 1β 1 0−1 1 112. Aplica valores y vectores propios para resolver modelos que requieren el cálculo de potencias de unamatriz. Modela problemas de población.Problema 1. [51] En poblaciones que tienen esquemas reproductivos estacionales, un modelo discreto seadapta muy bien para describir la evolución a lo largo del tiempo. Ciertamente el modelo más simple es⎞⎟⎠N(t + 1) = RN(t),donde N(t) es el número de individuos en el período t y R es la tasa de reproducción.En muchas especies la reproducción es altamente dependiente de la edad de los individuos. El siguientemodelo, debido a Patrick Leslie, corresponde a una especie que vive tres estaciones. En cada estaciónllevamos el registro del número de hembras según la edad, formando el vector⎛ ⎞N 0 (t)N(t) =N 1 (t)⎜⎝N 2 (t)⎟⎠ .N 3 (t)El modelo que plantea Leslie es el siguiente⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞N 0 (t + 1) 0 2 1,5 0 N 0 (t)N 1 (t + 1)⎜⎝N 2 (t + 1)⎟⎠ = 0,4 0 0 0N 1 (t)⎜⎝ 0 0,3 0 0⎟ ⎜⎠ ⎝N 2 (t)⎟⎠ .N 3 (t + 1) 0 0 0,1 0 N 3 (t)a) ¿Cómo se interpreta el hecho que la última columna de la matriz es nula?b) ¿Qué proporción de los individuos de 2 estaciones de edad sobreviven y pasan a 3 estaciones deedad?c) ¿Cuántos individuos nacen en cada estación de madres de 2 estaciones de edad?d) Si inicialmente la población estaba distribuida de acuerdo a N 0 = 0, N 1 = 1, N 2 = 2 y N 3 = 3,describa la distribución de la población después de tres estaciones.e) ¿Cuál es el comportamiento de la población en el largo plazo?114

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 3f )Si una especie tiene matriz de Leslie⎛⎞5 7 1,5⎜⎟A = ⎝0,2 0 0 ⎠0 0,4 0y el vector de población inicial es (1000, 0, 0). ¿Después de cuánto tiempo se triplicará la población?¿Podría decir que la población crece para siempre?13. Conoce criterios de estabilidad para sistemas de evolución de la forma u k = Au k−1 .Problema 1. En un sistema de evolución x k = Ax k−1 . ¿Cómo se interpretan los valores propios complejoscon módulo uno? Este es el caso, por ejemplo, de las matricesA =(0 −11 0)⎛ ⎞0 0 1⎜ ⎟y B = ⎝1 0 0⎠ .0 1 0Problema 2. Modelo de Von Neumann para una economía en expansión. [62] Se supone que en laeconomía hay n ‘bienes’, b 1 , b 2 , . . . , b n . La producción de cada bien b 1 i en el año 1 requiere de los insumosproducidos en el año 0, de acuerdo a la relaciónb 1 i =n∑a ij b 0 j.a) Plantee un sistema de evolución discreto para describir el desarrollo de la economía.b) Considere el caso de tres bienes: acero, comida y trabajo. De acuerdo a la siguiente relaciónj=1⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞A 1 0,4 0 0,1 A 0⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎝C 1 ⎠ = ⎝ 0 0,1 0,8⎠⎝C 0 ⎠ .T 1 0,5 0,7 0,1 T 0¿Qué puede decir del comportamiento de la economía en el largo plazo? ¿Se contrae o se expande?14. Investiga acerca de aplicaciones de matrices simétricas.Problema 1. Averigüe qué es el tensor de esfuerzos en Mecánica y el significado de los ejes principales.Relacione estos conceptos con sus conocimientos de matrices simétricas y diagonalización. Explique elsignificado de los vectores propios del tensor de esfuerzos.115

15. Investiga con mayor profundidad la forma normal de Jordan.Problema 1. Encuentre y comprenda la demostración del teorema de descomposición en forma normal deJordan. Indique qué utilidad tiene este teorema.116

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. En este cuarto nivel el alumno desarrolla la programación lineal como herramienta para modelardiversos problemas de la vida real. Para problemas de dos variables, el estudiante interpreta y resuelve geométricamentelos problemas de programación lineal. En el caso de muchas variables, el alumno conoce el métodosimplex como el método usual de resolución de problemas de programación lineal. Resuelve problemas de tamañopequeño. El alumno continúa desarrollando su capacidad para modelar.En este nivel se aborda el problema de Flujo en Grafos. El alumno conoce y aplica un algoritmo para resolverlo.El estudiante formula alternativamente el problema de Flujo en Grafos como un problema de programaciónlineal.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Plantea los problemas emblemáticos de la programación lineal.Problema 1. Problema de Transporte.a) Una empresa productora de zapatos tiene dos plantas de producción y tiene tres locales de venta. Loslocales de venta requieren de 1000, 1500 y 2000 pares de zapatos para la venta respectivamente, y lasplantas producen 1800 y 2700 pares de zapatos cada una. Además se conocen los costos de envío decada par de zapatos (en pesos) desde una planta a un local de venta, de acuerdo a la siguiente tabla:local 1 local 2 local 3planta 1 20 45 34planta 2 18 15 30Plantee un problema de programación lineal para determinar el número de pares de zapato que debeenviarse desde cada una de las plantas a cada uno de locales de venta.b) Plantee este problema en el contexo de m plantas y n locales de venta. Describa los datos y definalas variables. Plantee las restricciones y la función objetivo. Si definimos a i como la producción de117

la planta i y como b j el requerimiento del local j, suponga en una primera etapa quem∑ n∑a i = b j .i=1 j=1Luego plantee el problema sin suponer esta restricción.Problema 2. Problema de Análisis de Actividad.a) Una empresa dispone de una cantidad fija de recursos (materiales, mano de obra, equipos) para laproducción de un cierto número de productos. Se tiene una tabla con la cantidad del recurso i quese requiere para producir una unidad del producto j y además se dispone de las utilidades que seobtienen de producir una unidad de cada uno de los productos. Plantee el problema de programaciónlineal que permita determinar qué cantidad de producto se debe producir para maximizar lasutilidades.Los datos y variables son:m: número de insumos,n: número de productos,a ij : número de unidades del insumo i para producir una unidad del producto j,b i : la cantidad de insumos i disponibles,c j : utilidad de producir una unidad del producto j,x j : nivel de actividad del producto j.b) Encuentre en su entorno un problema real que se pueda formular usando este modelo. Si es posiblevisite una empresa local y obtenga datos reales para la formulación del modelo.Problema 3. Problema de las Dietas.a) Suponga que se conoce el contenido nutritivo de varios productos, por ejemplo, la cantidad de fósforoy de hierro que contienen algunos alimentos, digamos: pan, leche y carne. También sabemos cualesson los requerimientos de cada uno de los nutrientes (fósforo y hierro) para mantener una dieta sana.El problema consiste en determinar la cantidad de cada uno de los alimentos (pan, carne y leche)minimizando el costo total, pero satisfaciendo los requerimientos de fósforo y hierro. Plantee elproblema de programación correspondiente.b) Generalice a un número n de alimentos y un número m de minerales o nutrientes. Incorpore cualquierotro elemento que usted considere importante para obtener un problema más realista.2. Plantea problemas de programación lineal.Problema 1. a) Una planta generadora de electricidad quema carbón, petroleo y gas. Cada toneladade carbón genera 600 [Kwh], emite 20 unidades de bióxido de azufre y 15 unidades de partículas118

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 4suspendidas y tiene un costo de 200 dólares. Cada tonelada de petroleo genera 550 [Kwh], emite18 unidades de bióxido de azufre y 12 unidades de partículas suspendidas y tiene un costo de 220dólares. Cada tonelada de gas genera 500 [Kwh], emite 15 unidades de bióxido de azufre, 10 unidadesde partículas suspendidas y tiene un costo de 250 dólares.La Comisión ambiental restringe las emisiones de contaminantes de modo que diariamente no sepuede emitir más de 60 unidades de bióxido de azufre y 75 unidades de partículas suspendidas. Sila planta no quiere gastar diariamente más que 2000 dólares en combustible, ¿cuánto combustible decada tipo debe comprar diariamente para maximizar la cantidad de energía generada?b) Incorpore elementos adicionales al modelo de modo de hacerlo más realista.3. Resuelve gráficamente problemas de programación lineal en dos variables.Problema 1. Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal:Maximizar M = x 1 + 2x 2 , sujeto a las restriccionesx 1 ≤ 25,x 1 + x 2 ≤ 30,−x 1 + x 2 ≤ 10,x 1 , x 2 ≥ 0.Problema 2. Suponga que el conjunto factible de un problema de programación lineal está determinadopor las desigualdades2x + y ≤ 50 y x + 2y ≤ 70.Haga un dibujo del conjunto factible y determine cuáles son las funciones objetivo lineales que alcanzansu máximo en dicho conjunto.4. Conoce y usa las propiedades básicas de los conjuntos factibles en programación lineal.Problema 1. Demuestre que el conjunto factible {x ∈ R n / Ax ≤ b}, con A ∈ M m×n (R), b ∈ R m , esun conjunto convexo.Problema 2. Demuestre que el conjunto de soluciones (mínimos o máximos) de un problema de programaciónlineal es convexoProblema 3. [35] Para el sistema6x 1 − x 2 + 14x 3 − 20x 4 + 7x 5 = −16,2x 1 + x 2 − 5x 3 + 10x 4 − 3x 5 = 11,x 1 + x 2 − 7x 3 + 12x 4 − 4x 5 = 13,119

encuentre la solución básica en la cual x 1 y x 4 son nulas. Luego cambie la base para obtener una soluciónbásica en la cual x 1 y x 5 son nulas.Problema 4. Dado el siguiente tableau correspondiente a una solución básica de un sistema de 6 incógnitasy 3 ecuaciones:Base a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6a 4 2 0 0 1 0 2a 2 5 1 3 0 0 0a 5 -1 0 4 0 1 6a) ¿Puede intercambiar a 5 con a 1 ? Si es así, hágalo.b) ¿Puede intercambiar a 4 con a 3 ? Si es así, hágalo.5. Usa el método simplex para resolver el problema canónico de programación lineal:Max c t x sujeto a Ax ≤ b, x ≥ 0,con c ≥ 0, b ≥ 0. Despliega el tableau inicial e itera según el criterio de optimalidad. Interpretageométricamente una iteración del método simplex.Problema 1. Para el conjunto de desigualdades en forma canónicax 1 − 2x 2 ≥ −4,2x 1 + 3x 2 ≤ 13,x 1 − x 2 ≤ 4,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0,agregue variables de holgura y obtenga el tableau inicial, correspondiente a la solución básica (0, 0, 4, 13, 4).a) Interprete geométricamente la solución básica indicada.b) Intercambie v 1 con v 3 y obtenga el tableau correspondiente a la nueva solución básica. Interpretegeométricamente esta nueva solución.Problema 2. [35] Considere el problema de programación lineal siguiente:120

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 4Maximizar z = 2x 1 + x 2 − 3x 3 + 5x 4 sujeto a las restricciones3x 1 − x 2 + x 3 + 2x 4 ≤ 8,x 1 + x 2 + 4x 3 − x 4 ≤ 6,2x 1 + 3x 2 − x 3 + x 4 ≤ 10,x 1 + x 3 + x 4 ≤ 7,x j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4.Después de una iteración se ha obtenido el siguiente tableauBase b v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8v 4 4 3/2 -1/2 1/2 1 1/2 0 0 0v 6 10 5/2 1/2 9/2 0 1/2 1 0 0v 7 6 1/2 7/2 -3/2 0 -1/2 0 1 0v 8 3 -1/2 1/2 1/2 0 -1/2 0 0 120 11/2 -7/2 11/2 0 5/2 0 0 0a) ¿Cuál es el valor de la función objetivo en la solución básica factible corriente? ¿Qué debe hacer paraencontrar una nueva solución básica factible, en la cual el valor de la función objetivo sea mayor?b) Suponga que en la última fila todos los costos (reducidos) son positivos o ceros. ¿Cómo interpretaesto?Problema 3. Suponga que está resolviendo un problema de programación lineal, de minimización, usandoel algoritmo simplex. Si el problema está en forma canónica ¿qué condiciones se deben cumplir en eltableau para que usted pueda concluir que el problema no tiene mínimo, pues es no acotado?6. Resuelve problemas de tamaño menor usando el método simplex.Problema 1. Resuelva el siguiente problema de programación lineal:Maximizar z = x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 , sujeto a las restricciones2x 1 + x 2 − x 3 − x 4 ≤ 6,x 1 − x 2 + x 3 + x 4 ≤ 8,x 1 + x 2 + 2x 3 − 2x 4 ≤ 12,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0.121

7. Conoce el problema de Flujo Máximo y un algoritmo para resolverlo. Modela situaciones utilizandoel problema de Flujo Máximo.Problema 1. Considere la siguiente situación que ocurre cuando hay varios centros de producción (oferta)y varios centros de consumo (demanda) y existe una red de caminos o calles con capacidades determinadas.La pregunta es si es posible satisfacer la demanda o si existen ‘cuellos de botella’ que lo impiden.El siguiente grafo tiene a los nodos b, c y d como oferta con un total de 60 unidades y a los nodos j, kcomo demanda con un total de 55 unidades.a) Determine si es posible satisfacer la demanda.b) Cambie el sentido de la arista (h, g) y repita la parte a).Problema 2. [63] Entre dos puntos es necesario enviar mensajeros. Por razones de seguridad es necesarioque los mensajeros nunca repitan el mismo camino entre dos puntos. Para el grafo de la figura¿cuántos mensajes se pueden enviar?122

Matemática .:. Algebra lineal .:. Nivel 48. Plantea el Problema de Flujo Máximo como un problema de programación lineal.Problema 1. Plantee un problema de programación lineal para determinar el flujo máximo en la red quese indica en la figura.Problema 2. Plantee el problema de Flujo máximo en toda su generalidad, usando la matriz de incidenciapara describir el grafo en cuestión.9. Comprende el contexto histórico en el cual se desarrolla la programación lineal. Conoce los aportesde George Dantzig.Problema 1. Investigue sobre las contribuciones del matemático George Dantzig al desarrollo de la ProgramaciónLineal y el método Simplex. Investigue sobre el contexto histórico en que se dieron estosdesarrollos y las principales aplicaciones que se tenían en mente.10. Investiga sobre la complejidad del método simplex y algunos de sus alternativos.Problema 1. Investigue sobre la complejidad del algoritmo simplex ¿Es el algoritmo simplex un métodoque teóricamente sería muy lento? ¿Qué sucede en la práctica? Averigüe si existen algoritmos alternativosmás rápidos.123

Nota bibliográfica para el eje de Algebra LinealEl texto de Gilbert Strang [62] es un clásico del Algebra Lineal donde se pueden encontrar los contenidosnecesarios para alcanzar estos estándares, con especial énfasis en los aspectos más teóricos. Como complementosugerimos el libro de Bernard Kolman [38], que presenta las materias con numerosos ejemplos y que contieneuna cantidad importante de aplicaciones y aspectos numéricos del álgebra lineal.Para el tema de Programación Lineal hemos considerado el libro de William Smythe y Lynwood Johnson [35]en el cual se puede encontrar el material requerido, con numerosas aplicaciones y ejemplos. Este libro contienebastante material adicional, como la discusión sobre la convergencia del método simplex. En este libro se puedeencontrar también el problema de flujo en redes.Sugerencias para la implementación curricularEl Algebra Lineal tiene la gran virtud de combinar la Matemática abstracta de manera muy directa con lasaplicaciones.El Algebra Lineal provee de numerosos problemas donde se pone en juego la capacidad del alumno para realizaruna demostración y para pensar en términos lógicos correctos. Este eje permite avanzar mucho en el pensamientomatemático del alumno. Por otro lado en este eje se debe desarrollar fuertemente la capacidad para modelar, otrode los aspectos importantes del pensamiento matemático.Una implementación curricular debe aprovechar este eje para desarrollar la capacidad de interactuar con lastecnologías disponibles para resolver problemas con muchas variables. En particular el estudio de la programaciónlineal debería realizarse con paquetes computacionales que permitan al alumno ver cómo se resuelven enrealidad estos problemas.Bibliografía para el eje[38] Kolman, Bernard, Algebra Lineal Prentice Hall, México, 1999.[51] Naeuhauser, Claudia, Calculus for Biology and Medicine. Prentice Hall, 2000.[35] Johnson, Lynwood y Smythe, William, Introduction to linear programming, with applications. PrenticeHall, Inc. New Jersey, 1966.[62] Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications. Academic Press, 1980.[63] Tucker, A. Applied Combinatorics. John Wiley & Sons, Inc. 1995.124

64Eje 4Análisis11 2 3 4 5x

Matemática .:. AnálisisANALISISDescripción GeneralEste eje aborda una rama de la Matemática cuya relevancia en la formación de un profesor es ampliamentereconocida. El trabajo que se presenta, constituye una propuesta que, al tiempo de fijar las cotas a su profundidady alcance, enfatiza en las relaciones y aplicaciones del análisis a otras áreas del conocimiento. Es fundamentalque el Profesor de Matemática adquiera una base sólida de conocimiento del cálculo diferencial e integral y quecomprenda su rol en el desarrollo de la matemática moderna y de la ciencia en general. En este eje se incluye elestudio de las ecuaciones diferenciales, lo cual acerca al profesor a problemas de modelación y contribuye así auna visión de la Matemática como una disciplina que aporta a la comprensión del mundo natural y social.El primer nivel está abocado al estudio del cálculo diferencial en una variable. El Profesor de Matemática manejacon soltura los conceptos presentes en el estudio de funciones de una variable real. Comprende rigurosamentey de manera intuitiva los conceptos de límite y de derivada. En este nivel, el profesor analiza funciones, enparticular, conoce criterios para determinar y caracterizar puntos extremos de una función. Se estudian tambiénen este nivel las sucesiones de números reales.El estudio del cálculo integral en una variable está contemplado en el segundo nivel, donde también se estudianlas series. El Profesor de Matemática comprende la relación entre integración y derivación a través del TeoremaFundamental del Cálculo. Mediante este teorema relaciona conceptos físicos como trabajo y energía. Así mismo,es capaz de hacer cálculos de áreas, volúmenes y superficies de revolución. A través del estudio de series, elProfesor de Matemática encuentra expresiones para números importantes, como e y π.Para el tercer nivel, se ha contemplado el estudio del cálculo en varias variables, tanto diferencial como integral.Se ha puesto énfasis en la resolución de problemas de minimización con y sin restricciones. Este tema muestrala utilidad de los conceptos estudiados para la resolución de problemas reales.El estudio de las ecuaciones diferenciales está considerado en el cuarto nivel. Este tema provee al Profesorde Matemática de herramientas para plantear modelos y analizar múltiples problemas de una gran variedad deámbitos, mostrando así las relaciones entre la Matemática y otras ciencias.127

A lo largo de todo el eje se ha procurado mantener la presencia de los métodos numéricos, el cálculo efectivo,las aproximaciones y el control del error. De igual modo se introducen sistemáticamente indicadores relativosa aspectos históricos, evolución de los conceptos matemáticos estudiados y de teorías actuales que permitanverificar la cultura amplia y el conocimiento del contexto en el que se desarrolla su disciplina que necesariamentedebe poseer el Profesor de Matemática.128

Cuadro sinópticoNiveles del eje

Nivel 1Nivel 2El estudiante conoce el orden de los números realesy resuelve inecuaciones.El estudiante reconoce procesos que se modelan através de sucesiones; opera con ellas y calcula suslímites; aplica el criterio de Cauchy y el Teoremade Punto Fijo. El estudiante utiliza el método deNewton para aproximar soluciones de ecuacionesno lineales, analizando su convergencia.El estudiante opera algebraicamente con funcionesde variable real y las utiliza para modelar. Comprende,relaciona y aplica los conceptos de funcióninyectiva, epiyectiva, creciente, decreciente, funcióninversa. El estudiante es capaz de calcular límitesde funciones y analizar continuidad. Conoce yaplica la propiedad de las funciones continuas dealcanzar su máximo y su mínimo sobre un intervalocerrado. Usa el Teorema del Valor Intermedio.El estudiante comprende los conceptos de derivaday de función diferenciable. Es capaz de calcularderivadas de funciones y de funciones inversas,utilizando reglas de derivación, incluida la Reglade la Cadena. El estudiante es capaz de bosquejarel gráfico de una función indicando todos losaspectos relevantes, utilizando derivadas para estudiarcrecimiento y convexidad, para determinary caracterizar puntos extremos. Calcula límitesusando la Regla de L'Hôpital, compara crecimientode funciones y estudia el comportamiento asintótico.Conocey aplica el Teorema del Valor Medio.Modela usando información sobre las derivadas.El estudiante comprende el concepto de integralde Riemann y su relación con la noción intuitivade área. En particular, conoce la definición deintegral usando límites de sumas de Riemann. Através del Teorema Fundamental del Cálculo, elestudiante relaciona los conceptos de primitiva yde integral. Usando reglas elementales, determinaintegrales definidas e indefinidas. El alumno calculaáreas entre dos curvas, largos de curvas, áreasdescritas en coordenadas polares, áreas y volúmenesde sólidos de revolución.El estudiante aprecia que el desarrollo de la mecánicaclásica impulsa la aparición del cálculo integral.En particular, mediante el Teorema Fundamentaldel Cálculo, relaciona conceptos como momentumy fuerza; trabajo y energía. Conoce la noción dedensidad, calcula centros de masa y momentos deinercia.El estudiante analiza la convergencia de seriesnuméricas y series de potencias usando diversoscriterios de convergencia. El alumno reconoce ydetermina la serie de Taylor de funciones elementalesy la utiliza para aproximar funciones. Medianteel uso de series obtiene relaciones, expresionesy aproximaciones de números importantes.El estudiante conoce el origen histórico del CálculoDiferencial.130

Eje 4: AnálisisNivel 3Nivel 4El estudiante extiende su conocimiento del cálculodiferencial al estudio de funciones de varias variables.Adquiere una visualización geométrica de losdiferentes conceptos, por lo que se enfatiza principalmentesu capacidad de análisis de funciones dedos variables.El alumno comprende el significado del gradientede una función como la dirección de máximo crecimiento.Es capaz de plantear y resolver problemassimples de optimización con y sin restricciones.El estudiante adquiere conocimientos básicos decampos de fuerza y aplica el cálculo diferencial eintegral al estudio de campos conservativos. Planteael método de Newton y lo aplica para resolversistemas de ecuaciones no lineales.El alumno calcula integrales dobles simples. Sibien no se espera que conozca la fórmula generalde cambio de variables, el estudiante es capaz decalcular integrales en coordenadas polares.El estudiante modela situaciones de diversos ámbitosusando ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferencialesordinarias. Comprende que los modelosde ecuaciones diferenciales son aproximaciones dela realidad y los compara con modelos discretos.El estudiante conoce y aplica los teoremas deexistencia y unicidad de soluciones a ecuacionesdiferenciales y los relaciona con el concepto depredictibilidad.El estudiante es capaz de resolver ecuaciones ysistemas de ecuaciones diferenciales simples. Utilizael método de Euler para la resolución numérica dedichas ecuaciones. Analiza cualitativamente sistemaslineales y no lineales usando diagramas de fase.Aplica las ecuaciones diferenciales para resolverproblemas de mecánica de vibraciones y haceanalogías con el modelo de circuitos eléctricos.Modela problemas de difusión y utiliza series deFourier para resolverlos en situaciones simples.El estudiante es capaz de investigar acerca de laevolución histórica de conceptos importantes yacerca de teorías actuales relacionadas con estostópicos.131

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 1Nivel 1Enunciado. El estudiante conoce el orden de los números reales y resuelve inecuaciones.El estudiante reconoce procesos que se modelan a través de sucesiones; opera con ellas y calcula sus límites;aplica el criterio de Cauchy y el Teorema de Punto Fijo. El estudiante utiliza el método de Newton para aproximarsoluciones de ecuaciones no lineales, analizando su convergencia.El estudiante opera algebraicamente con funciones de variable real y las utiliza para modelar. Comprende, relacionay aplica los conceptos de función inyectiva, epiyectiva, creciente, decreciente, función inversa. El estudiantees capaz de calcular límites de funciones y analizar continuidad. Conoce y aplica la propiedad de lasfunciones continuas de alcanzar su máximo y su mínimo sobre un intervalo cerrado. Usa el teorema del valorintermedio.El estudiante comprende los conceptos de derivada y de función diferenciable. Es capaz de calcular derivadas defunciones y de funciones inversas, utilizando reglas de derivación, incluida la Regla de la Cadena. El estudiantees capaz de bosquejar el gráfico de una función indicando todos los aspectos relevantes, utilizando derivadaspara estudiar crecimiento y convexidad, para determinar y caracterizar puntos extremos. Calcula límites usandola Regla de L’Hôpital, compara crecimiento de funciones y estudia el comportamiento asintótico. Conoce yaplica el Teorema del Valor Medio. Modela usando información sobre las derivadas.El estudiante conoce el origen histórico del Cálculo Diferencial.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Resuelve inecuaciones.Problema 1. Encuentre el conjunto de todos los números reales que satisfacen las siguientes condiciones:a) |x + 2| + |2x − 1| ≤ 2.b) |x + 3| < 4 y |x − 1| < 6.c)x 2 + x − 6(x − 1)≤ 0.133

2. Opera algebraicamente con funciones.Problema 1. a) Si f(x) = x 2 − 2x + 1, calcule y grafique f(x − 1) y f(x + 1).b) Si f(x) = sen(x), calcule y grafique f(2x), f( x 2), f(|x|) y |f(x + 3)|.Problema 2. [46] Si f(x) = 1 + x demuestre que1 − xf(x) − f(y)1 + f(x)f(y) = x − y1 + xy .Problema 3. [46] Verifique que f ◦ f ◦ f(x) = x para la función f(x) = 2 − 1x − 1 .3. Reconoce y modela situaciones que correspondan a funciones.Problema 1. [46] La velocidad de una reacción enzimática se describe frecuentemente por la relaciónv =axk + x ,donde v es la velocidad de la reacción, x es la concentración de la sustancia, k y a son las constantes delmodelo. Si la concentración x varía periódicamente por efectos de los cambios de la temperatura diaria deacuerdo a la relaciónx = 2 sen( ) πt,12donde t es el tiempo medido en horas a partir de las 0 horas. Si k = 3 y a = 2:a) Determine la velocidad de la reacción al mediodía.b) Encuentre la fórmula general para v en función del tiempo t.Problema 2. [32] Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán aproximadamenteQ(p) =43, 74p 2kilógramos de café por semana cuando el precio es p pesos por kilógramo. Se estima que dentro de tsemanas el precio será p(t) = 0, 004t 2 + 0, 02t + 1, 2 pesos por kilógramo.a) Expresar la demanda de consumo semanal de café como función del tiempo.b) Dentro de 10 semanas, ¿cuántos kilógramos de café comprarán los consumidores al importador?c) ¿Cuándo llegará a 30.375 kilógramos la demanda de café?134

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 14. Relaciona y aplica los conceptos de función inyectiva, epiyectiva, biyectiva, creciente, decreciente yde función inversa. Reconoce características de funciones a partir de su gráfico.Problema 1. [46] Verifique que la función f : [0, 2] → [0, 2] definida por f(x) = √ 4 − x 2 es invertible yencuentre su inversa. Grafique f y f −1 .Problema 2. [46] Considere la función f : R → R de la figura:a) Determine un conjunto I de modo que la restricción de f a I sea inyectiva.b) Determine un conjunto J de modo que al modificar f, cambiando su conjunto de llegada por J, seobtenga una función epiyectiva.c) Grafique la función que resulta al cambiar el dominio de f por I y el recorrido de f por J. Dibuje suinversa.5. Grafica algunas funciones especiales: exponencial, logaritmo, parte entera, trigonométricas y trigonométricasinversas.( ) x 1Problema 1. Grafique las funciones f(x) = 2 x y g(x) = . ¿En qué puntos del plano se intersectan2los gráficos de f y de g?Problema 2. [46] Se sabe que el gráfico de la figura corresponde a una función logarítmica de la formaN(t) = log b (at). Determine a y b.135

Problema 3. [46] Grafique la función f(x) = log 1 (x), definida para reales positivos.2Problema 4. [46] Grafique la función trigonométrica f(x) = sen(x) definida sobre el intervalo [− π 2 , π 2 ]y la función trigonométrica inversa g(x) = arcsen(x) definida en el intervalo [−1, 1].Problema 5. [20] Grafique la función f(x) = x − [x], definida para todos los números reales.6. Reconoce situaciones que se modelan como sucesiones.Problema 1. Se unen los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado 10 [cm], obteniendo otrocuadrado. Se repite indefinidamente el proceso. Determinar la sucesión formada por las longitudes de loslados y la sucesión formada por las áreas de los cuadrados.Problema 2. En el año 1202 Leonardo de Pisa, de sobrenombre Fibonacci, generó una famosa secuenciade números, que ha sorprendido, a lo largo de los siglos, por sus múltiples relaciones con fenómenosnaturales y aplicaciones matemáticas. Fibonacci se propuso predecir el número de parejas de conejos quehabría en cada mes, si de cada pareja de conejos nace una nueva pareja mensualmente, a partir de su edadfértil, la que se alcanza a los dos meses. La secuencia obtenida por Fibonacci para la cantidad de parejasde conejos que habrá en el mes n esf n = f n−1 + f n−2 con f 0 = f 1 = 1.a) Calcule f n , para n = 2, 3, . . . , 9 y explique en detalle el modelo y sus supuestos.b) Tan misterioso como los números de Fibonacci es otro antiguo y famoso número, llamado razónaurea o proporción divina: r = √ 5+12, que es solución de la ecuación x = 1 + 1 x. Calcule loscuocientes r n , para n = 0, 2, . . . , 8, y encuentre una explicación al hecho de que en la= fn+1f nmedida que n crece, r n se aproxima cada vez más al número r.136

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 17. Comprende y aplica el concepto de convergencia y el de límite de una sucesión. Calcula límites desucesiones.Problema 1. Considerando que x = √ 2 se define como el número positivo que satisface x 2 = 2 y que1 < x < 2, se propone el siguiente procedimiento para aproximar x:a) Sea x 0 = 3 2 , es decir, el centro del intervalo [1, 2]. Como x2 = 2 < (x 0 ) 2 = 9 4se concluye que1 < x < 3 2 .b) Con esta información se elige una nueva aproximación x 1 como el centro del nuevo intervalo [1, 3 2 ],es decir, x 1 = 5 4 . Como (x 1) 2 = 2516 < x2 = 2, se concluye que 5 4 < x < 3 2 .c) Con esta información se elige una nueva aproximación x 2 como el centro del nuevo intervalo [ 5 4 , 3 2 ]y se continua razonando como en los pasos anteriores.Obtenga la sucesión de aproximaciones de x = √ 2 que resulta al repetir indefinidamente este proceso,describiendo un paso genérico, es decir, suponga que tiene un intervalo [a k , b k ] que contiene a x e indiquecomo calcula la nueva aproximación x k y el nuevo intervalo [a k+1 , b k+1 ].Encuentre una cota del error cometido por la aproximación k-ésima, es decir, c k tal que |x − x k | ≤ c k yobtenga una aproximación de √ 2 con un error menor que 0, 02.Problema 2. [20] Considere la sucesión {a n }, de término general a n = (−1)n cos(n)n 2 .a) Encuentre un número n tal que |a n | ≤ 10 −5 .b) Pruebe que la sucesión converge a cero.Problema 3. Calcule los siguientes límites:a)√ √ √lím n[ n + 1 − n].n→∞b)[ ( ) n ] 9lím 1 + .n→∞ 11Problema 4. Averigüe si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes y si son acotadas.a)b)c)3 − 4n 2n 2 + 1 .n + 3n + 2 .6n − 1n + 3 .Problema 5. Decida si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. En cada caso demuestre suaseveración.a) Toda sucesión convergente es acotada.137

) Si (a 2 n) n∈N es convergente entonces (a n ) n∈N es convergente.8. Utiliza el criterio de Cauchy para establecer convergencia de sucesiones.Problema 1. Demuestre que si una sucesión {a n } satisface alguno de los siguientes criterios, entoncesconverge.a) Existe q ∈ (0, 1) tal que para todo n |a n+1 − a n | < q n .b) Existe q ∈ (0, 1) tal que para todo n |a n+2 − a n+1 | < q|a n+1 − a n |.1c) Para todo n |a n+1 − a n |

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 111. Analiza la continuidad de una función.Problema 1. Estudie la continuidad de las siguientes funciones f : R → R definidas por:a)b) f(x) = x − [x].⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩tan xxsi x ≠ 0,1 si x = 0.Problema 2. Sea f : R → R tal que la función |f| : R → R, definida por |f|(x) = |f(x)| es continua.¿Es f continua?Problema 3. Dado cualquier número real a ¿existe una función f definida para todo número real que seacontinua en a pero discontinua en cualquier otro punto?12. Usa el teorema del valor intermedio.Problema 1. [46] Demuestre que la función f(x) = x 3 +x+1 tiene al menos una raíz real en el intervalo[−1, 1].Problema 2. [46] Sea f : [0, π cos(x)2] → R la función definida por f(x) =x 2 . Justifique que la imagen de+ 1f es el intervalo [0, 1].13. Reconoce y aplica el resultado: Las funciones continuas en un intervalo cerrado alcanzan su máximoy su mínimo.Problema 1. [46] Decida si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta:Si f : [0, 1] → R es una función continua, entonces el gráfico de f no tiene asíntotas verticales.Problema 2. [32] Los biológos establecieron que la velocidad de la sangre en una arteria es una funciónde la distancia de la sangre al eje central de la arteria. De acuerdo con la ley de Poiseuille la velocidad(en centímetros por segundo) de la sangre que se encuentra a r centímetros del eje central de una arteriaestá dada por S(r) = C(R 2 − r 2 ), donde C es una constante positiva y R es el radio de la arteria. ¿Dóndese producen la máxima y la mínima velocidad de la sangre?14. Comprende y utiliza el concepto de derivada como límite, como variación instantánea y su interpretacióngeométrica.Problema 1. Si en la figura A se muestra el gráfico de una función f entonces ¿cuál de las 5 figurassiguientes representa mejor el gráfico de dfdx ? 139

Problema 2. [20] La temperatura en grados Celcius C está dada en términos de la temperatura en gradosFahrenheit F por C = 5 9(F − 32). Determine la razón de cambio de C con respecto F y la razón decambio de F con respecto C.Problema 3. [20] En el instante t (en meses), la población de chimpancés es deP (t) = 100[1 + 0,3t + 0,004t 2 ].a) ¿Cuánto tiempo tarda la población en duplicar su tamaño inicial P (0)?b) ¿Cuál es la razón de crecimiento instantánea de la población cuando P = 200?Problema 4. Calcule usando la definición, las derivadas de f(x) = x 3 + 2, g(x) = sen 2x, h(x) =cos(x + π), u(x) = tan( x 2) y v(x) = log(x + 1).15. Relaciona los conceptos de continuidad y de diferenciabilidad.Problema 1. [46] Pruebe que la función f definida en el intervalo [0, π] mediante la fórmula⎧⎪⎨ sen x si x ∈ [0, π 2 )f(x) =⎪⎩2 − sen x si x ∈ [ π 2 , π]es diferenciable en todo su intervalo de definición. ¿Qué puede decir de la continuidad de f? ¿Es dfdx unafunción continua ? ¿Es dfdx diferenciable? 140

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 116. Calcula derivadas de funciones simples usando reglas de derivación. Usa la Regla de la Cadena.Problema 1. Para cada una de las funciones que siguen encuentre el máximo dominio sobre el cual esdiferenciable y calcule su derivada:a) f(x) = (e x − e −x )e 2x .√x2 + 2b) f(x) =cosec(x) .c) f(x) = sen 2 [cos(x 3 + 1 x )].17. Calcula derivadas de funciones invertibles.Problema 1. Denotando por g a la función inversa de la función f, calcule:a) g ′ (−1) si f(x) = x 3 − 5.b) g ′ (1) si f(x) = e 2−xx .18. Calcula derivadas de funciones trigonométricas inversas.Problema 1. Encuentre el máximo dominio de cada una de las funciones f y g, de modo que sean diferenciablesy calcule su derivada:a) f(x) = arcsen(x) + arctan(x).b) g(x) = cos(arctan(x 2 )) + arccos( √ x 3 + 5).Problema 2. [39] Un globo se eleva desde el suelo a 100 [m] de un observador, a razón de 50 [m/min].¿Con qué rapidez está creciendo el ángulo de elevación de la línea de visión del observador? ¿Cuánto valeesta rapidez cuando el globo se encuentra a una altura de 100 [m] por sobre esa línea?19. Calcula máximos y mínimos en intervalos cerrados.Problema 1. [41] Un problema fundamental en cristalografía es la determinación de la fracción de empaquede una celosía de cristal, que es la fracción de espacio ocupado por los átomos de la celosía, suponiendoque los átomos son esferas sólidas. Cuando la celosía contiene exactamente dos clases diferentesde átomos, puede demostrarse que la fracción de empaque está dada por la fórmula:donde x =r Rf(x) = K(1 + c2 x 3 )(1 + x) 3 ,es la razón de los radios R y r de cada tipo de átomos de la celosía (y por lo tanto,0 < x ≤ 1), c y K son constantes positivas y el dominio de f es el intervalo [0, 1].a) Pruebe que la función f tiene exactamente un valor t tal que f ′ (t) = 0. Encuentre el máximo y elmínimo de f en [0, 1].141

) Para la sal gema ordinaria se sabe que c = 1, K = 2π 3 y √ 2 − 1 ≤ x ≤ 1. Encuentre los valoresmáximos y mínimos de f.20. Determina intervalos de crecimiento y valores extremos de una función.Problema 1. [20] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los valores extremos de lafunción f(x) = 8x 5 − 5x 4 − 20x 3 .21. Utiliza la segunda derivada para determinar convexidad y concavidad de una función y caracterizasus puntos críticos.Problema 1. [46] Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de las siguientes funciones,identificando mínimos y máximos.a) f(x) = 2x 3 − 9x 2 + 12x + 1.b) f(x) = xe −x .22. Modela utilizando información acerca de derivadas.Problema 1. Obtenga la velocidad v(t) como función del tiempo y la función itinerario s(t) de un móvilque se desplaza con aceleración constante A y que en el tiempo t = 0 pasa por la posición s 0 con velocidadv 0 .Si desde una ventana, que se encuentra a 25 [m] de altura, un niño suelta una pelota, ¿cuánto tardará éstaen golpear el suelo y a qué velocidad lo hará?Problema 2. [39] El azúcar se disuelve en agua a una razón proporcional a la cantidad sin disolver. Si 25[kg] de azúcar se reducen a 7 [kg] en 3 horas, entonces ¿cuándo se disolverá el 20 % del azúcar?23. Reconoce y aplica el Teorema del Valor Medio.Problema 1. Pruebe que una función f : [a, b] → R continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b) esLipschitz de constante L si y solamente si |f ′ (x)| ≤ L para todo x ∈ (a, b).Problema 2. Sea f(x) una función dos veces continuamente derivable y seap(x) = f(x 0 )b + (x − x 0 )f ′ (x 0 ).Demuestre que |f(x) − p(x)| ≤ C|x − x 0 | 2 y encuentre la constante C.Problema 3. Sea f una función dos veces continuamente derivable y sea p(x) un polinomio de grado 2que interpola a f en los puntos x 1 , x 2 y x 3 , es decir, p(x i ) = f(x i ), i = 1, 2, 3. Si e(x) = f(x) − p(x),demuestre que existe un punto t ∈ [x 1 , x 3 ], tal que e ′′ (t) = 0.142

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 124. Grafica detalladamente funciones.Problema 1. [20] Grafique detalladamente las siguientes funciones indicando: los intervalos de crecimientoy de decrecimiento; los intervalos de concavidad y de convexidad; los puntos de inflexión y los puntosmáximos y mínimos.a) f(x) = arccos(x), x ∈ [0, π].b) f(x) = 4x 1 3 + x43 , x ∈ R.c) f(x) = x2, x ∈ R, x ≠ 1.x − 125. Utiliza el Teorema de Punto Fijo para estudiar convergencia de sucesiones definidas por recurrencia.Interpreta gráficamente.Problema 1. Para resolver la ecuación cos( x 2 ) = x en [0, π 2] se sugiere generar una secuencia de aproximacionessucesivas, según el siguiente procedimiento:x 0 = π 2 , x n+1 = cos( xn).2Sea α la solución buscada. Si |α − x 0 | ≤ ε , encuentre un número n para el cual se pueda asegurar que|α − x n | ≤ 10 −5 ε. Grafique las 4 primeras iteraciones.Problema 2. Grafique la función f(x) = x 3 − x 2 − x, indicando las soluciones del problema x = f(x).Establezca condiciones de convergencia de la secuenciax n+1 = x n 3 − x n 2 − x n .Calcule y grafique las primeras tres iteraciones comenzando en:a) x 0 = 1 3 . b) x 0 = 4 3 . c) x 0 = 5 3 . d) x 0 = 7 3 .26. Analiza la convergencia del método de Newton para aproximar raíces de funciones no lineales.Problema 1. Comenzando con x 0 = 1, muestre en un gráfico las primeras 4 iteraciones del método deNewton para aproximar √ 2 .Problema 2. Si α es una raíz de la función no lineal f, 2 veces continuamente derivable en una vecindadde α, donde no se anula la derivada de f y que contiene a x n , entonces demuestre que existe una constantec, tal que|α − x n+1 | ≤ c|α − x n | 2 .Explicite la relación de la constante c con las derivadas de f.Problema 3. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:143

a) El método de Newton converge sólo si la primera aproximación es buena.b) Cuando el método de Newton converge lo hace de modo que en cada iteración se duplica la cantidadde cifras significativas de la aproximación.c) Cuando la ecuación tiene dos soluciones, el método de Newton elige aquella que está más cerca dela primera aproximación.27. Aplica el método de Newton.Problema 1. [46] Utilice el método de Newton para aproximar una raíz de:a) x 5 + 3x + 2 = 0,b) e x − tan(x) = 0.Problema 2. [46] Estudios ecológicos sobre comunicaciones entre aves, buscan determinar el rango delos niveles de decibeles para el trino de ellas. El nivel del sonido (en decibeles [dB]) a la distancia r (enmetros) desde una fuente emisora es:L(r) = L 0 − 20 log 10 (r) − βr,donde, L 0 es el nivel de decibeles a 1 [m] desde la fuente, β es un coeficiente de atenuación cuyo valor esdeterminado por las condiciones físicas del aire (temperatura, humedad, etc.).Dado L 0 = 80 [dB] y β = 1, 15 × 10 −3 [dB/m]. Determine la distancia r para la cual el nivel de L es de20 [dB].28. Calcula límites usando la Regla de L’Hôpital.Problema 1. [46] Calcule los siguientes límites:a) límx→01 − cos xx tan x .b) límx→0e x − 1sen x .29. Compara el crecimiento de las funciones polinomiales, exponenciales y logarítmicas.Problema 1. [46] Calcule los siguientes límites:a)(log x) 3límx→∞ x 2 .b) límx→∞ x2 e −x .c) límx→∞log xe √ x . 144

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 1Problema 2. Grafique detalladamente la función f(x) =(log x)3x 2 , incluyendo asíntotas.30. Conoce los orígenes del Cálculo Diferencial, identificando el período histórico y las contribucionesde Newton y de Leibniz.Problema 1. Describa los respectivos aportes de Newton y de Leibniz al desarrollo del Cálculo Diferencial.Compárelos.Explique sus diferencias y relaciónelas con sus motivaciones, el contexto de sus trabajos y el estado delarte en ese momento histórico.145

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2Nivel 2Enunciado. El estudiante comprende el concepto de integral de Riemann y su relación con la noción intuitiva deárea. En particular, conoce la definición de integral usando límites de sumas de Riemann. A través del TeoremaFundamental del Cálculo, el estudiante relaciona los conceptos de primitiva y de integral. Usando reglas elementales,determina integrales definidas e indefinidas. El alumno calcula áreas entre dos curvas, largos de curvas,áreas descritas en coordenadas polares, áreas y volúmenes de sólidos de revolución.El estudiante aprecia que el desarrollo de la mecánica clásica impulsa la aparición del cálculo integral. En particular,mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, relaciona conceptos como momentum y fuerza; trabajoy energía. Conoce la noción de densidad, calcula centros de masa y momentos de inercia.El estudiante analiza la convergencia de series numéricas y series de potencias usando diversos criterios deconvergencia. El alumno reconoce y determina la serie de Taylor de funciones elementales y la utiliza paraaproximar funciones. Mediante el uso de series obtiene relaciones, expresiones y aproximaciones de númerosimportantes.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Determina sumatorias usando propiedades elementales y algunas sumatorias conocidas.n∑ 1Problema 1. [40] Calculen 3 (1 − i)2 .i=1Problema 2. [61] Determinen∑2 2n 3 1−n .i=1Problema 3. [40] Calcule lím n→∞ s n , donde s n =n∑i=1(12 + i 2.n n)2. Representa e interpreta gráficamente una suma de Riemann y la calcula en algunos casos simples.Problema 1. [53] Calcule la suma de Riemann ∑ ni=1 f(w i)∆x i para f(x) = 1 x, considerada en el intervalo[1, 3] con partición P = {[1, 15/8], [15/8, 9/4], [9/4, 3]} y w 1 = 3/2, w 2 = 2 y w 3 = 5/2. Grafiquela función f y represente la suma de Riemann como área de rectángulos.147

Problema 2. Encuentre la suma de Riemann ∑ ni=1 f(w i)∆x i para f(x) = x 2 + x en el intervalo [0, 1],donde la partición P n consiste en n intervalos equiespaciados y f(w i ) es el máximo de f en el intervalo[x i−1 , x i ].Problema 3. [61] La velocidad de una corredora aumentó de manera paulatina durante los tres primerossegundos de una carrera. En la tabla se da su velocidad a intervalos de medio segundo. Encuentre unaestimación inferior y una superior de la distancia que recorrió durante estos tres segundos.t [s] 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0v [m/s] 0 1,9 3,7 4,7 5,7 6,1 6,3Problema 4. El siguiente gráfico representa la velocidad de un automóvil que acelera pasando del reposoa una velocidad de 120 [km/h] en 30 [s]. Estime la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo.3. Calcula la integral definida usando sumas de Riemann en algunos casos simples. Interpreta la integraldefinida en términos de área.Problema 1. Calcule el área de la región limitada por la parábola de ecuación y = x 2 −x y la recta y = x.n∑)Problema 2. [61] Determine una región cuya área sea igual a lím.n→∞i=1π4n tan ( iπ3nProblema 3. Evalúe, sin calcular, la integral ∫ 0−3 (1 + √ 9 − x 2 )dx, interpretándola en términos de área.4. Utiliza las propiedades de linealidad, superposición y orden de la integral definida para calcular yestimar integrales.Problema 1. Calcule:a)∫ 30(|3x − 5| + x 2 ) dx.148

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2b)∫ 2−2( √ 4 − x 2 + 6x) dx.Problema 2. [61] Demuestre que:a)b)∫ 21∫ π/21∫√ 2 √5 − x dx ≥ x + 1 dx.1x sen x dx ≤ π28 .5. Determina la integral indefinida de una función usando algunas derivadas conocidas.Problema 1. [46] Calcule las integrales indefinidas:∫a) [4x −3 + 27 sen(6x)] dx.∫b) 2xe x2 dx.∫c) (3e x + sec 2 x) dx.6. Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar integrales.Problema 1. [61] Sea g(x) = ∫ xf(t)dt, donde f es una función impar, cuyo gráfico se muestra en la−3figura.a) Evalúe g(−3) y g(3).b) Estime g(−2), g(−1) y g(0).c) Determine dónde g es creciente.d) ¿Dónde g alcanza su máximo?149

e) Determine dónde g es convexa.f ) Bosqueje el gráfico de g.Problema 2. [46] Determine ddx∫ exlog xu 2 du.Problema 3. [61] Encuentre el intervalo donde la función h(x) =Problema 4. [61] Determine ∫ 2f(x)dx, para f dada por:0Problema 5. [61] Calcule límn∑n→∞i=1∫ x⎧⎪⎨ x 4 si 0 ≤ x ≤ 1,f(x) =⎪⎩x 5 si 1 < x ≤ 2.√1 in n .0dtes convexa.1 + t + t2 7. A través del Teorema Fundamental del Cálculo, relaciona conceptos físicos como densidad y masa,velocidad y distancia.Problema 1. [61] La densidad lineal de una varilla de 4 [m] está dada por ρ(x) = 9 + 2 √ x en [kg/m],donde x se mide desde un extremo de la varilla. Encuentre la masa total de la varilla.Problema 2. [61] La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta está dada porv(t) = t 2 − 2t − 8 para 1 ≤ t ≤ 6.Determine la distancia recorrida y el desplazamiento de la partícula en el intervalo [1, 6].8. Usa el método de sustitución para calcular integrales.Problema 1. [46] Calcule las siguientes integrales indefinidas:∫ sen(x)a)cos 2 (x) dx.∫e xb)e 2x + 1 dx.Problema 2. [61] Una fábrica de calculadoras ha montado una línea de producción para fabricar unacalculadora nueva. La tasa de producción de estas calculadoras, después de t semanas, está dada por:[dxdt = 5000 1 − 100 ](t + 10) 2 calculadoras/semana.Determine el número de calculadoras producidas desde el principio de la tercera semana hasta el final dela cuarta.150

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2Problema 3. [61] Use la sustitución u = π − x para calcular∫ π0x sen(x)1 + cos 2 (x) dx.9. Evalúa integrales usando integración por partes.Problema 1. [46] Calcule las siguientes integrales:a)b)c)∫ e1∫ 10∫ π0log(x) dx.arctan(x) dx.sen(x)e 2x dx.Problema 2. [61] Demuestre que para n > 0, entero, se tiene que∫ π/20sen 2n+1 (x) dx =2 · 4 · 6 · . . . · 2n3 · 5 · 7 · . . . · (2n + 1) .10. Calcula trabajo mecánico.Problema 1. [61] Se requiere de un trabajo de 2 [J] para estirar un resorte desde su longitud natural de 30[cm] hasta 42 [cm]. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo de 35 [cm] a 40 [cm]?Problema 2. [61] Para sacar agua de un pozo de 3 [m] de profundidad, se emplea un balde que pesa 2[kg] y una cuerda, cuyo peso será despreciado. El balde comienza con 20 [kg] de agua y se eleva a unavelocidad de 0, 6 [m/s], pero el agua se sale por un agujero a una tasa de 0, 1 [kg/s]. Determine el trabajonecesario para llevar el balde hasta la boca del pozo.11. Mediante el Teorema Fundamental del Cálculo relaciona conceptos como momentum y fuerza; trabajoy energía.Problema 3. [58] A una partícula de masa m se le aplica una fuerza F = kt, proporcional al tiempotranscurrido desde que se inició el movimiento. Encuentre la ecuación de movimiento suponiendo que ent = 0 la partícula está en x = 0 con velocidad inicial v 0 .Problema 4. [53] Si un misil es disparado verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidadinicial de 4 [km/s], ¿qué altura alcanzará?151

12. Calcula áreas entre dos curvas.Problema 1. [46] Calcule el área bajo la curva y = 1 , sobre el eje x y entre las rectas x = 1 y x = 3.x2 Problema 2. [46] Determine el área de la región encerrada por las curvas de ecuacióny = x(x + 1)(x − 3) e y = 5x.Problema 3. [61] Encuentre el área limitada entre la parábola y = x 2 , la recta tangente a esta parábola en(1, 1) y el eje x.13. Calcula el volumen de sólidos de revolución.Problema 1. [61] El barrido de tomografía axial computarizada (TAC) produce vistas de secciones transversalesigualmente espaciadas de un órgano humano. Suponga que la TAC de un hígado humano muestrasecciones transversales con 1,5 [cm] de separación. El hígado tiene 15 [cm] de longitud y las áreas de lassecciones transversales en [cm 2 ] son: 0, 18, 58, 79, 94, 106, 117, 128, 63, 39 y 0. Estime el volumen delhígado.Problema 2. Determine el volumen de:a) Una esfera de radio R.b) Un cono recto de altura h y cuya base tiene radio r.c) Un toro de radios r y R.Problema 3. Encuentre el sólido generado al rotar la región R limitada por los gráficos de y = x ey = x 2 − 2, en torno a la recta de ecuación x = 2. Bosqueje el sólido y determine su volumen.14. Determina el área de una superficie de revolución.Problema 1. [40] Se diseña una lámpara haciendo girar en torno al eje X, la gráfica deCalcule el área de la lámpara.y = 1 3 x 1 2 − x32 , 0 ≤ x ≤13 .Problema 2. Determine el área de la superficie de una esfera.Problema 3. Determine el área de la superficie de un toro de radios r y R.15. Calcula áreas de regiones descritas usando coordenadas polares.Problema 1. [61] Trace la curva representada por cada ecuación y calcule el área que encierra:a) r = 1 + cos θ (cardioide).152

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2b) r 2 = 4 cos 2θ (lemniscata).Problema 2. [20] Encuentre el área de la región que se encuentra encerrada por la curva r = 2 + cos θ yal exterior del círculo r = 2.16. Determina el valor promedio de una función y conoce el teorema del valor medio para integrales.Calcula centros de masa de láminas y varillas.Problema 1. La temperatura en ◦ C de una varilla metálica de 5 metros de longitud está dada por T (x) =4x a una distancia de x metros de uno de los extremos. Determine la temperatura promedio de la varilla.Problema 2. Calcule el valor promedio ¯f de f(x) = x sen(x 2 ) en [0, √ π]. Determine c tal que f(c) = ¯f.Problema 3. Calcule el centro de masa de una varilla de largo l con densidad de masa ρ(x) = e x donde xes la distancia a uno de sus extremos.Problema 4. [61] Calcule el centro de masa de la región de densidad uniforme limitada por las curvasy = sen x, y = cos x, x = 0 y x = π/4.17. Calcula la longitud de arco de curvas planas.Problema 1. [61] Un halcón vuela con una velocidad de 15 [m/s] a una altura de 180 [m] y accidentalmentesuelta a su presa. La trayectoria parabólica de la presa en caída libre hasta tocar tierra está dada pory = 180 − x 2 /45, donde y es la altura sobre el suelo y x es la distancia horizontal, en metros. Encuentreuna expresión para la distancia que recorre la presa entre el instante en que la sueltan y en el que toca latierra.Problema 2. [40] Determine la longitud de arco de la curva f(x) = x36 + 12x sobre el intervalo [ 1 2 , 2].18. Utiliza la Regla del Trapecio para aproximar integrales numéricamente y conoce cotas para el error.Problema 1. [61] Use la Regla del Trapecio para aproximar la integral ∫ 10 sen(x2 ) dx usando 6 intervalosequiespaciados, indicando una cota para el error.Problema 2. Use la regla del trapecio con n = 10 para estimar el largo de la curva y = x 3 , 0 ≤ x ≤ 1.19. Aplica criterios de comparación para estudiar la convergencia de integrales impropias.Problema 1. Función Gama de Euler. Para t > 0 se define la funciónPruebe que:a) Γ(1) = 1.Γ(t) =∫ ∞0x t−1 e −x dx.153

) Γ(n + 1) = nΓ(n) para todo n número natural. Use inducción sobre n para concluir que Γ(n + 1) =n!.Problema 2. Determine si las siguientes integrales impropias convergen o divergen:a)b)∫ ∞0∫ π3π41√x2 + 1 dx.1tan 2 (x)[tan(x) − 1] dx.Problema 3. [61] Un sólido V se obtiene al rotar la región R = {(x, y) / 1 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 1/x} en tornoal eje X. Demuestre que el volumen de V es finito. Pruebe que el área de la superficie de este sólido esinfinita.20. Mediante criterios de comparación y utilizando algunas series básicas determina la convergencia deuna serie.Problema 1. Suponga que ∑ ∞n=1 |a n| es convergente. Demuestre que ∑ ∞n=1 a2 n es también convergente.Encuentre un ejemplo donde ∑ ∞n=1 a2 n converge pero ∑ ∞n=1 |a n| diverge.Problema 2. Determine si la serie dada es convergente o divergente:a)b)∞∑i=2∞∑n=2log(i)i 3 .1n[log(n)] 3 .Problema 3. [61] ¿Cuál es el valor de c si∞∑(1 + c) n = 2?n=2Problema 4. La función Zeta de Riemann se define comoζ(x) =y se usa para estudiar la distribución de números primos. Determine el dominio de ζ.21. Utiliza series para modelar.Problema 1. El conjunto de Cantor se forma como sigue. Se comienza con el intervalo [0, 1] y se eliminael intervalo (1/3, 2/3). Con ello quedan dos intervalos [0, 1/3] y [2/3, 1]. A continuación se quita el terciomedio abierto de ambos. Quedan cuatro intervalos y de nuevo se suprime el tercio medio abierto de ellos.El proceso continua indefinidamente quitando en cada paso el tercio medio abierto de cada intervalo quequeda del paso anterior. El conjunto de Cantor consta de todos los puntos en [0, 1] que quedan después dequitar todos esos intervalos.∞∑n=11n x154

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2a) Demuestre que la longitud total de los intervalos que se quitaron es 1.b) La alfombra de Sierpinski es un análogo bidimensional del conjunto de Cantor. Se forma quitando lanovena parte central de un cuadrado de lado 1. Después se suprimen las partes centrales de los ochocuadrados restantes, y así sucesivamente como muestra la figura. Demuestre que la suma de las áreasde los cuadrados que se quitaron es 1.Problema 2. La dosificación x de un medicamento se da en los tiempos t = 0, 1, 2, . . . La droga sedescompone exponencialmente a razón de R > 0 en el torrente sanguíneo. Demuestre que el nivel final dela droga (después de un número “infinito”de dosis) esx1 − e −R .Encuentre la dosificación necesaria para alcanzar un nivel 2 mg de medicamento, si R = 0, 1.22. Aplica los criterios del cuociente y la raíz para determinar si una serie es absolutamente convergente.Problema 1. [61] Los términos de una serie se definen recursivamente por las ecuaciones:Determine si ∑ a n converge o diverge.a 1 = 2, a n+1 = 5n + 14n + 3 a n.Problema 2. [61] Determine para cual de las siguientes series el criterio de la raíz no es concluyente:a)b)c)∞∑n=1∞∑n=1∞∑n=11n 3 .n2 n .√ n1 + n 2 . 155

23. Usa integrales indefinidas para estimar series.n∑ 1Problema 1. [61] Sea s n = la serie armónica. Pruebe queii=1s n ≤ 1 + log n.Usando esta cota verifique que s 10 6 < 15 y s 10 9 < 22.Problema 2. Estime∞∑n − 3 2 con un error menor o igual a 0, 01.n=124. Determina el radio de convergencia de una serie de potencias. Integra y deriva series de potencias ydetermina expresiones para éstas en algunos casos simples.Problema 1. Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias. Analice la convergenciaen los extremos del intervalo, cuando correspondaa)b)c)∞∑n=0∞∑n=1(−1) n (x + 1) n2 n .x 2n+1(2n + 1)! .∞∑ ( x) n(2n)! .2n=0Problema 2. Dada f(x) =∞∑n=0(−1) n+1n + 1 (x − 1)n :a) Encuentre el intervalo de convergencia de f(x).b) Encuentre una fórmula para la serie f(x).25. Utiliza la serie de Taylor para obtener aproximaciones de funciones.Problema 1. Considere el número real √ 1, 1.a) Use polinomio de Taylor de grado 4 para aproximarlo.b) Estime el error cometido.c) Estime el número de términos del polinomio de Taylor para garantizar una exactitud de 10 −10 .Problema 2. Aproxime∫ 101 − cos(x)x 2 dx con una precisión de cinco cifras decimales.Problema 3. Calcule la expansión en serie de potencias de h(x) = cos 2 (x) usando la expansión en seriede cos(x) y el hecho de que 2 cos 2 (x) = 1 + cos(2x).156

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 2Problema 4. Pruebe que e −x226. Obtiene relaciones y expresiones de números importantes.Problema 1. [20]= 1 − x 2 + x42! − x63! + · · · usando la expansión en serie de Taylor de ex .a) Pruebe que la expansión en serie de la función arctan(x) está dada por:arctan(x) =∞∑n=1b) Encuentre una expresión en serie para π 4 .c) Demuestre que, para − 1 ≤ x ≤ 1.2n + 1(−1) n x2n+1cuando el lado derecho está entre −π/2 y π/2.d) Pruebe que π 4 = 4 arctan ( ) (15 − arctan 1239).( ) x − yarctan(x) − arctan(y) = arctan ,1 + xye) En 1706, John Machin usó la expresión anterior para calcular las primeras cien cifras decimales de π.Usando la expansión en serie de arctan(x) calcule arctan ( ) (15 y arctan 1239), con un error menorque 5 × 10 −8 para probar que π se aproxima por 3, 14159.Problema 2. [61]a) Muestre que, para n = 1, 2, 3, . . .b) Deduzca que( ) ( ( ( )θ θ θ θsen(θ) = 2 n sen2 n cos cos . . . cos2)4)2 n .sen(θ)θ( ( ( θ θ θ= cos cos cos . . .2)4)8)El significado de este producto infinito es que tomamos el producto de los n primeros factores yluego tomamos el límite de esos productos parciales cuando n → ∞.c) Muestre que√ √ √2 2 2 + 2π = 2 2√2 + √ 2 + √ 2Este producto infinito se debe al matemático francés François Viète (1540 − 1603).27. Investiga acerca de la formulación del Teorema Fundamental del Cálculo.Problema 1. Realice una investigación acerca de los aportes de I. Barrow, G. Leibniz e I. Newton a laformulación del Teorema Fundamental del Cálculo. ¿En qué términos Leibniz formula este teorema? ¿Cuálfue el enfoque usado por Newton?2. . .157

28. Conoce la evolución histórica de los desarrollos en serie y de estrategias de aproximación.Problema 1. Describa los principales hitos en la historia de las aproximaciones del número π. Expliquelas constribuciones de Zacharias Dase, George Miel y Srinivasa Ramanujan.158

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El alumno extiende su conocimiento del cálculo diferencial al estudio de funciones de varias variables.Adquiere una visualización geométrica de los diferentes conceptos, por lo que se enfatiza principalmentesu capacidad de análisis de funciones de dos variables.El alumno comprende el significado del gradiente de una función como la dirección de máximo crecimiento. Escapaz de plantear y resolver problemas simples de optimización con y sin restricciones.El estudiante adquiere conocimientos básicos de campos de fuerza y aplica el cálculo diferencial e integral alestudio de campos conservativos. Plantea el método de Newton y lo aplica para resolver sistemas de ecuacionesno lineales.El alumno calcula integrales dobles simples. Si bien no se espera que conozca la fórmula general de cambio devariables, el estudiante es capaz de calcular integrales en coordenadas polares.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Bosqueja el gráfico de una función de dos variables. Dibuja y analiza curvas y superficies de nivel.Problema 1. Describa situaciones de la vida real donde aparezcan funciones de varias variables, por ejemploen meteorología o tomografía.Problema 2. Grafique los conjuntos de nivel −2, −1, 0, 1 y 2 de la función f(x, y) = x 3 − 3xy 2 . Estafunción se conoce como la silla del mono. En el mundo real, identifique alguna cantidad que se distribuyasobre una cierta superficie y que pueda ser modelada aproximadamente por f.2. Estudia la continuidad de funciones de varias variables.Problema 1. Considere la siguiente función:⎧⎪⎨ y 2 − 2xy + a + 1 si x < 1,f(x, y) =⎪⎩by 2 x 2 − 2by + b + x si x ≥ 1.159

a) Para a = 2 y b = 2, bosqueje el gráfico de la función f cerca de la recta x = 1.b) Determine valores de los parámetros a y b de modo que f sea continua.c) ¿Para qué valores de los parámetros la función f es continua en exactamente un punto de la rectax = 1?3. Determina la diferenciabilidad de una función. Relaciona continuidad con diferenciabilidad.Problema 1. [40] Indique en qué puntos del plano la siguiente función es diferenciable:Justifique su respuesta.Problema 2. Dé un ejemplo de:⎧⎪⎨f(x, y) =⎪⎩3x 2 yx 4 + y 2 si (x, y) ≠ (0, 0),0 si (x, y) = (0, 0).a) Una función continua en (0, 0) ∈ R 2 , pero no diferenciable en (0, 0).b) Una función f diferenciable en R 2 , pero con derivadas parciales ∂f∂x y ∂f discontinuas en (0, 0).∂y4. Calcula derivadas parciales usando reglas de derivación.Problema 1. Encuentre todas la derivadas parciales de la funciónf(x, y, z) = sen(x2 + y 2 + z 3 )1 + (x − y) 2 .Problema 2. [40] Dos objetos viajan siguiendo trayectorias dadas por las ecuaciones:x 1 = 4 cos(t) e y 1 = 2 sen(t) para el primer objeto,.x 2 = f(t) e y 2 = g(t) para el segundo objeto.a) ¿A qué tasa varía la distancia s entre ellos en el instante t?b) Si f(t) = 3 cos(t) y g(t) = 4 sen(t), ¿crece o decrece la distancia entre los objetos en t = π? Hagaun dibujo.Problema 3. Considere el cambio de variablesx = s cos(α) − t sen(α) e y = s sen(α) + t cos(α)160

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 3donde α es una constante. Si f(x, y) es una función diferenciable y h(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)), calcule( ) 2 ∂h+∂s( ) 2 ∂h.∂t5. Encuentra planos tangentes y rectas normales a superficies.Problema 1. Determine el plano tangente al gráfico de la función f(x, y) = 3x 2 + 2y 3 en el punto (1, 1).Grafique.Problema 2. Sea S la superficie S = {(x, y, z) ∈ R 3 : z 2 + ( √ x 2 + y 2 − 2) 2 = 1}.a) Encuentre los planos tangentes a S en (0, 2 + 1 √2,1 √2 ) y (0, 1, 0).b) Bosqueje la intersección de S con el plano x = 0. En este bosquejo indique los puntos (0, 2 +√112, √2 ), (0, 1, 0) y dibuje los vectores normales a S en estos puntos.6. Interpreta el gradiente como la dirección de máximo crecimiento de una función.Problema 1. La funciónu(x, y, z) = 3e −(3x2 +2y 2 +z 2 )representa la concentración del gas G en el espacio. Un insecto volador tiene aversión al letal gas G yestá detenido en el punto (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 2). ¿En qué dirección debe moverse el insecto con el objetode disminuir al máximo las chances de ser aniquilado por el gas?Problema 2. Suponga que la función h : R 2 → R representa la altura sobre el nivel del mar en una regióncordillerana. Si (x(t), y(t)) es una solución del sistema de ecuaciones:¿Qué representa la curva (x(t), y(t), h(x(t), y(t)))?ẋ = − ∂h (x(t), y(t)),∂xẏ = − ∂h (x(t), y(t)).∂y7. Utiliza el Teorema de Taylor para obtener aproximaciones.Problema 1. Se desea calcular con precisión el volumen de un recipiente cilíndrico de aproximadamente25 [cm] de alto y con un radio de aproximadamente 1 [cm]. ¿Con qué medición hay que ser más cuidadosocon el radio o con la altura? ¿Por qué?Problema 2. La Ley de Ohm establece una relación entre la corriente I (en amperes), el voltaje V (envoltios) y la resistencia R (en ohms). Si el voltaje cae de 24 a 23 voltios y la resistencia cae de 100 a 80ohms, de acuerdo a la Ley de Ohm, ¿crecerá o disminuirá la corriente? ¿En qué porcentaje?161

Problema 3. Encuentre la aproximación de segundo orden de la funciónf(x, y, z) = xe y + ze 2y ,en torno al punto (x 0 , y 0 , z 0 ) = (0, 0, 0). Encuentre una región en torno al origen que garantice el error deesta aproximación sea menor o igual a 10 −3 .8. Reconoce campos vectoriales en el mundo real.Problema 1. Indique cuál de las siguientes situaciones del mundo real pueden modelarse por un campovectorial:a) La velocidad de los vientos en el hemisferio sur.b) La temperatura al interior de una barra de hielo.c) El precio del euro en el mercado cambiario.d) La fuerza de atracción que ejerce el Sol.Problema 2. La velocidad de las aguas de un río es un campo vectorial. ¿Cuáles cree usted son las variablesde la cual depende? ¿Cuál podría ser el dominio de definición del campo?9. Calcula el trabajo mecánico realizado por una fuerza a lo largo de una trayectoria.Problema 1. Encuentre el trabajo realizado por el campo F = (xy, y, −yz) desde el punto (0, 0, 0) alpunto (1, 1, 1), a lo largo de la trayectoria determinada por la intersección de las superficies y − x 2 = 0 yz − x = 0.10. Reconoce campos conservativos y determina sus potenciales.Problema 1. ¿Cuál es el trabajo mecánico realizado por la Tierra a lo largo de una órbita?Problema 2. Encuentre el trabajo realizado por la fuerzaF (x, y) =1(x, y),(x 2 + y 2 )5/2a lo largo de la curva r(t) = (e t cos(t), e t sen(t)) desde (1, 0) a (e 2π , 0), sin calcular una integral de línea.11. Calcula la matriz Jacobiana de un campo.Problema 1. Considere el campo vectorial F : R 3 → R 3 definido porF (x, y, z) = (x 2 sen(xy), y 2 sen(yz), z 2 ).Calcule la matriz Jacobiana de F en los puntos (1, 0, 1) y (π, 1, π).162

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 3Problema 2. Si la función V (t, x, y) = e t (y 2 , −x 2 ) representa la velocidad del viento sobre una regióndel plano (x, y) donde el eje X y el eje Y indican el Norte y el Este, respectivamente.a) ¿En qué dirección sopla el viento en (1, 1)?b) Calcule ∂V∂V∂V(t, x, y). Interprete (1, 1, 0) y compare con (2, 1, 0).∂x ∂x ∂x12. Aplica el Método de Newton para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas.Problema 1. Plantee la iteración de Newton para resolver el sistemax − 1 cos(x + y) = 3,2y − 1 3 log(1 + x2 + y 2 ) = 5.13. Calcula derivadas parciales de funciones definidas implícitamente.Problema 1. El siguiente sistema de ecuaciones representa el estado de equilibrio de un sistema compuestopor dos poblaciones con u y v miles de individuos, respectivamente:u + v 2 − αu 3 v 3 = 0,v + 2u 2 − βu 3 v 3 = 0.Los números α y β son parámetros del modelo. Se tiene un estado de equilibrio en u = 1 y v = 1 paravalores de los parámetros α = 2 y β = 3. Determine la tasa de cambio de la población de equilibrio de uante un cambio en el parámetro β.14. Aplica criterios de primer y segundo orden para estudiar problemas de optimización sin restricciones.Problema 1. Encuentre y clasifique los puntos críticos de la funciónf(x, y) = (ax 2 + by 2 )e −x2 −y 2 con a > b > 0.Problema 2. La sección transversal de una canaleta es un trapecio isósceles. Si la canaleta se construye apartir de una placa metálica de 18 [cm] de ancho, doblando en un ángulo θ una franja de x [cm] a cadalado. Determine x y θ de modo que se maximice el volumen de la canaleta. Justifique su respuesta.15. Usa positividad del Hessiano para caracterizar funciones convexas.Problema 1. Considere una función f : R → R + de clase C 2 .163

a) Demuestre que log(f(x)) es convexa si y sólo si(f ′ (x)) 2 ≤ f ′′ (x)f(x), x ∈ R.b) Extienda esta propiedad al caso de una función f : R 2 → R + .16. Aplica el criterio de multiplicadores de Lagrange para estudiar problemas de optimización conrestricciones.Problema 1. Una carpa tiene forma de cilindro con un cono superpuesto. Si se requiere que el radio delcilindro sea de 2 [m] y si se dispone de 30 [m 2 ] de lona, ¿de qué altura debe ser el cilindro y el cono paramaximizar el volumen?Problema 2. Sean a, b reales positivos tales que ab(a + b) = 1. Calcule el volumen máximo de los sólidosque tienen como base el triángulo con vértices (0, 0), (a, 0) y (0, b), cuyas secciones al cortar por planosparalelos al plano Y Z, son triángulos isósceles de base en el plano XY y altura 4.Problema 3. Teoría del consumidor en economía. A un consumidor le gusta comer galletas. El consumidortiene una cantidad fija G de galletas y puede comérselas durante los próximos D dias. La felicidadque le reporta al consumidor las galletas que come en el día i es U(g i ), donde g i es la cantidad de galletasque come en ese día y U es una función dos veces diferenciable y estrictamente cóncava que satisfaceU ′ (0) = 0 y U ′ no acotada. El consumidor quiere maximizar su felicidad durante los D días, y para elloresuelve el siguiente problemaMaximizarsujeto aD∑U(g i )i=1D∑g i = G.i=1¿Cuántas galletas come cada día?Nota: El consumidor puede comer cualquier fracción de galletas, es decir, g ifunción estrictamente creciente es inyectiva.∈ R. Recuerde que una17. Calcula integrales sobre dominios y usa el Teorema de Fubini.Problema 1. Calcule la integral∫ 6 ∫ 20 x/3e y2 dydx.Problema 2. Una placa metálica circular se encuentra en la región x 2 + y 2 ≤ 2y y tiene una densidad demasa ρ = x 2 + y 2 [gr/cm 2 ]. Calcule la masa de la placa.164

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 318. Calcula integrales dobles usando coordenadas polares.Problema 1. Calcule el área de una hoja de la rosa ρ = a sen(2θ).Problema 2. Calcule la integral ∫e −x2 −y 2 dxdyR 2usando coordenadas polares. Obtenga de aquí la integral∫e −r2 dr.R19. Es capaz de investigar acerca de las aplicaciones del Cálculo en Varias Variables.Problema 1. Investigue sobre la utilización de la optimización en la Teoría Económica. Reconozca otrosproblemas de Economía que se plantean como el problema 3 del Indicador 16, que se refiere a una formulaciónde la teoría del consumidor como problema de optimización.165

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El estudiante modela situaciones de diversos ámbitos usando ecuaciones y sistemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias. Comprende que los modelos de ecuaciones diferenciales son aproximaciones de la realidady los compara con modelos discretos. El estudiante conoce y aplica los teoremas de existencia y unicidadde soluciones a ecuaciones diferenciales y los relaciona con el concepto de predictibilidad.El estudiante es capaz de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales simples. Utiliza el métodode Euler para la resolución numérica de dichas ecuaciones. Analiza cualitativamente sistemas lineales y nolineales usando diagramas de fase. Aplica las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de mecánica devibraciones y hace analogías con el modelo de circuitos eléctricos.Modela problemas de difusión y utiliza series de Fourier para resolverlos en situaciones simples.El estudiante es capaz de investigar acerca de la evolución histórica de conceptos importantes y acerca de teoríasactuales relacionadas con estos tópicos.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Modela usando ecuaciones diferenciales de primer orden.Problema 1. El modelo logístico describe la evolución de una población y tiene la siguiente formaa) Explique el significado de a y a/b.b) Compare con el modelo Malthusiano (b = 0).dpdt = ap − bp2 , con p(t 0 ) = p 0 .Problema 2. [10] La evolución de una población que es afectada por una epidemia se puede modelar dela siguiente manera:En condiciones normales, la población se comporta según la ecuación logística con parámetros a y b. Laepidemia ataca cuando la población alcanza el valor Q, que se supone satisface Q < a/b, momento en el167

cual los parámetros cambian a A y B, que satisfacen Q > A/B. En ese momento la población comienzaa decrecer hasta que nuevamente alcanza el nivel de población q, que se supone satisface q > A/B. Eneste momento la población nuevamente se rige por el modelo original. Se produce así un comportamientoperiódico entre los valores q y Q.a) Demuestre que el tiempo T 1 que dura la primera parte del ciclo, de q a Q, está dado porT 1 = 1 [ ] Q(a − bq)a log .q(a − bQ)b) Encuentre el tiempo T 2 que dura la segunda parte del ciclo, de Q a q.Problema 3. [10] Un modelo muy conocido para describir la diseminación de innovaciones tecnológicasen el ámbito de las empresas es el siguiente:dpdt= cp(N − p), con p(0) = 1,donde p es el número de empresas que han adoptado la innovación y N es el número total de empresas.Este modelo puede usarse para describir muchos otros fenómenos sociales, como por ejemplo la diseminaciónde un rumor.a) Describa porqué este es un modelo razonable para describir diseminación tecnológica.b) Calcule el tiempo que transcurre desde que el 20 % de la población adoptó la innovación hasta queel 80 % la adoptó. Este número se conoce como tasa de imitación.Problema 4. Un estanque contiene S 0 kilos de sal disuelta en 1000 litros de agua. Comenzando en t = 0,entra al estanque una solución que contiene 0, 1 kilo de sal por litro de agua a una tasa de 4 litros por minutoy sale por una válvula de escape a la misma tasa. Encuentre la concentración de sal en cada instante.Haga explícita las hipótesis que hace para que su modelo sea válido. Muestre ejemplos en los cuales esashipótesis se cumplen y otro ejemplo donde no se cumplen.2. Describe e interpreta geométricamente una ecuación diferencial de primer orden.Problema 1. Dibuje en el plano el campo de direcciones de la ecuación diferencial y ′ = y − x. Identifiquelas soluciones y = x + 1 e y = x + 1 − e x .Problema 2. Considere la ecuación autónoma y ′ = y 4 − 2y 3 − 3y 2 . Dibuje el campo de direcciones eidentifique los puntos de equilibrio. Discuta e interprete geométricamente la estabilidad de cada uno deellos.168

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 43. Comprende el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para ecuaciones de primer orden.Problema 1. Indique una condición suficiente (y no trivial) sobre f para garantizar que la ecuaciónx ′ = f(x, t), con x(0) = x 0 ,tenga una solución x(t) para todo t ∈ R.Problema 2. Considere la ecuaciónx ′ = 1 + x 2 , con x(t 0 ) = x 0 .Encuentre el intervalo máximo donde una solución existe.Problema 3. Encuentre una solución del problema de valor inicialx ′ = t √ 1 − x 2 , con x(0) = 1,distinta de x(t) ≡ 1. ¿Contradice esto el teorema de existencia y unicidad?4. Comprende el Teorema de Punto Fijo de Banach y lo aplica para demostrar el Teorema de Existenciade Soluciones a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.Problema 1. Justifique la utilización del teorema de punto fijo de Banach para encontrar una solución alsistemax − 1 cos(x + y)2= 3,y − 1 3 log(1 + x2 + y 2 ) = 5.¿Es única la solución?Problema 2. Suponga que la función f : (−1, 1) × R → R es continua. Demuestre que los siguientesproblemas son equivalentes:a) Encontrar una función continua x : (−1, 1) → R tal quex(t) = x 0 +∫ t0f(s, x(s))ds, ∀t ∈ [−1, 1].b) Encontrar una función diferenciable x : (−1, 1) → R tal quex ′ (t) = f(t, x(t)), ∀t ∈ [−1, 1], con x(0) = x 0 .169

Problema 3. Si la constante de Lipschitz de la función f en el Problema 2 es M ¿en qué intervalo sepuede aplicar el teorema de punto fijo de Banach para encontrar una solución de x ′ (t) = f(t, x(t))?Problema 4. Construya las primeras 3 iteraciones del método de Picard para resolver la ecuación y ′ =e t +y 2 , con y(0) = 0. Si se continúa iterando se genera una sucesión. ¿Qué puede decir de la convergenciade dicha sucesión?5. Compara modelos de ecuaciones diferenciales con modelos discretos asociados.Problema 1. El crecimiento de la población de una cierta especie puede describirse de la siguiente manera:La variación del número de individuos por unidad de tiempo es igual a 2 veces la población actual menosel cuadrado de esta misma. Se han propuesto los siguientes modelos para describir esta población,suponiendo que inicialmente hay 10 individuos:dpdt = 2p − p2 , con p(0) = 10,p n+1 − p n = 2p n − p 2 n, con p 0 = 10,yq n+1 = q n + 1 4 (2q n − q 2 n), con q 0 = 10.a) Determine p(5), p 5 y q 20 . Compare.b) Describa situaciones en las cuales es más conveniente uno de los modelos frente a los otros dos.c) Tratándose de una población que se reproduce en períodos muy cortos de tiempo, como es el casode las bacterias, uno dispone de un modelo continuo y otro discreto. Naturalmente ambos sonaproximaciones de la realidad. Sin información adicional, ¿cuál cree que es más conveniente y porqué?6. Estima el error al usar el método de Euler para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales deprimer orden.Problema 1. Determine una cota superior para el error cometido al usar el método de Euler con un paso hpara obtener una solución aproximada deen el intervalo [0, 1].dydx = x − y4 , con y(0) = 0,170

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 47. Propone modificaciones simples del método de Euler.Problema 1. En el método de Euler podemos considerar el término hf(x k , y k ) como una aproximacióndel área bajo la curva x → f(x, y(x)) sobre el eje x entre x k y x k+1 . Si esta misma área se aproxima porh2 [f(x k, y k ) + f(x k , ỹ k )],con ỹ k = y k +hf(x k , y k ), determine el error cometido en un paso, es decir, y(x k+1 )−y k+1 , considerandoque y(x k ) = y k y que f es Lipschitz continua en el segundo argumento.8. Aplica el Teorema de Existencia y Unicidad y sus consecuencias directas para analizar el espacio desoluciones. Comprende el rol del Wronskiano en el estudio de la independencia lineal de soluciones.Problema 1. Considere la ecuación diferencialy ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = 0, t ∈ R,donde p y q son funciones continuas.Indique si las siguientes afirmaciones relativas a esta ecuación son verdaderas o falsas y justifique surespuesta:a) Las soluciones de la ecuación existen para todo t ∈ R sólo si las funciones p y q son acotadas.b) La ecuación siempre tiene infinitas soluciones definidas cerca de t = 0.c) Si un par de soluciones y 1 y y 2 de la ecuación son tales que y 1 (t 0 ) = y 2 (t 0 ) y y 1(t ′ 0 ) = y 2(t ′ 0 )entonces y 1 (t) = y 2 (t) y y 1(t) ′ = y 2(t) ′ para todo t ≥ t 0 .d) Existen funciones p y q continuas tal que la función y(t) = t 2 es solución.e) El espacio vectorial de soluciones de (1) tiene dimensión 2.Problema 2. Considere las funciones y 1 (t) = t 2 e y 2 (t) = t|t|. Demuestre que y 1 e y 2 son linealmenteindependientes. Calcule el Wronskiano de y 1 e y 2 y comente.Problema 3. Demuestre que si las funciones y 1 e y 2 tienen un mínimo o un máximo local en un mismopunto entonces y 1 e y 2 son linealmente dependientes o una de ellas no es solución de la ecuación delProblema 1.9. Resuelve ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes, en el caso homogéneo y en el casono homogéneo, con lado derecho simple.Problema 1. a)Resuelva la siguiente ecuación3y ′′ + 4y ′ + y = e −t sen(t), con y(0) = 1, y ′ (0) = 0.171

) Encuentre la solución general de la ecuación2y ′′ − 3y ′ + y = (t 2 + 1)e t .10. Modela el problema de vibraciones mecánicas e interpreta sus soluciones.Problema 1. Indique qué leyes de la Física se usan para determinar la ecuación del movimiento de unapartícula adosada a un resorte. Indique las fuerzas que actúan cuando hay amortiguamiento.Problema 2. [10] Un objeto de 4 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante elástica igual a 64[N/m] y se le somete a una fuerza externa igual a F (t) = C cos 3 (ωt), donde C es una constante positiva.Encuentre todos los valores de ω para los cuales hay resonancia.Problema 3. [10] Un objeto de 1 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante elástica igual a 64[N/m]. Con la masa en reposo, en la posición de equilibrio del resorte en t = 0, se aplica una fuerzaexterna F (t) = t/2 [N] hasta t 1 = 7π/16 [s], momento en que deja de actuar. Suponiendo que no hayamortiguamiento, encuentre la frecuencia y amplitud de las oscilaciones resultantes.Problema 4. [10] Un pequeño objeto de 1 [kg] de masa se sostiene de un resorte de constante k = 1[N/m]. Este sistema masa-resorte es sumergido en un líquido viscoso con constante de amortiguamientoc. Se aplica una fuerza externa F (t) = 3 − cos(t) [N] al sistema. Determine el mínimo valor positivo c demodo que la magnitud de la solución estacionaria no exceda 5 [cm].11. Comprende las analogías entre el problema de vibraciones mecánicas y el de circuitos eléctricos.Problema 1. Describa en detalle un problema de circuitos eléctricos que sea análogo al Problema 2 delIndicador 10. Describa los supuestos físicos que permiten escribir las ecuaciones.Problema 2. Considere un circuito en serie con constantes L, R y C y un voltaje aplicado E 0 sen(ωt).¿Para qué frecuencia ω se obtiene una corriente estacionaria máxima?12. Resuelve sistemas de ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes. Aplica la fórmula devariación de parámetros.Problema 1. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales de primer orden:(D + 1)x + 2y = 1,2x + (D − 2)y = t.Problema 2. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:(2D − 2)x + (D − 7)y = t − 1,(3D − 2)x + (2D − 8)y = e −t .172

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 413. Construye e identifica diagramas de fase para sistemas lineales.Problema 1. Determine las órbitas del sistema de ecuaciones diferencialesdxdtdydt= −x − y,= x − y.Problema 2. Cada uno de los siguientes diagramas de fase corresponde a un sistema lineal de dos ecuacionesde primer orden. Indique en cada caso qué características tienen los valores propios de la matriz delsistema.14. Construye e interpreta diagramas de fase para sistemas no lineales conservativos.Problema 1. El movimiento de un péndulo se puede describir por una ecuación de segundo orden¨θ + sen(θ) = 0.La figura representa el diagrama de fase correspondiente a esta ecuación.a) Describa a qué movimiento se asocian las trayectorias cerradas en torno a cero.173

) Describa a qué movimiento se asocian las trayectorias oscilantes no acotadas que avanzan hacia laderecha.c) Los puntos (0, 0) y (π, 0) son puntos de equilibrio del péndulo. Indique cuál de ellos es estable ydiga cómo se puede obtener esa información del diagrama de fase.d) Describa las trayectorias asociada a energía cero. ¿Es posible observar estas trayectorias en un pénduloconcreto? ¿Porqué?Problema 2. El diagrama de fase de la figura corresponde a una ecuación de la formaẍ + f(x) = 0.Identifique cualitativamente la función f, es decir indique sus ceros, puntos críticos y haga un bosquejo desu forma.15. Conoce las ecuaciones de Lorenz y su importancia.Problema 1. a)¿Qué fenómeno físico quería describir Lorenz usando estas ecuaciones?b) ¿Cuántas variables tiene el sistema y de qué orden es? ¿Es lineal?c) Si bien el sistema satiface las hipótesis del Teorema de Existencia y Unicidad, ¿qué característica delas soluciones hace que su comportamiento sea impredecible?d) ¿Porqué este sistema es importante en el desarrollo de la Ciencia?16. Encuentra la serie de Fourier de una función y determina su convergencia.Problema 1. Obtenga la expansión en serie de Fourier de las siguientes funciones, definidas en el intervaloindicado, con período dado. Determine también los puntos de discontinuidad de las funciones y el límitede la serie en dichos puntos.a) f(x) = x si 0 < x ≤ 4 y f(x) = 4 si 4 ≤ x < 8, de período 8.b) f(x) = −x si −π < x < 0 y f(x) = x si 0 < x < π, de período 2π.174

Matemática .:. Análisis .:. Nivel 417. Resuelve problemas de dos puntos usando series de Fourier.Problema 1. [60]a) Resuelva la ecuación diferencialu ′′ + 1 2 u = cos2 (x),x ∈ (0, π),con las condiciones de borde u(0) = u(π) = 0.b) Esta ecuación modela el pandeo de una viga. Identifique los elementos físicos de la ecuación, comofuerza distribuida y fuerza de compresión.18. Modela usando la ecuación de difusión.Problema 1. [60] Considere una barra metálica de 100 [cm] de longitud con los extremos en x = 0 yx = 100, mantenidos a 0 ◦ C. Inicialmente la mitad de la barra está a 60 ◦ C, mientras que la otra mitadestá a 40 ◦ C. Si la constante de difusión es de 0, 16 unidades cgs y que la superficie de la barra está aislada,plantee la ecuación diferencial que gobierna la temperatura de la barra. Explique cómo usa las hipótesis.Problema 2. Interprete la ecuación que aparece en el Problema 1a del Indicador 17 en el contexto de unestado estacionario de la ecuación del calor. ¿Cómo interpreta el término 1 2u en el lado izquierdo?Problema 3. [60] Se sabe que un producto químico se difunde por una barra porosa de longitud L. Losextremos de la barra se encuentran aislados, es decir, no hay flujo del producto a través de los extremos.Inicialmente la barra tiene una concentración del químico según la función u 0 y la constante de difusión esκ. Plantee una ecuación diferencial para describir la evolución de la concentración a lo largo del tiempo.19. Resuelve la ecuación del calor en situaciones simples usando series de Fourier.Problema 1. [60]a) Resuelva la ecuación planteada en el Problema 1 del Indicador 18.b) Considere que la distribución de temperatura en la barra cambia a u 0 : [0, 100] → R, dada poru 0 (x) = 0 si x ∈ [0, 40] o x ∈ [60, 100] y u 0 (x) = 100 si x ∈ (40, 60).c) En los dos casos anteriores, ¿cuál es la temperatura de la barra después de un tiempo muy largo?Problema 2. En la ecuación del Problema 2 del Indicador 18, indique la concentración que tendrá elquímico en la barra después de un tiempo muy largo.20. Es capaz de investigar acerca de la evolución histórica de conceptos importantes y acerca de teoríasactuales.Problema 1. Investigue sobre la noción de sistema caótico.175

a) Describa el significado de la propiedad de dependencia sensible en los datos iniciales.b) Explique la definición de caos de Devaney.c) Describa el Shift de Bernoulli y su relación con la teoría del caos.Problema 2. Investigue sobre los aportes de Joseph Fourier al estudio de los problemas de difusión.a) Indique los principales aportes de Teoría Analítica del Calor, publicado por Fourier en 1822.b) Explique el significado que en su época pudo tener la afirmación de Fourier “toda función definida en(−π, π) puede representarse como una serie trigonométrica”, en lo referente al concepto de funcióny al concepto de convergencia. Contraste con las correspondientes nociones modernas.176

Matemática .:. Análisis .:. BibliografíaNota bibliográfica para el eje de AnálisisExisten muy buenos textos que se pueden usar para la implementación curricular de estos estándares. Sin embargono existe un libro que cubra todos lo contenidos, sin exceder en demasía los alcances de estos estándares.Un muy buen texto de referencia para los Niveles 1 y 2 es el libro de Hahn [27], que contiene además delos contenidos necesarios para estos niveles las referencias históricas para comprender la evolución del Cálculodiferencial e integral. Este texto también tiene desarrolladas en profundidad aplicaciones del Cálculo a economíay a física. El libro de Stewart [61] también ha sido usado como referencia para los Niveles 1 y 2, donde podríaser usado como un texto guía.Para el estudio de ecuaciones diferenciales y modelos de aplicación del Nivel 4, el libro de Braun [10] es muyadecuado, pero debe seleccionarse sólo el material requerido. Otro libro que se debe mencionar es el de Brand[9], el cual contiene ecuaciones en diferencias, y también muy buenas aplicaciones a la física.Sugerencias para la implementación curricularUsar programas de visualización de funciones para describir conjuntos de nivel de funciones de dos y tresvariables.Utilizar programas numéricos para resolver ecuaciones no lineales, así como ecuaciones y sistemas deecuaciones diferenciales.Bibliografía para el eje[9] Brand, Louis, Differential and Difference Equations, John Wiley and Sons, 1966.[10] Braun, Martin, Differential Equation and their Applications. Springer, 1992.[20] Edwards, C. H. y Penney, D. E., Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall 4 a edición. 1994.[27] Hahn, Alexander J., Basic calculus. From Archimedes to Newton to its role in science, Springer-Verlag, NewYork, 1998.[32] Hoffman, L. D. y Bradley, G. L., Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales, McGrawHill, Sexta Edición, 1998.[39] Lang, Serge, Cálculo. Addison Wesley Iberoamericana 1990.177

[40] Larson, R., Hosteller, H. y Edwards, B. H., Cálculo con Geometría analíca, Vol. 1 y Vol. 2. McGraw Hill,Edición, 1995.[41] Lewis, J. C. y Gillis, P. P., ”Packing Factors in Diatomic Crystals”, A. Journal of Physics, vol. 61, No 5,1993.[46] Estándares para un curso de Cálculo. Proyecto MECESUP: UCH 0002: Innovación Programática y metodológicapara la enseñanza de las Matemáticas, de la Física y la Estadística. 2004.[53] Purcell, Edwin J., Calculus with differential geometry, Second Edition, Appleton-Century-Crofts, EducationalDivision Meredith Corporation, 1972.[58] Silverman, Richard A., Essential calculus with applications, Dover Publications Inc., 1977.[60] Spiegel, Murray R., Ecuaciones diferenciales aplicadas Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., Mexico,1983.[61] Stewart, J., Cálculo, trascendentes tempranas, Cuarta edición, Thomson Learning, 2002.178

IcAIbCBEje 5IaGeometría

Matemática .:. GeometríaGEOMETRIADescripción GeneralEste eje está dedicado al estudio tanto de temas clásicos de geometría como de temas más avanzados dondese relacionan conceptos geométricos con nociones provenientes del análisis y del álgebra. En esta propuesta seha optado por ofrecer una variedad de enfoques con el fin de entregar al futuro profesor una visión modernay completa de la geometría como una disciplina viva, en constante evolución, cuyo desarrollo ha impulsado yha sido impulsado por otras áreas de la Matemática. Se enfatizan aquí esas conexiones, como por ejemplo, elestudio de la constructibilidad con regla y compás y las extensiones algebraicas de cuerpos en Algebra. Este ejees también el lugar escogido para promover la comprensión del significado que tiene un sistema de axiomas. Lostemas de geometría esférica e hiperbólica ilustran como es posible proponer modelos axiomáticos distintos al dela geometría euclideana.La geometría euclideana ha servido históricamente para enseñar a hacer demostraciones. Si bien en este trabajose ha procurado evitar esa reducción y proponer demostraciones en todos los ejes y niveles, se debe señalar queen el caso de la geometría éstas involucran una imagen visual. Los diversos temas y métodos de la geometríaque aquí se presentan, buscan desarrollar la capacidad de que esa imagen visual sea comprendida en términosanalíticos y que se aprecie el beneficio de contar con herramientas rigurosas para trabajar la visión intuitiva conla profundidad que los conceptos geométricos conllevan.Las referencias históricas que se proponen en todos los ejes y niveles, en coherencia con las necesidades delcurrículum escolar reformado, tienen en este eje un lugar privilegiado. La riqueza que, en este aspecto, la geometríaofrece, no se agota con los indicadores y ejemplos propuestos.El primer nivel, está dedicado a otorgar una visión completa y en mayor profundidad a la geometría plana presenteen el programa de enseñanza media. El Profesor de Matemática conoce los teoremas básicos de la geometríaeuclideana plana y sus diversas aplicaciones. Conoce también las razones y funciones trigonométricas, sus propiedadesy aplicaciones a la resolución de problemas geométricos. Es fundamental que el profesor tenga undominio sólido de la geometría analítica en el plano. El profesor es capaz de usar herramientas algebraicas para181

identificar elementos geométricos y recíprocamente establecer relaciones algebraicas a partir de característicasgeométricas.El Profesor de Matemática también tiene una visión intuitiva y analítica del espacio. En el Nivel 2, se contemplael estudio de la geometría vectorial de R 3 . En particular, el profesor conoce la noción de plano y recta en elespacio y conoce cuerpos geométricos importantes, como la esfera, los poliedros y cilindros entre otros. Eneste nivel, el profesor se familiariza con nociones de geometría diferencial, más precisamente, con el estudio decurvas en R 3 .El profesor aprecia la geometría como un área de la Matemática fuertemente ligada con otras áreas. En el Nivel3, se contempla el estudio de las funciones de variable compleja desde un enfoque geométrico y también sedesarrolla la teoría de superficies parametrizadas. En este nivel, el Profesor de Matemática aprecia la ligazónentre conceptos geométricos y conceptos propios del análisis, como por ejemplo la relación entre los conceptosde conformidad y diferenciabilidad.El Nivel 4 está dedicado al estudio de la geometría desde un punto de vista axiomático, conectándose así con elestudio de la teoría axiomática de conjuntos. El profesor comprende los alcances de los postulados de Euclides,en particular, la importancia del quinto postulado. En este nivel, se estudiarán también otras geometrías, comola esférica y la de Lobachevsky. El profesor comprende el rol de la geometría diferencial en el estudio de estosmodelos. Finalmente, en este nivel el Profesor de Matemática adquiere conceptos básicos de la geometría fractal.182

Cuadro sinópticoNiveles del eje

Nivel 1Nivel 2El estudiante comprende y es capaz de aplicar losteoremas fundamentales de la geometría euclideana.El estudiante sabe las propiedades de las razonesy de las funciones trigonométricas, aplicándolas ala resolución de problemas geométricos provenientesde diversos ámbitos.El alumno interpreta y demuestra propiedadesgeométricas usando geometría analítica. Identificacurvas en el plano usando coordenadas cartesianas;traslada y rota ejes. Conoce la ecuación de la rectay de la circunferencia. Calcula la distancia entredos puntos y entre un punto y una recta. Conoce yclasifica las cónicas en R 2 .El estudiante conoce el sistema de coordenadaspolares, las utiliza para describir conjuntos en elplano y es capaz de traducir información dada enrepresentación polar a cartesiana y recíprocamente.El estudiante conoce antecedentes históricos deresultados importantes relacionados con los tópicosaquí abordados y aprecia las distintas contribucionesa su desarrollo.El estudiante maneja los elementos de la geometríavectorial del espacio. Interpreta geométricamentela suma y la ponderación de vectores, y tambiénlos productos escalar y vectorial. El alumno describeplanos y rectas en R 2 . Reconoce y clasifica superficiescuádraticas en R 3 .El estudiante se familiariza con la noción depoliedro y reconoce algunos cuerpos importantes.Utiliza la fórmula de Euler-Poincaré para clasificarlos poliedros regulares.El alumno utiliza coordenadas cilíndricas y esféricaspara describir subconjuntos de R 3 .El estudiante comprende y maneja los conceptosfundamentales de la geometría de curvas suavesen el plano y en el espacio. Calcula longitud decurvas y reparametriza curvas usando la longitudde arco. Interpreta parámetros como la curvaturay la torsión y conoce las ecuaciones del triedro deFrenet.184

Eje 5: GeometríaNivel 3Nivel 4El estudiante comprende el concepto de superficieparametrizada en R 3 y de carta local. Calcula elplano tangente a una superficie en un punto.Reconoce superficies definidas como superficiesde nivel, como gráfico de una función suave y comosuperficie de revolución.El estudiante comprende la definición de curvaturasprincipales de una superficie. Calcula la curvaturamedia y la curvatura de Gauss de una superficie.Investiga acerca del significado de las curvas geodésicas,el Teorema de Gauss-Bonnet y algunasde sus consecuencias.El alumno aborda el estudio de las funciones devariable compleja, enfatizando sus aspectos másgeométricos. Analiza las propiedades geométricasde las transformaciones de Möbius.Comprende el concepto de derivada de función devariable compleja y aplica las condiciones de Cauchy-Riemannpara determinar diferenciabilidad.Relaciona el concepto de función analítica y aplicaciónconforme. Estudia geométricamente algunasfunciones elementales y determina transformacionesconformes entre dominios simplemente conexosen algunos casos simples.El estudiante se familiariza con los principaleselementos de las geometrías no euclideanas. Sefamiliariza con la geometría esférica y con elmodelo de Poincaré para la geometría hiperbólica.Conoce la función inversión del plano, fundamentalen la geometría de Lobachevsky. Utiliza movimientosrígidos para demostrar propiedades en elplano de Lobachevsky. Relaciona el semiplano dePoincaré con el plano de Lobachevsky a travésde una aplicación conforme. Conoce propiedadesde las perspectividades en la geometría proyectivay aplica el principio de dualidad a proposicionesen el plano proyectivo. Investiga los inicios de lageometría proyectiva. Adquiere elementos de lageometría fractal. Construye fractales en el planoy en el espacio y reconoce procesos iterativos conla propiedad de autosimilaridad. Calcula la dimensióny el área de algunos fractales. Investiga acercade los conjuntos de Julia y de Mandelbrot.185

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 1Nivel 1Enunciado. El estudiante comprende y es capaz de aplicar los teoremas fundamentales de la geometría euclideana.El estudiante sabe las propiedades de las razones y de las funciones trigonométricas, aplicándolas a la resoluciónde problemas geométricos provenientes de diversos ámbitos.El alumno interpreta y demuestra propiedades geométricas usando geometría analítica. Identifica curvas en elplano usando coordenadas cartesianas; traslada y rota ejes. Conoce la ecuación de la recta y de la circunferencia.Calcula la distancia entre dos puntos y entre un punto y una recta. Conoce y clasifica las cónicas en R 2 .El estudiante conoce el sistema de coordenadas polares, las utiliza para describir conjuntos en el plano y es capazde traducir información dada en representación polar a cartesiana y recíprocamente.El estudiante conoce antecedentes históricos de resultados importantes relacionados con los tópicos aquí abordadosy aprecia las distintas contribuciones a su desarrollo.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Aplica el Teorema de Euclides.Problema 1. [22] Pruebe que las raíces de la ecuaciónx 2 − p x + q 2 = 0,con p y q números positivos tales que p 2> q, están dados por los segmentos r y s de la figura, construidosa partir de un cuadrado de lado q y una semi-circunferencia de diámetro p sobre una recta común.187

2. Aplica el Teorema de Pitágoras y su recíproco.Problema 1. [15] Si la reflexión de un punto P = (x, y) con respecto al eje X es Q = (x, −y), encuentrela reflexión de P con respecto a la recta de ecuación y = x.Problema 2. Demuestre que ABC es un triángulo rectángulo en C si y sólo si la suma de las áreas delos triángulos equiláteros construidos sobre los lados AC y CB es igual al área del triángulo equiláteroconstruido sobre el lado AB.¿Es verdad que ABC es triángulo rectángulo en C si y sólo si la suma de las áreas de los octógonosregulares construídos sobre los lados AC y CB es igual al área del octógono regular construído sobre ellado AB?Problema 3. Sean a, b y c los lados de un triángulo, r el radio del círculo inscrito y s el semiperímetro, esdecir, s = a + b + c . Pruebe que el área A del triángulo satisface2A = r s.Problema 4. Considere un círculo de centro O y dos rectas tangentes en P y Q que se intersectan en A.Pruebe que AP = AQ y que AO bisecta el ángulo P AQ.Problema 5. Demuestre que las 6 bisectrices de los ángulos externos e internos de un triángulo se intersectande 3 en 3 en 4 puntos, los cuales constituyen los centros de 4 circunferencias tales que cada una deellas es tangente a 3 lados del triángulo (o sus extensiones), como muestra la figura. Notar que una de ellascorresponde al círculo inscrito.188

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 13. Aplica la Recta de Euler y el Círculo de los 9 Puntos.Problema 1. [15] Demuestre que si la recta de Euler pasa por un vértice entonces el triángulo es rectánguloo es isósceles (o ambos).Problema 2. [15] ¿Cuántos puntos distintos quedan de los 9 puntos del círculo de ese nombre si:a) el triángulo es isósceles?b) el triángulo es equilátero?4. Es capaz de construir polígonos regulares con regla y compás.Problema 1. Usando regla y compás construya polígonos regulares de 5 y 6 lados.5. Utiliza propiedades de la inversión con respecto a un círculo y aplica el círculo de Apolonio.Problema 1. [15] Utilizando solo el compás (sin regla):a) Encuentre un punto B tal que el segmento OB sea el doble del segmento OA dado,b) Encuentre el inverso de un punto P que está a distancia r 3del centro O de un círculo de inversión deradio r.Problema 2. Considere un triángulo con vértices A = (0, 0), B = (9, 0) y C = (8, √ 20). Determine elconjunto de todas las posibles posiciones del vértice C tales que la razón ACBCse mantenga constante.Problema 3. Sean ABC un triángulo dado, S 1 el círculo correspondiente al lugar geométrico de los puntosP que satisfacen P AP Bsatisfacen P AP C= λ y S 2 el círculo correspondiente al lugar geométrico de los puntos P que= µ. Demuestre que si λ y µ son ambos menores que 1 entonces los dos círculos seintersectan. Si L y M denotan los puntos de intersección, pruebe que LBLC = MBMC .6. Aplica el Teorema de Ceva.Problema 1. Pruebe que en cualquier triángulo ABC:a) las bisectrices son concurrentes yb) las alturas son concurrentes.7. Aplica el Teorema de Menelao.Problema 1. Una transversal corta los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC en L, M y N, respectivamente.D es el cuarto vértice del paralelógramo del cual AB y AC son lados adyacentes. Considere lospuntos V y W sobre DB y DC de modo tal que MV y NW sean paralelas a AB y AC, respectivamente.Pruebe que L, V y W son colineales.189

8. Es capaz de relacionar las medidas de ángulos y lados usando razones trigonométricas.Problema 1. Con el fin de medir la altura h de un edificio distante, se midieron los ángulos de elevaciónα y β desde dos puntos A y B, respectivamente, a L metros de distancia entre sí. Encuentre una expresiónde la altura h en términos de L y de ambos ángulos, para el caso en que los puntos A y B están del mismolado del edificio y para el caso en que están uno de cada lado.9. Aplica propiedades de las funciones trigonométricas.Problema 1. Pruebe que para todo x, y ∈ R,cos(2x − 3y) + cos(3y)sen(2x − 3y) + sen(3y) = 1tan(x) .Problema 2. Encuentre el conjunto solución de la ecuacióncos(2x) = cos(x) + sen(x).10. Resuelve problemas geométricos aplicando los Teoremas del Seno y del Coseno.Problema 1. Una persona al borde de un canal de 3 [m] de ancho observa dos objetos en la otra orilla quese encuentran a 15 ◦ a su izquierda y a 45 ◦ a su derecha respectivamente. ¿A qué distancia se encuentranlos objetos entre sí y del observador?Problema 2. El ángulo de elevación de la cima de una colina desde un punto A es α. Al avanzar c metroshacia la cima, ascendiendo por una pendiente inclinada en un ángulo β respecto del plano horizontal, seobserva la cima con un ángulo de elevación γ. Encuentre la altura de la colina en función de los datosentregados.11. Traslada y rota ejes de coordenadas.Problema 1. Demuestre que la suma A + C de los coeficientes de x 2 e y 2 en la ecuación general desegundo grado Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = 0, es invariante bajo rotación de los ejes de coordenadas,es decir A+C = A ′ +C ′ , donde A ′ , C ′ corresponden a los coeficientes de la ecuación en los ejes rotados,para cualquier ángulo de rotación.Problema 2. Los ejes X e Y giran en un ángulo de 45 ◦ . Encuentre la ecuación de la curva 2xy = 1 en elnuevo sistema X ′ , Y ′ .12. Construye rectas. Identifica algebraicamente paralelismo y perpendicularidad. Calcula el ánguloentre dos rectas.Problema 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1, −4) y que es perpendicular a larecta x − 2y + 2 = 0.190

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 1Problema 2. Pruebe que al intersectar las siguientes rectas se forma un paralelógramo:2x − 3y = 5; 4x + 5y = 1; 6y − 4x = 3; 3 − 8x − 10y = 0.Problema 3. Encuentre los ángulos de un triángulo con vértices (−1, 0), (2, −1) y (4, 1).13. Calcula la distancia entre dos puntos del plano y entre un punto y una recta.Problema 1. Demuestre que el largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados noparalelos de un trapecio es igual a la mitad de la suma de los largos de los lados paralelos.Problema 2. Demuestre que el área A de un triángulo cuyos vértices son (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 )está dada porA = 1 2 [x 1(y 2 − y 3 ) − y 1 (x 2 − x 3 ) + (x 2 y 3 − x 3 y 2 )].Problema 3. Pruebe que los segmentos de línea que unen los puntos medios de lados adyacentes de uncuadrilátero forman un paralelógramo.Problema 4. Encuentre la ecuación de la recta que bisecta los ángulos agudos formados al intersectar lasrectas 3x − y − 8 = 0 y x − 3y = 0.14. Demuestra propiedades geométricas de la circunferencia a partir de su expresión algebraica.Problema 1. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias que satisfacen las condiciones:a) Contiene a los puntos (5, 1), (4, 2) y (−2, −6).b) Contiene a los puntos (1, 4) y (−2, 3) y su centro está en la recta x − 2y = 6.Problema 2. Sea S el conjunto de puntos cuya distancia a (2, −1) es el doble de la distancia a (6, 6).Demuestre que S es una circunferencia y encuentre su centro y radio.Problema 3. Demuestre analíticamente que la recta perpendicular al punto medio de cualquier cuerda deun círculo, pasa por el centro de ésta.Problema 4. Sean C 1 y C 2 dos circunferencias no concéntricas cuya intersección consiste en dos puntosA y B. La recta que pasa por A y B es denominada el eje radical. Pruebe que un punto P está en el ejeradical si y sólo si los segmentos tangentes desde P a ambas circunferencias miden lo mismo.15. Relaciona características geométricas de la parábola con expresiones algebraicas.Problema 1. Encuentre las ecuaciones de las parábolas que satisfacen las condiciones:a) Foco en (0, 4) y cuya directriz es la recta x = −8.b) Foco en (0, 0) y cuya directriz es la recta x + y = 4.191

Problema 2. La recta que pasa por el foco de una parábola y es perpendicular a la directriz, se denominaeje de la parábola. El punto en el cual la parábola corta al eje es el vértice. Pruebe que el largo delsegmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola, es el doble de la distancia del focoa la directriz.Problema 3. Se puede demostrar que la tangente a una parábola P : y 2 = 4ax en (x 1 , y 1 ) ∈ P está dadapor2ax − y 1 y + 2ax 1 = 0.Use esta fórmula para probar que la recta normal a la parábola en (x 1 , y 1 ), bisecta el ángulo formado porla recta entre el foco y (x 1 , y 1 ) y la recta que pasa por (x 1 , y 1 ) paralela al eje de P . Esta propiedad implicaque un espejo parabólico reflejará un rayo de luz paralelo al eje, si la fuente de luz puntual es colocada enel foco. ¿Cómo funcionan las antenas parabólicas?16. Relaciona características geométricas de la elipse con expresiones algebraicas. Identifica sus focos,ejes, directrices y excentricidad.Problema 1. Demuestre que el conjunto de puntos del plano que satisfacenx 2 + 4y 2 + 4x − 12y = 51,es una elipse. Encuentre sus focos y la distancia entre ellos.Problema 2. Pruebe que las rectas y = mx ± √ m 2 a 2 + b 2 con m ≠ 0 tienen sólo un punto en comúncon la elipse E : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 y, por lo tanto, son tangentes a ésta. Use este resultado para probarque si dos rectas tangentes a la elipse E son perpendiculares, entonces se intersectan en un punto de lacircunferencia x 2 + y 2 = a 2 + b 2 .Problema 3. Considere la curva de ecuaciónx 2 − xy + y 2 − 2 √ 2x + 2 √ 2y = 0.Elimine el término en xy mediante una rotación apropiada de los ejes de coordenadas. Considere luegouna traslación que le permita identificar la curva y todos sus elementos geométricos característicos.17. Relaciona características geométricas de la hipérbola con expresiones algebraicas. Identifica susfocos, directrices, excentricidad y asíntotas.Problema 1. Encuentre los focos y asíntotas de las hipérbolas:a) x 2 − 9y 2 + 6x + 18y = 18.b) 4xy + 6x = 1.192

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 1Problema 2. Demuestre que para la hipérbolax 2a 2 − y2b 2 = 1el largo de la perpendicular entre el foco y la asíntota es b.Problema 3. Demuestre que en una hipérbola, el producto de los largos de las perpendiculares desde unpunto P de la hipérbola a las dos asíntotas es constante, es decir independiente de P .Problema 4. Use el discriminante para identificar la curva de ecuación x 2 + 4xy − 2y 2 = 18. Luegoelimine el término en xy mediante una rotación apropiada de los ejes de coordenadas e identifique todoslos elementos geométricos característicos de esta curva.18. Identifica regiones del plano dadas por coordenadas polares y utiliza esta representación para describirconjuntos del plano.Problema 1. Describa en coordenadas cartesianas el conjuntoS ={(r, θ) / − π 4 < θ < π 4 , 2 < r < 4 },descrito en coordenadas polares.Problema 2. Describa en coordenadas polares el triángulo en el plano de vértices (0, 0), (1, 1) y (1, 0).Problema 3. Dibuje la región descrita en coordenadas polares porR ={(r, θ) / 0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 5 sen(2θ) }.Describa mediante coordenadas polares el conjunto que replica simétricamente el dibujo anterior en loscuatro cuadrantes del plano.19. Conoce la evolución histórica de resultados importantes. Aprecia las distintas contribuciones.Problema 1. Describa los resultados de Gauss acerca de la construcción de un polígono regular de diecisietelados y su solución al problema general de la constructibilidad de polígonos regulares.Problema 2. Describa el método utilizado por Eratóstenes para medir el radio de la Tierra.Problema 3. Describa en detalle el procedimiento que permite construir la espiral áurea.Problema 4. Enuncie el teorema planteado por Descartes (1643) acerca de 4 círculos mutuamente tangentesen 6 puntos, redescubierto en 1842 por Philip Beecroft y por Sir Frederick Soddy en 1936.Problema 5. Investigue acerca de la geometría de templo japonesa (Sangaku). Averigüe si existen problemasclásicos de geometría occidental presentes en los problemas de la geometría de templo.193

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 2Nivel 2Enunciado. El estudiante maneja los elementos de la geometría vectorial del espacio. Interpreta geométricamentela suma y la ponderación de vectores, y también los productos escalar y vectorial. El alumno describe planosy rectas en R 3 . Reconoce y clasifica superficies cuádraticas en R 3 .El estudiante se familiariza con la noción de poliedro y reconoce algunos cuerpos importantes. Utiliza la fórmulade Euler-Poincaré para clasificar los poliedros regulares.El alumno utiliza coordenadas cilíndricas y esféricas para describir subconjuntos de R 3 .El estudiante comprende y maneja los conceptos fundamentales de la geometría de curvas suaves en el plano yen el espacio. Calcula longitud decurvas y reparametriza curvas usando la longitud de arco. Interpreta parámetroscomo la curvatura y la torsión y conoce las ecuaciones del triedro de Frenet.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Representa vectores en R 3 reconociendo su norma y dirección. Suma y pondera vectores en R 3 .Problema 1. [61] Si A, B y C son los vértices de un triángulo, encuentre −→ AB +−→ BC +−→ CA.Problema 2. [61] Encuentre e ilustre geométricamente |a|, a + b, a − b, 2a y 3a + 4b para:a) a = (6, 2, 3) y b = (−1, 5, −2).b) a = î − 2ĵ + ˆk y b = ĵ + 2ˆk.2. Calcula el producto escalar entre dos vectores. Determina el ángulo y la distancia entre dos vectores.Problema 1. [61] Un objeto se mueve a lo largo de una recta desde el punto (2, 3, 0) al punto (4, 9, 15)por la acción de una fuerza constante F = 10î + 18ĵ − 9ˆk. Determine el trabajo realizado por la fuerza sila distancia se mide en metros y la fuerza en newtons.Problema 2. [61] Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una diagonal de una de sus caras.195

Problema 3. [61] La regla del paralelógramo expresa que si a, b ∈ R 3 entonces|a + b| 2 + |a − b| 2 = 2|a| 2 + 2|b| 2 .Demuestre esta regla e interprétela geométricamente.3. Calcula el producto vectorial entre dos vectores y lo interpreta geométricamente. Utiliza el productovectorial y escalar para calcular el volumen de un paralelepípedo.Problema 1. Sean V = (2, 1, −1), W = (−3, 2, 1) y Z = (−3, −2, 4). Calcule V × W y dibuje V , W yV × W . Dibuje un paralelepípedo con volumen |Z · (V × W )|.Problema 2. [61] Suponga que a ≠ 0 con a ∈ R 3 .a) Si a · b = a · c, ¿es cierto que b = c?b) Si a × b = a × c, ¿es cierto que b = c?c) Si a · b = a · c y a × b = a × c, ¿es cierto que b = c?4. Describe planos en R 3 . Calcula el ángulo entre dos planos y determina la proyección ortogonal y ladistancia de un punto a un plano.Problema 1. Determine el lugar geométrico de los puntos que equidistan de (1, 1, 0) y (0, 1, 1).Problema 2. Encuentre las ecuaciones de los planos que bisectan los ángulos entre los planos x−2y−2z =7 y 2x − 3y − 6z = −5.Problema 3. [61] Sean Q, R y S puntos pertenecientes a un plano Π y sea P /∈ Π. Demuestre que ladistancia d del punto P al plano Π está dada por:donde a = −→ QR, b =−→ QS y c =−→ QP .d =|a · (b × c)|,|a × c|5. Describe rectas en R 3 .Problema 1. [61] Determine si cada enunciado es falso o verdadero:a) Dos rectas paralelas a una tercera recta son paralelas.b) Dos rectas perpendiculares a una tercera recta son paralelas.c) Dos planos paralelos a un tercer plano son paralelos.d) Dos planos perpendiculares a un tercer plano son paralelos.196

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 2e) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas.f )Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas.g) Dos planos paralelos a una recta son paralelos.h) Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos.i) Dos planos se cortan o son paralelos.Problema 2. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (0, −1, 5) y es perpendicular al plano 3x −y + 9z = 6.6. Conoce la ecuación de la esfera en R 3 .Problema 1. [61] Sean a, b ∈ R 3 con a ≠ 0 o b ≠ 0. Demuestre que el conjunto solución de la ecuación(x − a) · (x − b) = 0 es una esfera y encuentre su radio y su centro.Problema 2. El punto P = (2, 3, 6) pertenece a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 49. Encuentre la ecuación delplano tangente a la esfera que pasa por P . Demuestre que cualquier recta que pasa por P corta la esferaen un punto Q ≠ P , a menos que ésta esté contenida en el plano tangente.7. Clasifica las superficies cuadráticas en su forma canónica y cuando hay traslación de ejes.Problema 1. [61] Encuentre una ecuación para la superficie formada por los puntos P ∈ R 3 , para los quela distancia de P al eje X es el doble de la distancia de P al plano Y Z. Identifique esta superficie.Problema 2. Clasifique y bosqueje las siguientes superficies cuadráticas:a) x 2 + 4y 2 + 2z 2 − 2x + 32y + 8z = 27.b) 4x 2 + y 2 − z 2 + 12x − 2y + 4z = 12.Problema 3. [61] Demuestre que si (a, b, c) pertenece al paraboloide hiperbólico P : z = x 2 − y 2 ,entonces las rectas de ecuaciones paramétricas x = a + t, y = b + t, z = c + 2(b − a)t y x = a + t, y =b − t, z = c − 2(b + a)t están contenidas en P .8. Demuestra y describe propiedades de poliedros.Problema 1. Considere un prisma recto de base triangular ABC y altura h. Sobre las caras laterales, queson rectángulos, se construyen semi-cilindros. Pruebe que la suma de dos de esos volúmenes es igual alvolumen del tercer semi-cilindro si y sólo si la base triangular del prisma es un triángulo rectángulo.Problema 2. [15] Seis rombos congruentes de ángulos 60 ◦ y 120 ◦ se unen para formar un “romboedro”.Desde los vértices opuestos agudos de este sólido se pueden cortar dos tetraedros regulares de tal maneraque lo que queda es un octaedro regular. En otras palabras, dos tetraedros y un octaedro pueden juntarsepara formar un romboedro. Deduzca que un tetraedro y un octaedro regulares tienen ángulos diedralessuplementarios y que con un número infinito de tetraedros y octaedros regulares se puede cubrir el espacio.197

9. Aplica la fórmula de Euler-Poincaré para poliedros simplemente conexos. Mediante esta fórmulaencuentra los cinco poliedros regulares.Problema 1. [15] Considere un poliedro simplemente conexo con C caras, A aristas y V vértices. Parai = 1, . . . , C, p i denota el número de lados de la cara i, es decir, la i-ésima cara es p i -agonal y del vérticej, con j = 1, . . . , V , salen q j caras. Demuestre queC∑V∑p i = 2A = q j .i=1j=1Deduzca que un poliedro simplemente conexo tiene una cara triangular o desde un vértice salen tres caras.10. Utiliza coordenadas cilíndricas y esféricas para describir conjuntos simples de R 3 .Problema 1. Escriba las siguientes ecuaciones en coordenadas esféricas y cilíndricas:a) x 2 − y 2 − 2z 2 = 4.b) x 2 + y 2 = 2y.Problema 2. [61] Bosqueje el sólido descrito por las siguientes desigualdades:a) r 2 ≤ z ≤ 2 − r 2 , donde (r, θ, z) representan coordenadas cilíndricas, es decirx = r cos θ, y = r sen θ, z = z.b) −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/6, 0 ≤ ρ ≤ sec φ, donde (ρ, θ, φ) representan las coordenadasesféricas de un punto, es decirx = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ.11. Comprende el concepto de curva parametrizada. Calcula el vector tangente a una curva.Problema 1. Determine una parametrización para la intersección del cilindro x 2 + y 2 = 1 con el planox + y + z = 1.Problema 2. Demuestre que la curva planar C parametrizada por:(x(t), y(t)) =( a(1 − t 2 )) 2bt1 + t 2 ,1 + t 2 , t ∈ R,está contenida en la elipse E : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1. ¿Son los conjuntos E y C iguales?Problema 3. [42] Sean a, b ∈ R con 2b 2 = 3a. Demuestre que el vector tangente a la curva (at, bt 2 , t 3 ),t ∈ R, forma un ángulo constante con el vector (1, 0, 1).198

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 2Problema 4. [13] El epicicloide E es una curva planar generada por un punto P en la circunferencia Cde radio c, cuando ésta rueda sin resbalar en el exterior de una circunferencia fija C 0 de radio a, comomuestra la figura:Suponiendo que el punto P está en (a, 0) cuando t = 0, E se puede parametrizar como( ) a + cx(t) = (a + c) cos t − c cos t ,c( ) a + cy(t) = (a + c) sen t − c sen t .cPara a = 3 y c = 1 encuentre los puntos no regulares de E y bosqueje esta curva.12. Calcula la recta tangente y el plano normal a una curva en un punto.Problema 1. [18] Sea C la curva parametrizada porα(t) =([sen t, cos t + log tan t ]), t ∈ (0, π).2Esta curva se denomina tractriz.a) Pruebe que el ángulo entre el eje Y y el vector α ′ (t) es t.b) Encuentre los puntos no regulares de C.c) Pruebe que para todo P ≠ (1, 0) en C, el segmento de la recta tangente a C en P , entre el punto Py el eje Y tiene largo 1.Problema 2. [17] Sea C una curva parametrizada regular.199

a) Demuestre que si la intersección de todos los planos normales a C es no vacía, entonces C está contenidaen una esfera de R 3 .b) Pruebe que la curva parametrizada porγ(θ) = (− cos 2θ, −2 cos θ, sen 2θ) θ ∈ [0, 2π],está contenida en una esfera. Encuentre su centro y radio.13. Calcula el largo de una curva. Encuentra la parametrización en longitud de arco en caso simples.Problema 1. La catenaria es una curva definida por y = cosh(x) con x ∈ [a, b]. El nombre proviene delhecho que una cadena suspendida de sus extremos adopta la forma de esta curva. Encuentre el largo de lacatenaria.Problema 2. La curva C parametrizada porα(s) = (a cos(s/c), a sen(s/c), bs/c), s ≥ 0,con a, c > 0, se denomina hélice circular. Bosqueje esta curva. Demuestre que el parámetro s correspondea la longitud de arco.Problema 3. [42] Encuentre la parametrización en longitud de arco de la curvaγ(t) = (e t cos t, e t sen t, e t ), t ≥ 0.14. Calcula el vector normal y binormal de una curva. Conoce las ecuaciones del triedro de Frenet(T, N, B).Problema 1. [17] Demuestre que la parametrización de la curva:( (1 + t)3/2γ(t) =,3(1 − t)3/2,3)t√ , t ∈ [0, 1/2],2corresponde a la parametrización en longitud de arco. Calcule el triedro de Frenet para esta curva y verifiqueque N ′ = −κT + τB.Problema 2. Encuentre las ecuaciones del triedro de Frenet para la hélice circularα(t) = (a cos(s/c), a sen(s/c), bs/c).Problema 3. [17] Sea C una curva parametrizada por γ(t) = (t, 1+1/t, −t+1/t), 1 ≤ t ≤ 2. Demuestreque la curva C está contenida en un plano P y encuéntrelo.200

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 2Problema 4. [17] Muestre que la curva parametrizada por γ(t) = (a cos t, a sen t, b cosh(at/b)) cona, b > 0, está contenida en el cilindro x 2 + y 2 = a 2 . Pruebe que el plano osculante en cualquier puntode la curva, forma un ángulo constante con el plano tangente al cilindro en ese punto.15. Calcula e interpreta la curvatura y la torsión de una curva. Determina el radio y centro de curvatura.Problema 1. Considere la parametrización x(θ) = a cos θ, y(θ) = b sen θ con θ ∈ [0, 2π] de la elipseE : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 con 0 < b < a. Verifique que en los puntos (−a, 0) y (a, 0) la función |κ(θ)|alcanza su máximo y en (0, −b) y (0, b) su mínimo.Problema 2. [18] Sea C una curva regular parametrizada por α : I → R 2 , tal que su curvatura κ(t) es nonula para todo t ∈ I. La curva parametrizada por β(t) = α(t) + 1κ(t)n(t) se denomina la “curva evoluta”de C. Pruebe que el vector tangente de β(t) en t es el vector normal a α(t). Estudie la curva evoluta de lacatenaria.Problema 3. Encuentre la torsión para la curva dada por (t − sen t, 1 − cos t, t) t ∈ R.16. Investiga acerca de la Fórmula de Euler-Poincaré.Problema 1. Realice una investigación acerca de la representación de poliedros usando diagramas deSchlegel. Encuentre la representación de los cinco poliedros regulares usando diagramas de Schlegel.¿Cómo se relaciona la Fórmula de Euler-Poincaré para poliedros con la Fórmula de Euler para grafos?201

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El alumno comprende el concepto de superficie parametrizada en R 3 y de carta local. Calcula elplano tangente a una superficie en un punto.Reconoce superficies definidas como superficies de nivel, como grafo de una función suave y como superficiede revolución.El estudiante comprende la definición de curvaturas principales de una superficie. Calcula la curvatura media yla curvatura de Gauss de una superficie. Investiga acerca del significado de las curvas geodésicas, el Teorema deGauss-Bonnet y algunas de sus consecuencias.El alumno aborda el estudio de las funciones de variable compleja, enfatizando sus aspectos más geométricos.Analiza las propiedades geométricas de las transformaciones de Möbius.Comprende el concepto de derivada de función de variable compleja y aplica las condiciones de Cauchy-Riemann para determinar diferenciabilidad. Relaciona el concepto de función analítica y aplicación conforme.Estudia geométricamente algunas funciones elementales y determina transformaciones conformes entre dominiossimplemente conexos en algunos casos simples.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Comprende el concepto de superficie parametrizada regular.Problema 1. [42] Pruebe queγ(u, v) = 1 2 (u + v)î + 1 2 (u − v)ĵ + uvˆk, u, v ∈ R,es una parametrización regular del paraboloide hiperbólico P : x 3 = x 2 1−x 2 2. Describa las curvas γ(·, v 0 ),γ(u 0 , ·), donde u 0 , v 0 ∈ R están fijos.Problema 2. [18] Considere una curva regular α : R → R 3 , con curvatura κ(t) ≠ 0 para todo t. DefinimosS, la superficie tangente a α, como la superficie parametrizada por γ(t, v) = α(t) + vα ′ (t) con t ∈ R,v ∈ R \ {0}. Demuestre que S es una superficie regular.203

Problema 3. [5] Considere una hélice circular parametrizada por (cos t, sen t, t), t ∈ R. El helicoide H esun conjunto formado por todas los segmentos perpendiculares al eje Z que unen cada punto del eje Z conun punto de la hélice circular, como se muestra en la figuraDemuestre que H es una superficie parametrizada regular.2. Comprende el concepto de carta local de una superficie. Conoce cuando f(x, y, z) = c define unasuperficie regular.Problema 1. Demuestre que el elipsoideE : x2a 2 + y2b 2 + z2c 2 = 1es una superficie regular. Encuentre cartas locales para E usando coordenadas esféricas y coordenadascartesianas. ¿Cuántas cartas necesita para cubrir E en cada caso?Problema 2. [17] Usando las relaciones cos 2 θ + sen 2 θ = 1 y cosh 2 x − sinh 2 x = 1 encuentre cartaslocales para el hiperboloideH : x2a 2 + y2b 2 − z2c 2 = 1.Problema 3. Considere la función f(x, y, z) = z 2 . ¿Cuándo f(x, y, z) = c define una superficie regular?3. Calcula el plano tangente y la recta normal a una superficie.Problema 1. Encuentre el plano tangente a la superficie de revolución S dada por:x(u, θ) = f(u) cos θ,y(u, θ) = f(u) sen θ,z(u, θ) = g(u),204

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 3con u ∈ R, θ ∈ [0, 2π] y las funciones f y g ′ positivas. Demuestre que todas las rectas normales a S cortanel eje Z.Problema 2. Pruebe si las esferas x 2 + y 2 + z 2 = ax y x 2 + y 2 + z 2 = by con a ≠ b y a, b ≠ 0 seintersectan, en la intersección son ortogonales.4. Determina las curvaturas principales, la curvatura de Gauss y la curvatura media de una superficie.Problema 1. [17] Calcule la curvatura de Gauss de la superficie z = x 2 − y 2 . Encuentre las curvaturasprincipales y las direcciones de las curvaturas principales en P = (0, 0, 0).Problema 2. [18] La superficie en la figura, se denomina pseudoesfera.Esta superficie de revolución resulta al rotar la tractrizα(t) =([sen t, 0, cos t + log tan t ]), t ∈ (0, π/2),2con respecto al eje Z.a) Encuentre una parametrización para la pseudoesfera.b) Demuestre que la curvatura de Gauss en cualquier punto de la pseudoesfera es −1.Problema 3. Considere el toro T de radios r y R, con r < R, parametrizado por((R + r cos θ) cos φ, (b + r cos θ) sen φ, r sen θ),θ, φ ∈ (0, 2π).205

Calcule la curvatura de Gauss K. Determine los subconjuntos de T donde K > 0, K < 0 y K = 0.Problema 4. El catenoide es la superficie parametrizada porγ(u, v) = (cosh v cos u, cosh v sen u, v),con 0 < u < π, −∞ < v < ∞. Esta superficie de revolución resulta al rotar la catenaria y = cosh z conrespecto al eje Z. Pruebe que la curvatura media del catenoide es 0.5. Opera con funciones complejas elementales.Problema 1. Encuentre la parte real e imaginaria de las funciones ¯z/(1 + z) y z 2 e 2z .Problema 2. [59] Pruebe que:a) cos(¯z) = cos(z).b) senh 2 (z/2) = 1 2(cosh(z) − 1).c) Si | sen(z)| = 1 entonces |Im(z)| ≤ log( √ 2 + 1).6. Se familiariza con la función arg y log.Problema 1. [59] Encuentre todos los valores de:(1a) log2 − √ )32 i .b) (1 + i) i .7. Comprende la noción de derivada de una función de variable compleja. Usando las condicionesde Cauchy- Riemann determina si una función es analítica. Calcula derivadas aplicando reglas dederivación.Problema 1. [59] Usando las condiciones de Cauchy-Riemann, pruebe que la función f(z) = ¯zz 2 no esanalítica en ningún dominio de C.Problema 2. Si f es analítica en C, demuestre quecuando f(z) ≠ 0.Problema 3. Calcule d dz[cos(iz − 2) z2] .ddz log(f(z)) = f ′ (z)f(z) ,8. Relaciona la noción de aplicación conforme y de función analítica.Problema 1. ¿En qué puntos la transformación w = sen(z) es conforme?206

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 3Problema 2. [59] A las rectas y = 2x y x + y = 6 en el plano z se les aplica la transformación w = z 2 .Muestre gráficamente las imágenes de estas rectas en el plano w y encuentre su ángulo de intersección.Problema 3. Considere la transformación w = 2z − 3i¯z y el triángulo T en el plano z con vértices i, 1 − iy 1 + i. Pruebe que la imagen del triángulo T es un triángulo T ′ en el plano w. ¿Son T y T ′ similares?9. Opera con las transformaciones de Möbius.Problema 1. Considere las transformaciones de Möbius:T 1 z = z + 2z + 3y T 2 z = zz + 1 .Encuentre T 1 ◦ T 2 , T 2 ◦ T 1 y T −11 ◦ T 2 .Problema 2. [1] Considere T z = (z − i)/(z + i). Encuentre la imagen de los siguientes conjuntos alaplicar T :a) El rayo it con t ≥ 0.b) La circunferencia |z − 1| = 1.c) La semi circunferencia |z| = 1 con Im(z) ≥ 0.10. Usa la razón cruzada para encontrar transformaciones de Möbius. Reconoce las propiedades geométricasde las transformaciones de Möbius.Problema 1. [59] Encuentre una transformación de Möbius que transforme los vértices 1 + i, −i y 2 − ide un triángulo ∆ en el plano z en los puntos 0, 1 e i del plano w, respectivamente. Bosqueje la región delplano w en la cual es transformado el interior del triángulo ∆.Problema 2. Considere la transformación de Möbiusy el disco D = {z ∈ C / |z| ≤ 1}. Pruebe que:a) Si |α| 2 − |γ| 2 = 1, entonces T (D) = D.T z =αz + ¯γγz + ᾱ ,b) Si |α| 2 − |γ| 2 = −1, entonces T (D) = {z ∈ C /|z| ≥ 1}.Problema 3. [1] Encuentre:a) El punto simétrico de z = 0 con respecto al círculo |z| = 2.b) El punto simétrico z = i con respecto al círculo |z + 1| = 1.c) La transformación de Möbius que transforma el círculo |z| = 2 en |z + 1| = 1, el punto -2 en 0 y el0 en i.207

11. Encuentra aplicaciones conformes entre dos dominios en algunos casos simples.Problema 1. [59] Encuentre un mapa conforme biyectivo entre el interior de la región definida por losarcos circulares descritos en la figura y el semiplano Im(w) ≥ 0.Problema 2. [7] Dos circunferencias C 1 y C 2 son tangentes en un punto α y se construye una secuenciade circunferencias tangentes a C 1 , C 2 y entre ellas como se indica en la figuraAplique la transformación conforme w = 1/(z −α) a la figura para demostrar que los puntos de tangenciaa 1 , a 2 , a 3 , . . . están en una circunferencia.12. Investiga el significado de una superficie orientable y su relación con la cinta de Möbius.Problema 1. [42] La cinta de Möbius se puede parametrizar como −→ x (θ, s) = f(θ) + sg(θ), donde:f(θ) = cos θ î + sen θ ĵ,g(θ) = sen θ 2 cos θ î + sen θ 2 sen θ ĵ + cos θ 2 ˆk,208

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 3con θ ∈ [0, 2π] y s ∈ (−1/2, 1/2).a) Haga un bosquejo de la cinta de Möbius usando esta parametrización.b) ¿Qué pasa si el círculo cos θ î + sen θ ĵ se extrae de la cinta?c) ¿Es la superficie resultante orientable?d) ¿Cómo definiría usted el área de la cinta de Möbius?13. Investiga sobre las curvas geodésicas en una superficie. Investiga acerca del Teorema de Gauss-Bonnet en su forma local y global y algunas de sus consecuencias.Problema 1. Realice una investigación acerca del significado de las curvas geodésicas en una superficie.¿Qué representan estas curvas? ¿Qué condiciones de minimalidad tienen las geodésicas?Problema 2. Sea T un triángulo geodésico en una superficie orientable S. Usando el Teorema Local deGauss-Bonnet pruebe que la suma de los ángulos interiores del triángulo T es:a) Mayor que π si K > 0 en S.b) Menor que π si K < 0 en S.c) Igual a π si K = 0 en S.Problema 3. Realice una investigación acerca de la clasificación de las superficies compactas conexas através de la característica de Euler-Poincaré.Problema 4. Realice una investigación acerca del Teorema de Poincaré, que relaciona la característica deEuler-Poincaré de una superficie S y el número de ceros de un campo vectorial tangente a S. ¿Es posiblepeinar una esfera sin encontrarse con un remolino?14. Investiga los aportes de B. Riemann al estudio de las funciones de variable compleja.Problema 1. Investigue el aporte de B. Riemann al estudio de las funciones de variable compleja, enparticular el Teorema de Riemann. ¿Qué enfoque privilegiaba Riemann para estudiar las funciones devariable compleja?Matemáticos importantes como A. Cauchy también se abocaron al estudio de las funciones de variablecompleja. ¿Qué otros enfoques fueron usados para estudiar estas funciones?Problema 2. Investigue acerca del rol de las funciones de variable compleja en aspectos fundamentales deTeoría de Números, particularmente en el estudio de la distribución de números primos. Investigue acercade la Hipótesis de Riemann y su relación con los números primos.209

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El estudiante se familiariza con los principales elementos de las geometrías no euclideanas. Se familiarizacon la geometría esférica y con el modelo de Poincaré para la geometría hiperbólica. Conoce la funcióninversión del plano, fundamental en la geometría de Lobachevsky. Utiliza movimientos rígidos para demostrarpropiedades en el plano de Lobachevsky. Relaciona el semi plano de Poincaré con el plano de Lobachevsky através de una aplicación conforme. Conoce propiedades de las perspectividades en la geometría proyectiva yaplica el principio de dualidad a proposiciones en el plano proyectivo. Investiga los inicios de la geometría proyectiva.Adquiere elementos de la geometría fractal. Construye fractales en el plano y en el espacio y reconoceprocesos iterativos con la propiedad de autosimilaridad. Calcula la dimensión y el área de algunos fractales.Investiga acerca de los conjuntos de Julia y de Mandelbrot.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Calcula longitud, ángulos y construye triángulos en la geometría esférica.Problema 1. Dados los puntos A de latitud 33 ◦ 30 ′ S y longitud 70 ◦ 40 ′ O y B de latitud 56 ◦ 30 ′ N ylongitud 38 ◦ 50 ′ E sobre la esfera terrestre, determine la distancia entre ellos.Problema 2. En los casos que sea posible la construcción, describa completamente un triángulo de:a) lados a = 160 ◦ , b = 110 ◦ y c = 85 ◦ .b) ángulos A = 60 ◦ , B = 20 ◦ y C = 90 ◦ .c) ángulos A = 30 ◦ , B = 37 ◦ y C = 130 ◦ .Problema 3. [44] Considere una esfera de radio R. Pruebe que el área T de un triángulo esférico ABCde ángulos interiores α, β y γ es T = R 2 (α + β + γ − π).Problema 4. [44] Sea ABC un triángulo rectángulo en una esfera de radio R, con ángulo recto en C ylados a, b y c como en la figura. Use producto interno para probar que cos( c R ) = cos( a R ) cos( b R ).211

2. Trabaja con el modelo de Poincaré para la geometría hiperbólica.Problema 1. [8]a) Dados los puntos A = 1 2 + 1 2 i y B = 1 3 + 1 3i. Encuentre la recta L que pasa por esos dos puntos y ladistancia entre ellos.b) Construya las rectas que pasan por el punto P = −1 + i y que son paralelas a la recta L de la partea).c) Construya una recta que es perpendicular a la recta L de la parte a) y que pasa por el punto P =−1 + i.Problema 2. Construya una recta que es perpendicular a dos rectas que no se intersectan y que no sonparalelas.3. Conoce la función inversión del plano en la geometría de Lobachevsky.Problema 1. Determine la imagen de un triángulo ABC de la geometría euclideana bajo la inversión derazón 2 ya) polo el centro de gravedad del triángulo.b) polo el punto medio de uno de los lados.Problema 2. [22] Dado un punto P fuera de una recta L, construya dos rectas paralelas a la recta L, porel punto P.4. Trabaja con movimientos y demuestra propiedades en el plano de Lobachevsky.Problema 1. [22] Pruebe que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos ángulos rectos.Problema 2. [43] Sean E y F dos conjuntos de puntos en el plano de Lobachevsky. Se dice que E y Fson congruentes si y sólo si existe un movimiento L del plano que transforma F en E o en E. Demuestreque la congruencia es una relacion de equivalencia.212

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 4Problema 3. [43] Demuestre que dos triángulos que tienen los mismos ángulos son congruentes.5. Calcula distancias entre puntos en el plano de Lobachevsky.Problema 1. [43] Sean A = 1 2 + 1 2 i y B = 1 3 + 1 3i dos puntos en el interior del círculo unitario.a) Calcule la distancia entre los dos puntos A y B, según el plano de Lobachevsky.b) Determine la recta que pasa por esos dos puntos.Problema 2. [43] Demuestre que la distancia en el plano de Lobachevsky satisface la desigualdad triangular.6. Relaciona el semiplano de Poincaré con el plano de Lobachevsky.Problema 1. [43] Demuestre que la función z →interior del círculo unitario.z − iiz − 1transforma el semi-plano de Poincaré en el7. Conoce propiedades de las perspectividades en la geometría proyectiva.Problema 1. [22]a) Demuestre que una recta y su imagen bajo una perspectividad se cortan en el eje de la perspectividad.b) Demuestre que bajo una perspectividad, todos los ángulos cuyos lados tienen los mismos puntos defuga se proyectan en ángulos iguales.Problema 2. [22] Usando el teorema de Desargues, determine una perspectividad que lleva a un triánguloABC y un punto dado G de su plano, pero no en los lados del triángulo, a un triángulo A ′ B ′ C ′ y su centrode gravedad G ′ .8. Conoce el principio de dualidad en el plano proyectivo.Problema 1. Dé la proposición dual de los siguientes enunciados:a) Dos puntos distintos cualesquiera determinan una y sólo una recta en la que están ambos.b) El Teorema del Hexágono de Pascal.c) ABC es un triángulo, L un punto fijo de AB o un punto variable de CL. Si AO corta a CB en P yBO corta a CA en Q, entonces P Q corta a AB en un punto fijo M.9. Adquiere elementos de la geometría fractal. Construye fractales en el plano y en el espacio.Problema 1. [11] Construccción de un análogo al Triángulo de Sierpinski. Explique en etapas cómo seconstruye este fractal.213

Problema 2. Construcción del copo de nieve de Koch. Sea ABC un triángulo equilátero de lado 1. Sobreel tercio interior de cada lado construya hacia el exterior triángulos equiláteros. Sobre cada uno de esos12 lados construya sobre los tercios exteriores de ellos, nuevos triángulos equiláteros. Repita el procesosobre los nuevos lados.10. Calcula la dimensión de algunos fractales.Problema 1. Calcule la dimensión del fractal descrito en el Problema 1 del Indicador 9.Problema 2. Calcule la dimensión de la esponja de Menger, que se muestra en la figura.Problema 3. Calcule la dimensión del copo de nieve de Koch.11. Calcula el área de algunos fractales.Problema 1. Calcule el área del Triángulo de Sierpinski y del copo de nieve de Koch.12. Investiga y conoce los conjuntos de Julia y de Mandelbrot.Problema 1. [11] Realice una investigación sobre los conjuntos de Julia y de Mandelbrot.Problema 2. [11] En el conjunto de Mandelbrot, muestre que el todo no es idéntico a cualquier subparte.Encuentre algunas subpartes que nunca parecen similares a ninguna subparte aún menor.Problema 3. [11] Algunos conjuntos de Julia se hacen de una sola pieza y otros están formados de muchaspiezas. Para un conjunto de Julia no conexo, encuentre dos copias reducidas del conjunto completo de Juliaque representan el conjunto completo.214

Matemática .:. Geometría .:. Nivel 413. Investiga y conoce los inicios de la geometría proyectiva.Problema 1. [22] Realice una investigación sobre los inicios de la geometría proyectiva. Explique lasconstribuciones de G. Desargues en su inicio y de J. Poncellet en su desarrollo.Problema 2. Investigue cuáles propiedades de la geometría se mantienen bajo proyectividades.14. Investiga y conoce el papel de las geometrías no Euclideanas en el desarrollo de la Matemática.Problema 1. [8] D. Hilbert expresó la siguiente afirmación: “el logro más sugerente y notable en el últimosiglo es la invención de las geometrías no Euclideanas”. ¿Qué justifica esta afirmación?215

Nota bibliográfica para el eje de GeometríaPara el eje de Geometría el texto de H. S. M. Coxeter [15] es muy bueno y adecuado. Este texto tiene unbuen enfoque para el estudio de temas de geometría euclideana clásica, y también para la mayoría de los temaspresentes en el desarrollo del eje. Otro texto de referencia apropiado es el libro de Courant y Robbins [14] elcual también contiene referencias históricas y la evolución de problemas importantes de geometría clásica.Un texto de referencia para obtener ejercicios y también material para el Nivel 2 es el libro de J. Stewart [61].Para los Niveles 2 y 3 una referencia interesante es el texto de S. Dineen [17], el cual tiene un nivel adecuadopara los temas de geometría diferencial. También debemos mencionar como referencia el libro de M. do Carmo[18] el cual probablemente sea muy avanzado como texto guía, pero tiene ejercicios interesantes y los temas degeometría diferencial están discutidos rigurosamente.Para el tema de funciones de variable compleja hay muchos textos de referencia, entre los cuales el libro de A. I.Markushevich [43] aparece como una referencia interesante. En este texto, además de tratar en mucha profundidadlas funciones de variable compleja, se presenta una detallada e interesante exposición de las propiedades delplano de Lobachevsky. Destacamos su análisis sobre la medición de longitudes en la geometría de Lobachevsky.Los capítulos 7 y 8 del texto de L. M. Blumenthal [8] analizan el papel fundamental que juega en conceptode distancia en la Geometría. Además en el capítulo 8 de este libro se presenta el modelo de Poincaré para lageometría hiperbólica.El capítulo 8 del libro de H. Eves está dedicado a hacer una presentación de algunos errores de razonamientológico en los Elementos de Euclides, justificando la aparición de las geometrías no Euclideanas. Es un buencompendio para el estudio de las diferentes geometrías.El texto de E. B. Burger y M. Starbid [11] es un muy buen aporte para el estudio de la geometría fractal.Finalmente el texto de J. McCleary [44] presenta en forma elegante la geometría esférica.Bibliografía para el eje[1] Ahlfors, Lars V., Complex Analysis, Third Edition, Mc Graw-Hill Inc., 1979.[5] Araújo, Paulo Ventura, Geometria Diferencial, Coleção Matemática Universitária, Instituto de MatemáticaPura e Aplicada, CNPq, 1998.[7] Bak, Joseph y Newman, Donald J., Complex Analysis, Second Edition, Springer-Verlag, New-York, 1997.[8] Blumenthal, L. M., A modern view of Geometry, W. H. Freeman and Company, San Francisco and Londres.1961.216

Matemática .:. Geometría .:. Bibliografía[11] E. B. Burger, E. B. y Starbid, M., The Heart of Mathematics, an invitation to effective thinking, Key CollegePublishing, in cooperation with Springer-Verlag, N. Y. 2000.[13] Courant, Richard y John, Fritz, Introduction to Calculus and Analysis. Volume I, Springer Verlag, 1989.[14] Courant, Richard y Robbins, Herbert, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996.[15] Coxeter, H.S.M., Introduction to geometry, Second Edition, Wiley Classics Library Edition, 1989.[18] do Carmo, Manfredo P., Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976.[22] Eves, H., Estudios de las Geometrías, Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México. 1969.[42] Lipschultz, Martin M., Theory and problems of differential geometry, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, 1969.[44] McCleary, J., Geometry from a differenciable viewpoint, Cambrige University Press, 1994.[43] Markushevich, A. I., Theory of Functions of a Complex Variable, Chelsea Pub. Co., Second Edition, 1985.[59] Spiegel, Murray R., Theory and problems of complex variables with an introduction to conformal mappingand its applications, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, 1994.217

Eje 6Probabilidades

Matemática .:. ProbabilidadesPROBABILIDADESDescripción GeneralEl azar y la incertidumbre pueden ser puestos en un contexto matemático, el cual permite el estudio de lasprobabilidades desde un punto de vista riguroso y sistemático. Aunque en este eje no se contempla un estudiode la Teoría de las Probabilidades desde un punto de vista axiomático, se privilegia un enfoque riguroso el cualpermite que el Profesor de Matemática aprecie la importancia de tener herramientas analíticas para estudiar elazar.El Profesor de Matemática debe entregar a sus alumnos los conocimientos necesarios para comprender las probabilidadese interesarlos en este tema usando ejemplos significativos. Si bien los contenidos de estos estándaresexceden los contenidos contemplados en la Enseñanza Media, es importante que el profesor tenga un conocimientosólido de probabilidades y comprenda su rol en estadística. Por ejemplo, debe ser capaz de comprenderlos resultados obtenidos en un experimento y de cuantificar su significancia.Se busca que el Profesor de Matemática comprenda la noción de probabilidad como frecuencia relativa y cómoeste concepto intuitivo lleva a una definición rigurosa a través de la Ley de los Grandes Números.Un Profesor de Matemática domina los elementos de la combinatoria y desarrolla estrategias para formulary resolver problemas de conteo, particularmente los que se han denominado problemas emblemáticos. Estosproblemas ayudan a atraer la atención de los estudiantes por su simplicidad y carácter lúdico.Junto a calcular probabilidades de eventos contando casos favorables versus casos totales, se busca que el Profesorde Matemática aprecie el marco teórico más profundo donde los experimentos y el conteo corresponden alestudio de variables aleatorias. A lo largo del segundo y tercer nivel se desarrollan los principales conceptos quele permiten comprender el significado de la distribución de una variable aletoria.El Profesor de Matemática conoce la importancia de la Ley de los Grandes Números y del Teorema Centraldel Límite. Especialmente aprecia la importancia de la distribución Normal, en cuanto a su relación con lasdistribuciones discretas y su rol en la cuantificación de los errores estadísticos.221

Finalmente se espera que el Profesor de Matemática tenga las nociones básicas de procesos estocásticos en quelos resultados del experimento constituyen una serie temporal. En particular, el profesor es capaz de analizarcadenas de Markov y usarlas para modelar situaciones de la vida real. También se contempla en el cuarto nivelel estudio de elementos básicos de procesos de Poisson y sus aplicaciones a la vida cotidiana.222

Cuadro sinópticoNiveles del eje

Nivel 1Nivel 2El estudiante interpreta la probabilidad de un eventodesde un punto de vista intuitivo en términos desu frecuencia empírica.Contrasta la noción intuitiva de probabilidad consu definición rigurosa en el contexto de un espaciomuestral. Es capaz de describir y operar con eventosusando la notación de teoría de conjuntos.El estudiante utiliza estrategias para resolverproblemas de combinatoria. Calcula probabilidadescomo # casos favorables/ # casos totales. Comprendelos conceptos de probabilidad condicionaly de eventos independientes. Aplica el Teoremade Bayes para determinar probabilidades.El estudiante resuelve problemas emblemáticosde probabilidades.El estudiante describe eventos usando variablesaleatorias y comprende la noción de distribuciónde una variable aleatoria en el caso discreto. Calculala distribución conjunta de variables aleatorias yla distribución condicional. Comprende la nociónde variables aleatorias independientes. En estenivel también se contempla que el estudiante sefamiliarice con los paseos al azar.El alumno conoce y opera con las distribucionesBinomial, Poisson, Geométrica y Multinomial.Determina la esperanza y varianza de una variablealeatoria y calcula la covarianza de dos variablesaleatorias en casos simples.El estudiante conoce y aplica la desigualdad deChebychev. Comprende la Ley Débil de los GrandesNúmeros y mediante esta interpreta la probabilidadde un evento en términos de su frecuenciaempírica. Aplica el Teorema Central del Límitepara estimar probabilidades, tamaños de muestrasy para estimar el desplazamiento de un paseo alazar.224

Eje 6: ProbabilidadesNivel 3Nivel 4El estudiante comprende el concepto de variablealeatoria continua y de densidad de probabilidad.Relaciona la función distribución de una variablealeatoria con su densidad de probabilidad. Calculala densidad de una función de una variable aleatoriausando la fórmula de cambio de variables.El estudiante calcula distribuciones conjuntas ycondicionales en algunos casos simples. Comprendela noción de variables aleatorias continuas independientes.El alumno calcula momentos y covarianzas devariables aleatorias continuas, en casos simples.Conoce las distribuciones Uniforme, Normal yExponencial. Utiliza la función generadora demomentos para determinar distribuciones.El estudiante comprende el significado de un procesoestocástico.El alumno desarrolla elementos para analizarcadenas de Markov con un número finito de estados.Clasifica los estados de una cadena de Markov ycalcula distribuciones estacionarias. Analiza elcomportamiento límite de una cadena de Markov.El alumno se familiariza con procesos de Poisson,sus propiedades y sus aplicaciones a la vida cotidiana.Aplica la Ley Débil de los Grandes Números y elTeorema Central del Límite en este contexto.225

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 1Nivel 1Enunciado. El estudiante interpreta la probabilidad de un evento desde un punto de vista intuitivo en términosde su frecuencia empírica.Contrasta la noción intuitiva de probabilidad con su definición rigurosa en el contexto de un espacio muestral.Es capaz de describir y operar con eventos usando la notación de teoría de conjuntos.El estudiante utiliza estrategias para resolver problemas de combinatoria. Calcula probabilidades como # casosfavorables/ # casos totales. Comprende los conceptos de probabilidad condicional y de eventos independientes.Aplica el Teorema de Bayes para determinar probabilidades.El estudiante resuelve problemas emblemáticos de probabilidades.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Interpreta la probabilidad en términos de frecuencia empírica.Problema 1. Un paciente que se debe someter a una operación le pregunta al doctor cuál es la probabilidadde que la operación sea un éxito. Si la respuesta al paciente es que la probabilidad es de un 95 % ¿Cómointerpreta usted esta probabilidad? ¿Se refiere a una frecuencia? ¿A una opinión?Problema 2. [49] Un mazo de 52 cartas se baraja y se reparten las cartas hasta que aparece el primer as(incluyéndolo). Se realiza este experimento 100 veces y se obtiene la siguiente tabla para el número decartas que se reparten:N ◦ de N ◦ de N ◦ de N ◦ de N ◦ de N ◦ de N ◦ de N ◦ de N ◦ de N ◦ decartas veces cartas veces cartas veces cartas veces cartas veces1 11 9 4 17 4 25 1 33 02 7 10 2 18 3 26 2 34 03 9 11 4 19 2 27 1 35 04 6 12 1 20 1 28 1 36 05 9 13 5 21 1 29 2 37 06 3 14 0 22 4 30 0 38 07 3 15 4 23 1 31 0 39 08 3 16 3 24 2 32 1 40-49 0227

Por ejemplo, el primer as apareció en la primera carta 11 veces de un total de 100 veces que se realizó elexperimento.a) Usando esta tabla determine las frecuencias relativas para el número de cartas repartidas hasta elprimer as.b) ¿Cuál es la estimación para la probabilidad de que el número de cartas repartidas hasta el primer assea mayor o igual a 30? ¿Es esta estimación razonable?c) ¿Qué haría usted para encontrar una mejor estimación para la probabilidad considerada en b)?2. Describe el espacio muestral y los eventos asociados a un experimento usando conjuntos. Calculaprobabilidades de eventos simples.Problema 1. [31] Se lanzan tres monedas idénticas y perfectas. Sea A i el evento “la i-esima moneda caecara”, para i = 1, 2, 3. Calcule la probabilidad de A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 .Problema 2. [31] Suponga que un punto es elegido al azar en el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1]. Sea Ael evento “el punto está en el triángulo acotado por las líneas y = 0, x = 1 y x = y” y B el evento “elpunto está en el rectángulo con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1/2) y (0, 1/2). Calcule P (A ∪ B), P (A ∩ B) yP (B c ).3. Utiliza estrategias, como uso de diagramas de árbol, para resolver problemas de conteo.Problema 1. [52] Calcule el número de manos de poker que se obtienen de un mazo de 52 cartas.Problema 2. [55] Justifique la fórmula(nr)=(nn − r).Problema 3. [52] Encuentre el número de secuencias de largo 13 que contienen las letras A, B, C repetidas4, 6 y 3 veces respectivamente.Problema 4. [55] De cuántas maneras se pueden poner en un librero 3 novelas, 2 libros de matemáticas y1 libro de química sí:a) Los libros pueden ser puestos en cualquier orden.b) Los 2 libros de matemáticas y las 3 novelas deben estar juntos.c) Las novelas deben estar juntas, pero los otros libros pueden estar en cualquier orden.228

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 14. Calcula probabilidades como # casos favorables/ # casos posibles.Problema 1. [31] El cuerpo académico de un liceo está formado por 20 profesores de matemáticas, 15profesores de ciencias y 25 profesores de otras áreas. Un comité de seis personas se elige al azar entrelos profesores. Encuentre la probabilidad de que todos los miembros del comité sean profesores dematemáticas.Problema 2. De un mazo de 52 cartas se reparte al azar una mano de póker de cinco cartas. ¿Cuál es laprobabilidad de obtener un full (es decir una pareja y un trío)? ¿Cuál es la probabilidad de obtener dospares (aquí una mano de póker con cuatro cartas iguales no se considera como dos parejas)?Problema 3. [49] Un mazo de 52 cartas se baraja y se reparten hasta que aparece el primer as (incluyéndolo).Calcule la probabilidad de que el número de cartas repartidas sea k, para k = 1, . . . , 49 y contrasteesta probabilidad con la frecuencia empírica obtenida en la Pregunta 2 del Indicador 1.5. Reconoce y resuelve problemas emblemáticos de probabilidades.Problema 1. El problema de los cumpleaños. [31] Suponga que los cumpleaños son equiprobables durantelos 365 días del año. Determine la probabilidad de que en un grupo de n personas no haya dos con elmismo día de cumpleaños. Si usted está en un grupo de 20 personas ¿apostaría una botella de champañade que hay dos con el mismo día de cumpleaños? ¿Y si estuviese en un grupo de 60?Problema 2. El problema de la llave. [23] Un hombre quiere abrir su puerta y para ello tiene n llaves,de las cuales sólo una abre la puerta. Suponiendo que el hombre prueba las llaves al azar, calcule laprobabilidad de que el hombre acierte exactamente en el r−ésimo ensayo.6. Comprende el concepto de probabilidad condicional. Utiliza esta noción para calcular probabilidades.Problema 1. [31] Suponga que dos monedas son lanzadas al mismo tiempo. Encuentre la probabilidadcondicional de que:a) Las dos monedas muestren cara dado que la primera es cara.b) Las dos monedas muestren cara dado que al menos una es cara.Problema 2. [52] Suponga que dos cartas se extraen de un mazo barajado de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidadde que la segunda carta sea negra?7. Utiliza el Teorema de Bayes para calcular probabilidades. Conoce el problema de Falsos Positivos.Problema 1. [31] Suponga que hay tres estantes con dos cajones cada uno. El primer estante tiene unamoneda de oro en cada cajón, el segundo tiene una moneda de oro en un cajón y una de plata en el otro yel tercero tiene una moneda de plata en cada cajón. Un estante es elegido al azar y un cajón es abierto. Siel cajón contiene una moneda de oro, ¿cuál es la probabilidad de que el otro cajón también contenga unamoneda de oro?229

Problema 2. Falsos Positivos. [52] Suponga que un examen de sangre entrega dos resultados, positivo onegativo. Se sabe que un 95 % de los individuos con una enfermedad producen un resultado positivo yque un 2 % de los individuos sanos también producen un resultado positivo. Suponga que un 1 % de lapoblación tiene la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la poblacióntenga la enfermedad, dado que el resultado de su examen de sangre fue positivo?Problema 3. [49] Suponga que de cada 10.000.000 monedas hay una que tiene dos caras. Si una moneda,elegida al azar, es lanzada 10 veces y cae cara todas las veces, ¿cuál es la probabilidad que la monedatenga dos caras?8. Calcula probabilidades de eventos determinados por etapas usando diagramas de árbol.Problema 1. [52] Un contratista está planeando un proyecto de construcción a ser completado en tresetapas. El contratista sabe que:a) La probabilidad de que la primera etapa sea completada a tiempo es 0, 7.b) Dado que la primera etapa fue completada a tiempo, la probabilidad de que la segunda etapa seafinalizada a tiempo es 0, 8.c) Dado que la primera y segunda etapa fueron completadas a tiempo, la probabilidad de que la terceraetapa sea finalizada a tiempo es 0, 9.¿Cuál es la probabilidad de que las tres etapas sean completadas a tiempo?Problema 2. [52] Un dado simétrico tiene una proporción p de sus caras pintadas blancas y una proporciónq = 1 − p pintadas negras. El dado es lanzado hasta la primera vez que aparece una cara blanca, ¿cuál esla probabilidad de que sea lanzado a lo más tres veces?9. Comprende y aplica la noción de independencia de eventos.Problema 1. [52] Suponga que un apostador juega repetidas veces un juego con una probabilidad p deganar el juego, sin importar el resultado de los juegos anteriores, ¿cuántas veces debe jugar el juego paratener una probabilidad mayor a 1 2de ganar al menos una vez?Problema 2. [52] Suponga que en los siguientes circuitos cada interruptor S i está cerrado con probabilidadp i y abierto con probabilidad q i = 1 − p i . Calcule la probabilidad de que la corriente atraviese el circuitode izquierda a derecha, suponiendo que los interruptores actuan independientemente.230

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 1Problema 3. [55] Se lanzan dos dados perfectos. Sea E el evento “la suma de los dados es 7”, F el evento“el primer dado es 4” y G el evento “el segundo dado es 3”. Muestre que E y F , F y G, E y G sonindependientes, pero E no es independiente de F ∩ G.10. Calcula probabilidades usando las distribuciones Binomial y Multinomial.Problema 1. [52] Un hombre dispara 8 veces al blanco. Suponga que los tiros son independientes y quecada tiro llega al blanco con probabilidad 0, 7.a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente 4 veces?b) Dado que acierta al menos dos veces, calcule la probabilidad de que acierte exactamente 4 veces.c) Dado que los dos primeros tiros aciertan el blanco, ¿cuál es la probabilidad que acierte exactamente4 veces?Problema 2. [23] Al arrojar doce dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener cada cara dos veces?11. Investiga acerca del aporte de A. Kolmogorov al estudio de la Teoría de Probabilidades.Problema 1. ¿Qué enfoque utilizó A. Kolmogorov para sistematizar el estudio de probabilidades? Analicelos axiomas utilizados.231

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 2Nivel 2Enunciado. El estudiante describe eventos usando variables aleatorias y comprende la noción de distribución deuna variable aleatoria en el caso discreto. Calcula la distribución conjunta de variables aleatorias y la distribucióncondicional. Comprende la noción de variables aleatorias independientes. En este nivel también se contemplaque el estudiante se familiarice con los paseos al azar.El alumno conoce y opera con las distribuciones Binomial, Poisson, Geométrica y Multinomial. Determina laesperanza y varianza de una variable aleatoria y calcula la covarianza de dos variables aleatorias en casos simples.El estudiante conoce y aplica la desigualdad de Chebychev. Comprende la Ley Débil de los Grandes Números ymediante esta interpreta la probabilidad de un evento en términos de su frecuencia empírica. Aplica el TeoremaCentral del Límite para estimar probabilidades, tamaños de muestras y para estimar el desplazamiento de unpaseo al azar.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Define variables aleatorias en ejemplos concretos. Describe eventos usando variables aleatorias.Problema 1. [55] Un dado es lanzado dos veces. Determine los posibles valores que pueden tomar lassiguientes variables aleatorias:a) El máximo valor entre las dos tiradas.b) El mínimo valor entre las dos tiradas.c) La suma de las dos tiradas.d) El valor de la primera tirada menos el valor de la segunda tirada.2. Calcula la distribución de variables aleatorias discretas.Problema 1. [49] Un número es seleccionado al azar en el conjunto {1, 2, 3, . . . , 20}. Sea X el númerode divisores de este número. Determine la distribución de X y calcule P (X ≥ 3).233

Problema 2. [55] Sea X una variable aleatoria con función distribución acumulada dada por:⎧⎪⎨P (X ≤ x) =Calcule la distribución de la variable aleatoria X.⎪⎩0 x < 0,120 ≤ x < 1,351 ≤ x < 2,452 ≤ x < 3,9103 ≤ x < 3, 5,1 x ≥ 3, 5.3. Encuentra la distribución de una función de una variable aleatoria.Problema 1. [52] Sea X el número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces. Calcule la distribuciónde las variables aleatorias X 2 , 3X y |X − 2|.4. Determina la distribución conjunta de variables aleatorias y también de funciones de dos variablesaleatorias.Problema 1. [52] Una moneda es lanzada tres veces. Sea X el número de caras obtenidas en las primerasdos tiradas e Y el número de caras en las últimas dos tiradas. Calcule la distribución conjunta de X e Y yencuentre la distribución de X + Y .Problema 2. [52] Sea X el máximo e Y el mínimo de tres números escogidos al azar, sin repetición, delconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Calcule la distribución conjunta de X e Y .5. Calcula distribuciones condicionales. Comprende la noción de variables aleatorias independientes.Problema 1. [52] Dos dados son lanzados independientemente. Sea X el máximo de las dos tiradas e Yel mínimo. Calcule P (Y = n|X = m) para n, m = 1, . . . , 6.Problema 2. [52] Sean X e Y variables aleatorias discretas independientes que toman valores enterosno-negativos. Pruebe quen∑P (X + Y = n) = P (X = k)P (Y = n − k).k=0Encuentre la probabilidad de que la suma de cuatro dados independientes sea 8 usando las variables aleatoriasX, la suma de dos de los dados, e Y , la suma de los otros dos.Problema 3. [52] Sea S la suma de los números obtenidos al lanzar dos dados sesgados independientes conprobabilidades asociadas p 1 , . . . , p 6 y r 1 , . . . , r 6 respectivamente, con p i , r i positivas para i = 1, . . . , 6.a) Calcule P (S = k) para k = 2, 7, 12.234

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 2b) Pruebe que P (S = 7) > P (S = 2) r 6+ P (S = 12) r 1.r 1 r 6c) Deduzca que, sin importar como los dados están sesgados, los valores 2, 7 y 12 no pueden serequiprobables para S. En particular, la suma no puede estar uniformemente distribuida en 2, . . . , 12.6. Se familiariza con la noción de paseo al azar.Problema 1. Consideramos el siguiente modelo para el paseo al azar de una partícula en {0, 1, 2, 3, 4}. Lapartícula se mueve a la derecha o izquierda con probabilidad 1/2, pero si está en 0 y se trata de mover a laizquierda se queda en 0 y si está en 4 y se trata de mover a la derecha se queda en 4. Sea X n la posición dela partícula al transcurrir n intervalos de tiempo. Determine P (X n = i|X n+1 = j) para i, j = 0, 1, 2, 3, 4.Si inicialmente la partícula elige el punto de partida al azar, determine P (X 3 = i) para i = 0, 1, 2, 3, 4.7. Conoce ejemplos de variables aleatorias con distribución Bernoulli, Binomial y Multinomial.Problema 1. Suponga que una característica física en un individuo está determinado por un par de genes.Si representamos por d el gen dominante y r el gen recesivo, entonces un individuo con genes dd esdominante, con genes rr es recesivo y con genes rd es híbrido. El gen dominante se manifiesta de lamisma forma en individuos dominantes e híbridos. Suponga que dos padres híbridos tienen 5 hijos. Sea Xel número de hijos que manifiestan el gen dominante, calcule P (X = n) para n = 1, . . . , 5.Problema 2. [52] Suponga que (N 1 , . . . , N m ) tiene una distribución multinomial con parámetros n yp 1 , . . . , p m . Sean 1 ≤ i < j ≤ n. Responda a las siguientes preguntas sin hacer cálculos:a) ¿Cuál es la densidad de N i ?b) ¿Cuál es la densidad de N i + N j ?c) ¿Cuál es la densidad conjunta de N i , N j y n − N i − N j ?8. Conoce ejemplos de variables aleatorias con distribución Geométrica.Problema 1. [50] La probabilidad de que un estudiante apruebe el examen escrito necesario para obteneruna licencia de piloto privado es 0,7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante apruebe el examenen:a) El tercer intento.b) Antes del quinto intento.Problema 2. Sea X una variable aleatoria con distribución Geométrica. Demuestre queP (X = n + k|X > n) = P (X = k).Dé una explicación intuitiva de por qué esto es cierto.235

9. Se familiariza con la distribución de Poisson. Comprende la deducción de esta distribución como unlímite de la distribución binomial.Problema 1. [55] El número de accidentes que ocurren en una carretera cada día tiene una distribución dePoisson con parámetro λ = 3.a) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy ocurran tres o más accidentes?b) Repita el ejercicio anterior suponiendo que al menos hay un accidente hoy.Problema 2. [31] Un máquina produce tornillos de los cuales un 1 % son defectuosos. Estime la probabilidadde que en una caja de 200 tornillos haya a lo más 2 tornillos defectuosos.10. Calcula esperanzas de variables aleatorias discretas.Problema 1. Pruebe que la distribución de una variable aleatoria X con valores posibles 0, 1, 2 está determinadapor µ 1 = E(X) y µ 2 = E(X 2 ).Problema 2. [6] Una pareja decide tener hijos hasta tener una niña, pero deciden tener un máximo de treshijos aún si no han tenido una niña. Determine el número esperado de: a) hijos, b) niñas, c) niños.Problema 3. [6] Una permutación de a 1 , . . . , a n tiene un punto fijo si a i está en la posición i en la permutación.Por ejemplo, la permutación a 2 a 1 a 3 a 4 a 6 a 5 tiene dos puntos fijos: a 3 y a 4 . Si una permutación dea 1 , . . . , a n es elegida al azar ¿cuál es el número esperado de puntos fijos?Problema 4. En un circuito con n interruptores, el interruptor i está cerrado con probabilidad p i , i =1, . . . , n. Sea X el número de interruptores que están cerrados. Calcule E(X).Problema 5. El juego de San Petersburgo. Considere el siguiente juego:“El jugador lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara. Si T es el número de tiradas antes de laprimera cara, entonces el jugador recibe un pago de 2 T ”.Suponga que para jugar este juego debe pagar una entrada. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar?11. Calcula la varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta.Problema 1. Encuentre la varianza del número de caras obtenidos al lanzar n veces una moneda. ¿Cuál esla varianza del número de sellos?Problema 2. [52] Sean A 1 , A 2 y A 3 eventos con probabilidades 1 5 , 1 4 y 1 3, respectivamente. Sea N elnúmero de eventos que ocurren. Calcule E(N). Calcule Var(N) cuando:a) A 1 , A 2 y A 3 son disjuntos.b) A 1 , A 2 y A 3 son independientes.c) A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 .236

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 212. Calcula covarianzas de variables aleatorias discretas.Problema 1. Sean X 1 , X 2 y X 3 variables aleatorias independientes con varianzas σ 2 1, σ 2 2 y σ 2 3, respectivamente.Encuentre la correlación entre X 1 − X 2 y X 2 + X 3 .Problema 2. Una urna contiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. Dos bolas son extraidas, sin reemplazo, de laurna. Sea X el número en la primera bola e Y el número en la segunda bola. Calcule Cov(X, Y ).13. Aplica la desigualdad de Chebychev para estimar probabilidades y tamaños de muestras.Problema 1. Suponga que una variable aleatoria X tiene esperanza E(X) = µ y E ( (X − µ) 4) = β.Demuestre que P (|X − µ| ≥ t) ≤ β/t 4 .Problema 2. [31] Suponga que X tiene una distribución Poisson con parámetro λ, pruebe que:P(X ≤ λ )≤ 4 2 λ y P (X ≥ 2λ) ≤ 1 λ .Problema 3. [16] Se realizan n lanzamientos de una moneda. Para i = 1, . . . , n, consideramos X i = 1 siel resultado de la i-ésima tirada es cara y X i = 0 si es sello. Estime el número de veces que se debe lanzarla moneda para obtenerP(0, 45 ≤ 1 n)n∑X i ≤ 0, 55 ≥ 0, 9.14. Comprende y aplica la Ley Débil de los Grandes Números.i=1Problema 1. La Ley Débil de los Grandes Números es probada suponiendo que las variables aleatoriaspromediadas X k son independientes e idénticamente distribuidas. Determine si es posible generalizar estaley a los siguientes casos:a) Para todo n ≠ k, las variables aleatorias X n y X k son independientes y para todo n, las variablesX n están idénticamente distribuidas.b) Para todo n ≠ k, las variables aleatorias X n y X k son independientes y para todo n, las variablesX n tienen la misma esperanza y varianza.c) Para todo n ≠ k, Cov(X n , X k ) = 0 y para todo n, las variables X n están idénticamente distribuidas.d) Para todo n ≠ k, Cov(X n , X k ) = 0 y para todo n, las variables X n tienen la misma esperanza yvarianza.Problema 2. [26] Una moneda es lanzada repetidas veces, con p la probabilidad de obtener cara. Sean C ny S n el número de caras y sellos después de n lanzamientos de la moneda, respectivamente. Demuestreque para δ > 0cuando n → ∞.P(2p − 1 − δ ≤ 1 )n (C n − S n ) ≤ 2p − 1 + δ → 1,237

15. Se familiariza con el Teorema Central del Límite. Aplica este resultado para estimar probabilidadesy tamaños de muestras.Problema 1. Cien dados son lanzados de manera independiente. Estime la probabilidad de que la sumasea al menos 300.Problema 2. [16] Suponga que la probabilidad de que un artículo de un gran lote manufacturado seadefectuoso es 0,1. Determine el menor tamaño de una muestra aleatoria de artículos del lote, para que laprobabilidad de que esta muestra contenga una proporción de artículos defectuosos menor que 0, 13 sea almenos 0, 99.Problema 3. [16] Un físico toma 25 medidas independientes de la densidad de un líquido. Sabe que laslimitaciones de su equipo son tales que la desviación estándar de cada medición es σ.a) Utilizando la desigualdad de Chebyshev, encuentre una cota inferior para la probabilidad de que elpromedio de sus mediciones difieran en menos de σ/4 de la densidad del líquido.b) Usando el Teorema Central del Límite, encuentre un valor aproximado para la probabilidad de laparte anterior.16. Usa el Teorema Central del Límite para estimar desplazamiento de un paseo al azar simple.Problema 1. [52] Suponga que en cada intervalo de tiempo ∆t una partícula en Z da a la derecha, unpaso a la izquierda o se queda en el lugar con igual probabilidad. Encuentre una aproximación para laprobabilidad de que transcurridos 10.000∆t, la partícula esté a más de 100 pasos a la derecha de suposición inicial.17. Investiga la evolución histórica de la formulación de los Teoremas Límites.Problema 1. Investigue la contribución de Jacob Bernoulli a la demostración de la Ley de los GrandesNúmeros.Problema 2. Investigue los aportes de P. S Laplace, A. de Moivre, P. Lévy y J. W. Lindberg en la formulacióndel Teorema Central del Límite.238

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El estudiante comprende el concepto de variable aleatoria continua y de densidad de probabilidad.Relaciona la función distribución de una variable aleatoria con su densidad de probabilidad. Calcula la densidadde una función de una variable aleatoria usando la fórmula de cambio de variables.El estudiante calcula distribuciones conjuntas y condicionales en algunos casos simples. Comprende la noción devariables aleatorias continuas independientes. El alumno calcula momentos y covarianzas de variables aleatoriascontinuas, en casos simples. Conoce las distribuciones Uniforme, Normal y Exponencial. Utiliza la funcióngeneradora de momentos para determinar distribuciones.Aplica la Ley Débil de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite en este contexto.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Describe variables aleatorias continuas. Determina funciones de distribución.Problema 1. [31] Suponga que un punto es elegido al azar de el interior de un disco de radio R. Sea X elcuadrado de la distancia del punto elegido al centro del disco. Encuentre la función de distribución de X.Problema 2. [52] Considere un punto elegido al azar en el área limitada por las siguientes figuras:En cada caso determine la función de distribución de la coordenada x del punto.239

2. Relaciona la densidad de probabilidad con la función de distribución de una variable aleatoria continua.Problema 1. [55] Suponga que la función de distribución de una variable aleatoria X es la siguiente:Calcule la densidad de probabilidad de X.⎧⎪⎨ e x−3 para x ≤ 3,F (x) =⎪⎩1 para x > 3.Problema 2. [55] Suponga que la densidad de probabilidad de una variable aleatoria X es la siguiente:⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩a) Determine el valor de t tal que P (X ≤ t) = 1/4.b) Determine el valor de t tal que P (X ≥ t) = 1/2.43x 2 para 1 ≤ x ≤ 40 en otro caso.3. Calcula la densidad y función de distribución de una función de una variable aleatoria. Aplica lafórmula de cambio de variables.Problema 1. [55] Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución F . Definimos lavariable aleatoria Y = F (X). Encuentre la función distribución de Y .Problema 2. [6] Sea X una variable aleatoria en [0, 5] con densidad f(x) = 1/5. Sea Y el volumen de laesfera de radio X. Determine la densidad de Y .Problema 3. [31] Suponga que X tiene densidad f(x) = λe −λx para x > 0 y f(x) = 0 para x ≤ 0.Encuentre la distribución de Y = X β con β ≠ 0.4. Encuentra probabilidades usando la distribución Uniforme.Problema 1. [55] Un punto es escogido al azar en un segmento de línea de largo L. Encuentre la probabilidadde que el cuociente entre el segmento más corto y el más largo sea menor que 1/4.Problema 2. Los trenes con destino A llegan a la estación en intervalos de 15 minutos desde las 7:00A.M., mientras que los con destino B llegan en intervalos de 15 minutos desde las 7:05 A.M. Un pasajerollega a la estación de acuerdo a un tiempo uniformente distribuido entre las 7:00 A.M. y 8:00 A.M. y tomael primer tren que llega.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero tome el tren A?240

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 3b) ¿Cómo cambia su respuesta si el pasajero llega a la estación en un tiempo uniformemente distribuidoentre 7:10 A.M. y 8:10 A.M.?5. Calcula probabilidades usando la distribución exponencial f(x) = λe −λt y conoce sus propiedades.Problema 1. [52] Demuestre que si X tiene distribución exponencial, entonces [X], la parte entera de X,tiene distribución geométrica en {0, 1, 2, . . .}.Problema 2. [6] Un programa de radio recibe llamadas cuya duración es una variable aleatoria con distribuciónexponencial con λ = 3.a) Encuentre la probabilidad de que una llamada dure menos de 2 minutos.b) Suponga que una llamada ha durado 1 minuto, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos que tresminutos?6. Calcula probabilidades con la distribución normal f(x) = 1σ √ 2π e−(x−µ)2 /2σ 2 .Problema 1. [52] Suponga que la distribución de la altura en una población grande de individuos es normal.Un 10 % de la población mide más de 1, 8 m y la altura promedio es 1, 6 m. ¿Cuál es aproximadamentela probabilidad de que en un grupo de 100 personas elegidas al azar dos o más midan más de 1, 9 m?Problema 2. Sea X una variable aleatoria con distribución normal. Encuentre la densidad de e X .7. Calcula esperanzas y momentos de variables aleatorias continuas.Problema 1. Suponga que X tiene distribución dada por f(x) = λ 2 e−λ|x| con λ > 0. Calcule la esperanzay la varianza de X.8. Calcula la distribución conjunta de variables aleatorias en casos simples.Problema 1. El vector aleatorio (X, Y ) tiene una distribución uniforme en el discoD = {(x, y) / 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1}.Encuentre la probabilidad de que la distancia de (X, Y ) al origen sea mayor que d para 0 ≤ d ≤ 1.Problema 2. Suponga que un punto (X 1 , X 2 , X 3 ) tiene una distribución uniforme enS = {(x 1 , x 2 , x 3 ) / 0 ≤ x i ≤ 1, i = 1, 2, 3}.Determine:a) P ((X 1 − 1 2 )2 + (X 2 − 1 2 )2 + (X 3 − 1 2 )2 ≤ 1 4 ).b) P (X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 ≤ 1).241

9. Calcula densidades condicionales en casos simples. Comprende la noción de variables aleatoriasindependientes.Problema 1. Suponga que la densidad conjunta de X e Y está dada por f(x, y) = 6xy(2 − x − y) con0 < x < 1, 0 < y < 1. Calcule la densidad condicional f X|Y (x|y).Problema 2. Un punto (X, Y ) se selecciona al azar en el rectánguloS = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 4}.a) Determine la distribución conjunta de X, Y y la distribuciones de X e Y .b) ¿Son X e Y independientes?10. Calcula densidades y esperanzas de funciones de dos o más variables aleatorias independientes.Problema 1. [16] Sean X 1 , X 2 , . . . , X n variables aleatorias independientes, cada una con distribuciónuniforme en [0, 1]. Calcule la función distribución y la densidad de M = máx{X 1 , X 2 , . . . , X n }.Problema 2. Suponga que X e Y son independientes y tienen distribución exponencial con parámetros λy µ. Calcule la densidad de X + Y .Problema 3. [55] Sean X 1 , . . . , X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas conmedia µ y varianza σ 2 y sea ¯X = 1 n∑ ni=1 X i. Pruebe que:a) E( ¯X) = µ.b) Var( ¯X) = σ2n .c) E (∑ ni=1 (X i − ¯X) 2) = (n − 1)σ 2 .11. Calcula covarianzas de variables aleatorias.Problema 1. Sea X una variable aleatoria uniforme en [0, 1]. Pruebe que Cov(X, X 2 ) = 0.Problema 2. Considere X 1 , X 2 , . . . variables aleatorias independientes con esperanza µ i y varianza σ 2 ipara i ≥ 1 y sea Y k = X k + X k+1 + X k+2 . Para j ≥ 0 y k ≥ 1 encuentre Cov(Y k , Y k+j ).12. Usa la función generadora de momentos ψ X para determinar distribuciones.Problema 1. Sea X una variable aleatoria exponencial con λ = 1.a) Calcule ψ X (t) para t < 1 y E(X n ) para todo n ≥ 0.b) Sea Y = 2X + 5. Calcule ψ Y (t) y determine su rango de definición.242

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 3Problema 2. Pruebe que si X 1 , . . . , X n son variables aleatorias normales independientes con media µ i yvarianza σi 2 para i = 1, . . . , n, entonces ∑ ni=1 X i es normal con media ∑ ni=1 µ i y varianza ∑ ni=1 σ2 i .13. Aplica la la Ley Débil de los Grandes Números para variables aleatorias continuas.Problema 1. Sean {X i } i≥1 los dígitos de un número N elegido al azar en [0, 1], es decir, el número puedeser expresado como N = 0, X 1 X 2 X 3 . . .a) Explique por qué los dígitos {X i } son variables aleatorias independientes equiprobables en {0,1,. . . ,9}.b) Usando la Ley Débil de los Grandes Números, pruebe que la frecuencia relativa del dígito 1 en losprimeros n dígitos de N es aproximadamente 1/10 para n grande.14. Aplica el Teorema Central de Límite para variables aleatorias continuas.Problema 1. Sean X i , i = 1, . . . , 30, variables aleatorias independientes, cada una con distribución uniformeen [0, 1]. Estime P ( ∑ 30i=1 X i > 12).Problema 2. [6] La duración promedio de una ampolleta es de 10, 2 días con desviación estándar 9 días.Cuando una ampolleta se quema es reemplazada por una idéntica. Encuentre la probabilidad de que en lospróximos 3 años se usen más de 100 ampolletas.243

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. El estudiante comprende el significado de un proceso estocástico.El alumno desarrolla elementos para analizar cadenas de Markov con un número finito de estados. Clasifica losestados de una cadena de Markov y calcula distribuciones estacionarias. Analiza el comportamiento límite deuna cadena de Markov.El alumno se familiariza con procesos de Poisson, sus propiedades y sus aplicaciones a la vida cotidiana.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Se familiariza con cadenas de Markov finitas. Representa las probabilidades de transición usandomatrices de transición y grafos.Problema 1. Un vendedor viajero vive en la ciudad A y vende sus productos en las ciudades A, B y C.Cada semana viaja a una ciudad diferente. Cuando está en A, lanza una moneda para determinar queciudad visitará la próxima semana, si es cara visita B y si es sello C. Sin embargo, después de pasar unasemana fuera de su casa, tiene deseos de volver. Por tanto cuando está en C o B lanza dos monedas, silas dos son cara visita B o C respectivamente, si no viaja a A. Sea X n la ciudad visitada en la semana n.Describa la matriz de transición y el grafo para esta cadena.Problema 2. Suponga que si ha llovido ayer y hoy entonces lloverá mañana con probabilidad 0, 7; si hallovido ayer pero no hoy lloverá mañana con probabilidad 0, 5; si llovió ayer pero no hoy lloverá mañanacon probabilidad 0, 4 y si no ha llovido los dos últimos días lloverá mañana con probabilidad 0, 2. Propongauna cadena de Markov para este modelo dando su matriz de transición.2. Calcula probabilidades usando matrices de transición.Problema 1. Sea {X n } n≥0 una cadena de Markov con espacio de estados E = {1, 2, 3, 4} y matriz de245

transición⎛M =⎜⎝1 0 0 00 0,3 0,7 00 0,5 0,5 00,2 0 0,1 0,7⎞⎟⎠ .Represente el grafo asociado a esta cadena y calcule P (X n+1 = 1, X n = 3|X n−1 = 4).Problema 2. En el ejemplo anterior suponga que la distribución inicial está dada porµ = (1/10, 3/10, 2/5, 1/5).Calcule la probabilidad P (X 3 = 1).3. Aplica la ecuación de Chapman-Kolmogorov para calcular probabilidades de transición en variospasos.Problema 1. [19] Sea {X n } n≥0 una cadena de Markov representando el tiempo en Santiago en el dían. Suponga que el espacio de estados está dado por 1=lluvioso, 2=nublado y 3=soleado y la matriz detransición es⎛⎜⎝0,4 0,6 00,2 0,5 0,30,1 0,7 0,2Calcule la probabilidad de que el miércoles esté lluvioso dado que el domingo estuvo soleado.⎞⎟⎠ .Problema 2. Sea X n una cadena de Markov con E = {1, 2} y matriz de transición(0,7 0,30,4 0,6Si la distribución inicial está dada por µ = (3/10, 7/10) calcule P (X 4 = 1).4. Calcula la ganancia esperada al tiempo n para una cadena de Markov.Problema 1. Sea X n una cadena de Markov con espacio de estados E = {1, 2, 3} y probabilidades detransición dadas porP =⎛⎜⎝).0,3 0,7 00 0,6 0,40,4 0,1 0,5Suponga que la ganancia está dada por (10, 20, 30), es decir, visitar el estado n otorga una ganacia de 10n.Calcule la ganancia esperada después de tres pasos dado que X 0 = 1. Si la distribución inicial está dadapor (1/10, 3/10, 3/5) calcule la esperanza y la varianza de la ganancia después de tres pasos.⎞⎟⎠ .246

Matemática .:. Probabilidades .:. Nivel 45. Comprende la noción de cadena irreducible.Problema 1. Considere una cadena de Markov X n con matriz de transiciónDemuestre que la cadena es irreducible.⎛P =⎜⎝1212120140131423⎞.⎟⎠6. Aplica criterios para determinar si un estado es transiente o recurrente.Problema 1. [19] Considere las matrices de transición:a)⎛⎜⎝0,4 0,3 0,3 0 00 0,5 0 0,5 00,5 0 0,5 0 00 0,5 0 0,5 00 0,3 0 0,3 0,4⎞⎟⎠b)⎛⎜⎝0,1 0 0 0,4 0,5 00,1 0,2 0,2 0 0,5 00 0,1 0,3 0 0 0,60,1 0 0 0,9 0 00 0 0 0,4 0 0,60 0 0 0 0,5 0,5⎞⎟⎠¿Cuáles estados son transientes y cuáles recurrentes?7. Conoce y aplica el Teorema de convergencia de una cadena de Markov irreducible. Calcula distribucionesestacionarias.Problema 1. Sea X n una cadena de Markov con estados {a, b, c} y matriz de transiciónEstime P (X 200 = a|X 0 = b).⎛⎜⎝0,3 0,4 0,31,0 0 00 0,3 0,7Problema 2. Suponga que los productos A y B tienen, respectivamente, un índice de lealtad de los consumidoresde 0, 7 y 0, 8, es decir, si una semana un consumidor compra el producto A, comprará A conprobabilidad 0, 7 la semana siguiente y, si compró B, la semana siguiente comprará B con probabilidad0, 8. ¿Cuál es la proporción límite del mercado para A y B? Suponga que un nuevo producto es introducidocon índice de lealtad 0, 9 y que un consumidor que decide cambiar de producto compra indistintamentelos otros dos. ¿Cuál es la nueva proporción límite del mercado para estos tres productos?⎞⎟⎠ .247

8. Calcula el número de visitas promedio a un estado.Problema 1. [19] Suponga que los puntos {1, 2, 3, 4} están marcados en un círculo y que una partícula semueve en el sentido horario con probabilidad p y en el sentido anti-horario con probabilidad 1 − p. SeaX n la posición de la partícula en el tiempo n. Encuentre:a) La matriz de transición.b) El número de visitas promedio a cada estado.9. Conoce ejemplos de cadenas de Markov infinitas. Calcula distribuciones estacionarias en casos simples.Problema 1. [19] Una partícula se mueve en {0, 1, 2, . . .} de acuerdo a las siguientes reglas. Si está eni ≥ 1 se mueve a i + 1 con probabilidad p y a i − 1 con probabilidad 1 − p. Si está en 0, se mueve a 1 conprobabilidad p y se queda en 0 con probabilidad 1 − p. Demuestre que esta cadena admite una distribuciónestacionaria si y sólo si p < 1/2.10. Se familiariza con los procesos de Poisson.Problema 1. Las ampolletas producidas en una planta tienen una vida media de 2 meses. Suponga que cadavez que se quema una ampolleta ésta se reemplaza y el número de ampolletas reemplazadas constituye unproceso de Poisson.a) Calcule la esperanza y varianza del número de ampolletas reemplazadas por año.b) Suponga que al primero de Noviembre en un año determinado se han cambiado más de 10 ampolletas.Calcule la probabilidad de que esto ocurra. Calcule la probabilidad de que la próxima ampolletadure más de un mes.Problema 2. [52] Un contador Geiger está registrando radiación a una tasa promedio de 1 impacto/minuto.Sea T 3 el tiempo cuando el tercer impacto es registrado. Determine P (2 < T 3 < 3).Problema 3. Sea {N(t), t ≥ 0} un proceso de Poisson. Demuestre que para s < t y 0 ≤ m ≤ n se tieneP (N(t) = m|N(t) = n) =(nm) (st) m (1 − s t) n−m.11. Investiga acerca de los procesos de Poisson con la Teoría de Colas y la Teoría de Renovación.Problema 1. Investigue los aportes de A. K. Erlang a la Teoría de Colas. ¿En qué problema estaba Erlanginteresado?Problema 2. ¿Qué problema de la vida cotidiana puede ser modelado como un proceso de renovación?248

Matemática .:. Probabilidades .:. BibliografíaNota bibliográfica para el eje de ProbabilidadesPara los Niveles 1, 2 y 3 el libro de Pitman [52] es un muy buen libro de referencia que podría incluso ser usadocomo texto guía. También el libro de Ash [6] es una buena referencia para los primeros dos niveles, ya quecontiene y explica diversas estrategias para resolver problemas de conteo y probabilidades condicionales. Otrobuen texto de referencia para los Niveles 1, 2 y 3 es el texto de Ross [55].Existen muchos textos de referencia para el estudio de procesos estocásticos, pero ellos exceden los contenidosnecesarios para el Nivel 4. Para este nivel mencionamos como una muy buena referencia el libro de de Durrett[19].Sugerencias para la implementación curricularEs muy importante desarrollar intuición para comprender el significado de las probabilidades. El uso de programascomputacionales para simular experimentos puede contribuir a desarrollar intuición y a comprender elsignificado de los Teoremas Límites.Bibliografía para el eje[6] Ash, Carol The Probability Tutoring Book, Wiley Interscience, 1993.[16] DeGroot, Morris H., Probabilidad y Estadística, Segunda Edición, Addison-Wesley Iberoamericana, 1988.[19] Durrett, Rick, Essentials of Stochastics Processes, Springer Texts in Statistics, 1999.[23] Feller, William, Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus Aplicaciones, Volumen 1. Editorial Limusa,1975.[26] Grimmett, G. R. y Stirzaker, D. R., Probability and Random Processes, Second Edition, Oxford SciencePublications, 1992.[31] Hoel, Paul G., Port, Sidney C. y Stone, Charles J., Introduction to Probability Theory. Houghton MifflinCompany, Boston, 1971.[45] McCord, James R. y Moroney, Richard M., Probability Theory, The Macmillan Company, New York, 1964.[49] Mosteller, Frederick, Rourke, Robert E. K. y Thomas, George B., Probability and Statistics, Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1961.249

[50] Myers, Raymond, Myers, Sharon y Walpole, Ronald, Probabilidad y Estadística para Ingenieros, 6ta edición,Prentice Hall, 1999.[52] Pitman, Jim, Probability. Springer Text in Statistics, 1993.[55] Ross, Sheldon, A First Course in Probability. Macmillan Publishing Company, 1988.[56] Ross, Sheldon, Stochastic Processes, Second Edition, John Wiley and Sons Inc., 1996.250

Eje 7Estadística

Matemática .:. EstadísticaESTADISTICADescripción GeneralLa Estadística es una de las ramas de la Matemática que tiene la mayor relación con la obtención y construcciónde modelos de la realidad, fin de toda ciencia. Ella provee de herramientas para el análisis sistemático de datos,para la inferencia y el test de hipótesis y para el diseño de experimentos.Un Profesor de Matemática domina los elementos básicos de la Estadística. Una de las razones tiene que vercon la ventana que abre la Estadística a las otras ciencias, y en consecuencia las ventanas y lazos que el profesortiene que crear con sus alumnos y con los profesores de ciencias.Es importante que el profesor tenga la capacidad de interpretar y explicar la enorme cantidad de información deorigen estadístico que recibimos a diario a través de los medios de comunicación.El eje de Estadística está orientado a los temas eminentemente prácticos de la estadística, dejando para el eje deprobabilidades numerosos desarrollos y teorías necesarias para su cabal comprensión. En general, se espera quea lo largo de los niveles el estudiante desarrolle un pensamiento estadístico, crítico y creativo, que lo capacitepara realizar estudios por su propia cuenta.A lo largo de los niveles existe una permanente conexión con el eje de Probabilidades, naturalmente. En el nivel4 se realiza una conexión importante con el eje de Algebra Lineal y con el eje de Análisis. La importancia deesta conexión no queda reflejada completamente en los estándares, pero pensamos que en una implementacióncurricular, especialmente por razones metodológicas esta relación debe ser enfatizada.En los estándares no se ha incluido el desarrollo de investigaciones con datos de la realidad. La realización deun taller de proyectos estadísticos donde se analicen problemas concretos, con datos de la realidad local puedetener un valor pedagógico enorme.Tampoco se incluye en los estándares el uso de herramientas computacionales. No cabe la menor duda que enuna implementación curricular se puede usar el tema de estadística para introducir al Profesor de Matemática auna serie de herramientas computacionales que debe dominar.253

Cuadro sinópticoNiveles del eje

Nivel 1Nivel 2El estudiante en este nivel introductorio se familiarizacon la descripción de datos de diferente índole,usando tablas de frecuencias y herramientas gráficas.Utiliza indicadores de tendencia central y dispersiónpara resumir información.El estudiante tiene un primer encuentro con técnicasde ajuste de datos. Adquiere un manejo operacionalde la recta de mínimos cuadrados. Utiliza cambiosde escala para relaciones logarítmicas o exponenciales.Analiza los errores para descubrir cambiosde escala que mejoren la regresión.El estudiante se familiariza con los elementoscentrales de series de tiempo, como tendencia,estacionalidad, ciclos y ruido blanco. Aplica ajustede mínimos cuadrados y medias móviles para elanálisis de series de tiempo y para plantear predicciones.El estudiante se familiariza con aspectos operacionalesde la distribución Normal y se aproxima desdeun punto de vista empírico a la Ley de los GrandesNúmeros y al Teorema Central del Límite.Comprende el concepto de muestra y analiza diferentesmétodos de muestreo. Asocia probabilidadesde ocurrencia a las muestras y utiliza un enfoqueempírico para encontrar la distribución de la mediamuestral de una variable numérica. Opera con ladistribución normal y la distribución t de Student.En este nivel el alumno construye intervalos deconfianza para la media de una variable y comprendelos supuestos que sustentan este análisis. Interpretael significado de los intervalos de confianzay adopta una actitud crítica frente a los resultadosde un estudio estadístico.256

Eje 7: EstadísticaNivel 3Nivel 4El estudiante encuentra intervalos de confianza yrealiza Test de Hipótesis para la media, en el casoque la varianza es desconocida. Realiza test parala diferencia entre dos medias.El alumno se familiariza con otras dos distribucionesimportantes de la estadística: la distribución Chicuadrado y la F de Fisher. El alumno construyeestimaciones y realiza test de hipótesis para lavarianza de una población y para la comparaciónde varianzas de dos poblaciones.El estudiante analiza el problema de inferenciaestadística cuando la población es Binomial.Construye intervalos de confianza para la proporciónde una distribución Binomial. Analiza encuestasde opinión.El estudiante en este nivel se introduce en el temade estudios experimentales. Comprende el Análisisde Varianza (ANOVA) en el caso de un factor y loaplica para comparar resultados de experimentos.El estudiante reencuentra el método de mínimoscuadrados, pero ahora desde el punto de vista dela inferencia estadística. Comprende los supuestosque permiten determinar la distribución de losparámetros de una regresión. Construye intervalosde confianza para los parámetros y el coeficientede correlación de la regresión. Realiza test dehipótesis para éstos.Deduce las fórmulas para los coeficientes de unaregresión múltiple usando criterio de minimizacióne interpreta geométricamente, conectando con eleje de Algebra Lineal.257

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 1Nivel 1Enunciado. En este nivel introductorio el estudiante se familiariza con la descripción de datos de diferenteíndole, usando tablas de frecuencias y herramientas gráficas. Utiliza indicadores de tendencia central y dispersiónpara resumir información.El estudiante tiene un primer encuentro con técnicas de ajuste de datos. Adquiere un manejo operacional de larecta de mínimos cuadrados. Utiliza cambios de escala para relaciones logarítmicas o exponenciales. Analiza loserrores para descubrir cambios de escala que mejoren la regresión.El estudiante se familiariza con los elementos centrales de series de tiempo, como tendencia, estacionalidad,ciclos y ruido blanco. Aplica ajuste de mínimos cuadrados y medias móviles para el análisis de series de tiempoy para plantear predicciones.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Obtiene una tabla de frecuencias (relativas) y de frecuencias acumuladas (relativas), a partir de unatabla de datos numéricos.Problema 1. [48] Un consultor de marketing observa las compras de 50 consumidores en un supermercadoy obtiene los siguientes datos:2,32 6,61 6,90 8,04 9,45 10,26 11,34 11,63 12,66 12,9513,67 13,72 14,35 14,52 14,55 15,01 15,33 16,55 17,15 18,2218,30 18,71 19,54 19,55 20,58 20,89 20,91 21,13 23,85 26,0427,07 28,76 29,15 30,54 31,99 32,82 33,26 33,80 34,76 36,2237,52 39,28 40,80 43,97 45,58 52,36 61,57 63,85 64,30 69,49Las cantidades están expresadas en M$ (miles de pesos). Obtenga una tabla de frecuencias relativas. Indiquelas características principales de esta distribución de frecuencias.259

2. Calcula media y desviación estándar a partir de una tabla de frecuencias.Problema 1. [48] En 1798, el científico inglés Henry Cavendish midió la densidad de la Tierra usando unabalanza de torsión. La variable medida fué la densidad de la Tierra como múltiplo de la densidad del agua.Las medidas obtenidas por Cavendish son:5,50 5,61 4,88 4,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,655,57 5,53 5,62 5,29 5,44 5,34 5,79 5,10 5,27 5,395,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,86 5,85Obtenga una tabla de frecuencias y a partir de ella haga un histograma.a) A partir de la tabla de frecuencias obtenga una estimación para la densidad de la Tierra. Calculetambién la desviación estándar.b) Obtenga una estimación de la densidad calculando la media, directamente de los datos. Compare cona) y comente. Haga lo mismo con la desviación estándar.3. Conoce, calcula e interpreta los principales indicadores de una muestra de datos numéricos.Problema 1. El ‘resumen de cinco números’: valor mínimo, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y valormáximo, se usa para describir un conjunto de datos.Diga si estos cinco indicadores representan bien a los datos. Dé ejemplos que justifiquen su afirmación.Problema 2. Considere una lista de datos x 1 , . . . , x n . Una transformación lineal cambia estos datos enx ∗ i = a + bx i , i = 1, 2, . . . , n.Indique cuál de los siguientes estimadores permanece sin cambios ante esta transformación: primer quintil,desviación estándar, media, moda, valor mínimo.Problema 3. Los siguientes datos corresponden a los resultados de la PSU de los alumnos de un curso deun liceo de la capital:678 450 487 577 589 510 698 653 810 570 743 567 661 590 628765 702 654 675 580 689 640 632 580 683 508 750 538 693 568456 567 604 628 672 534 588 604 308 622 635 723 651 644 651a) Elija 3 indicadores para describir estos datos y calcúlelos. Explique las razones que lo llevaron aelegir esos 3 indicadores.b) Si el Centro de Padres quiere conocer los resultados del curso en la PSU a través de tres indicadores,¿cuáles elegiría?260

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 1c) Si la Dirección del Liceo quiere conocer los resultados del curso en la PSU a través de tres indicadores,¿cuáles elegiría?d) Si el Ministerio de Educación quiere conocer los resultados del curso en la PSU a través de tresindicadores, ¿cuáles elegiría?4. Utiliza el Diagrama de Cajas (Boxplot) para describir datos.Problema 1. [2]a) A partir del siguiente diagrama de cajas determine el mínimo m, el primer cuartil Q1, la medianamM, el tercer cuartil Q2 y el máximo M.b) Para los siguientes datos de una variable:-1 1 2 2 3 33 4 4 4 4 55 5 6 6 7 9determine m, Q1, mM, Q2 y M. Haga el diagrama de cajas.c) La siguiente regla se usa para determinar puntos atípicos:“Una observación X es atípica si X < Q1 − 1,5(Q3 − Q1) o X > Q3 + 1,5(Q3 − Q1)”.Para los datos de arriba determine los puntos atípicos y haga el diagrama de cajas modificado.Problema 2. [2] A partir de los datos de lluvia obtenidos en tres estaciones de medición de una ciudaddurante doce meses, se ha construido el siguiente diagrama de caja:261

a) ¿Cuál de las tres estaciones mostró el mayor rango de variación en la cantidad de lluvia caída en 12meses?b) Seleccione una de las alternativas: Como el diagrama de caja de la estación 1 es simétrico, la distribuciónde datos debe ser simétrica:i) Si. ii) No. iii) No se puede decir.c) Los siguientes son los datos de la estación 4:2 5 9 9 9 1011 11 11 11 12 15Determine los cinco números para esta muestra. ¿Existen puntos atípicos de acuerdo a la regla indicadaen el problema anterior?d) Haga el diagrama de cajas modificado para estos datos.5. Ajusta datos usando mínimos cuadrados. Usa la recta de regresión para predecir o interpolar.Problema 1. [47] La siguiente tabla muestra los resultados de mediciones de la resistencia eléctrica medidaen 10 −6 Ohm del platino a distintas temperaturas en KelvinTemperatura x 100 200 300 400 500Resistividad y 4,1 8,0 12,6 16,3 19,4Encuentre la recta de regresión usando como variable explicativa la temperatura. A partir de sus cálculos,¿cuál sería aproximadamente la resistencia eléctrica del platino a 350 Kelvin?6. Calcula e interpreta el coeficiente de correlación en regresión lineal. Comprende el significado depunto influencial y de punto atípico.Problema 1. Ordene los siguientes gráficos de acuerdo al coeficiente de correlación:262

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 1Problema 2. [48] Un estudio en desarrollo cognitivo pretende relacionar la edad (meses) a la cual un niñopequeño dice su primera palabra, con el resultado del test de Gessel tomado un tiempo más tarde.La siguiente tabla describe las observaciones hechas con 21 individuos:Caso edad puntaje Caso edad puntaje1 15 95 12 9 962 26 71 13 10 833 10 83 14 11 844 9 91 15 11 1025 15 102 16 10 1006 20 87 17 12 1057 18 93 18 42 578 11 100 19 17 1219 8 104 20 11 8610 20 94 21 10 10011 7 113a) Haga una regresión lineal con el objeto de explicar el resultado del test de Gessel con la edad de laprimera palabra. En base a la regresión encontrada, ¿cuál sería el resultado del test de Gesell de unniño que dijo su primera palabra a la edad de 21 meses?b) Calcule el coeficiente de correlación entre las variables.c) Elimine la observación número 18. Calcule el nuevo coeficiente de correlación. ¿Cambiaría su respuestaen a)? ¿Cree usted que la edad de la primera palabra predice bien el resultado del test deGessel?7. Discute la relación causal entre la variable respuesta y la variable explicativa.Problema 1. En una ciudad del norte de Europa se realizó un estudio mediante regresión lineal que llegó ala siguiente conclusión:“Existe una alta correlación (95 %) entre el número de nacimientos en la ciudad y el tamaño de la poblaciónde cigueñas que vive en los alrededores”.Comente.8. Ajusta datos con regresiones no lineales.Problema 1. [47] Después que el agente ionizante ha sido apagado, la concentración de iones n quepermanece en el gas en el instante t está dada porn =n 01 + n 0 αt ,263

donde n 0 es la concentración inicial de iones y α es una constante llamada coeficiente de recombinación.En un experimento para determinar α, un gas es ionizado con radiación X, la que es apagada en t = 0.Los siguientes son los datos obtenidosn 10 −4 5,03 4,71 4,40 3,97 3,88 3,62 3,30 3,25 3,08 2,92 2,70t [s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Use el método de mínimos cuadrados para estimar α y n 0 . Compare el valor de n 0 estimado con el valor5,03 dado en la tabla. ¿Porqué es más conveniente usar el valor estimado?Problema 2. [47] En una investigación se consideró cinco grupos de ratas que fueron alimentadas por untiempo con una dieta deficiente en vitamina A. Luego se les dió cantidades altas de vitamina A en la formade aceite de bacalao. A cada grupo de ratas se les dió una dosis diferente. Los siguientes son los resultadosobtenidosDosis [mg] 0,25 1,00 1,50 2,50 7,50Aumento peso [g] -10,8 13,5 16,4 28,7 51,3a) Grafique los datos considerando como variable explicativa x la dosis suplementaria de vitamina A.¿Podría decir que los datos se ajustan bien con una recta?b) Dada la tendencia de crecimiento que muestra la ganancia de peso en función de x, proponga unatransformación f de la variable x y realice un nuevo gráfico. Luego obtenga los coeficientes de laregresión paray = a + bf(x).c) Si la dosis de vitamina A es de 5 [mg], ¿cuál sería la ganancia de peso de la rata?9. Conoce el problema de las series de tiempo y sus conceptos básicos: tendencia, estacionalidad yciclos.Problema 1. Para la siguiente serie de datos con los resultados en ventas de una empresa, que tienen unciclo aproximado de 3 años, calcule las medias móviles y luego obtenga la tendencia de la serie usandoajuste de mínimos cuadrados.264

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 1Año Ventas $ 10 6 Totales móviles (3 años) Medias móviles (3 años)1947 31948 4 15 51949 8 18 61950 6 21 71951 7 24 81952 11 27 91953 9 30 101954 10 33 111955 14 36 121956 12Problema 2. Se cuenta con los siguientes datos correspondientes al stock de un cierto vegetal congeladopara los años 1990 y 1991.Mes 1990(1) 1991(2) (1)+(2)=(3) MA(4) T(5) MA A(6) E(7)Enero 560 780 1340 670 0 670 97,4Febrero 500 720 1220 610 5 605 88,0Marzo 450 670 1120 560 10 550 80,0Abril 420 660 1080 540 15 525 76,3Mayo 420 630 1050 525 20 505 73,5Junio 480 660 1140 570 25 545 79,3Julio 590 730 1320 660 30 630 91,6Agosto 750 860 1610 805 35 770 112,0Septiembre 860 970 1830 915 40 875 127,3Octubre 900 980 1880 940 45 895 130,2Noviembre 900 950 1850 925 50 875 127,3Diciembre 850 870 1720 860 55 805 117,1Total 7680 9480 8250 1200Promedio 640 790 687.5 100(4) Media Aritmética. (5) Tendencia. (6) Media Aritmética Ajustada. (7) Indice Estacional.Se dispone de datos de stock promedio mensual para los años 1987 a 1991.Año X Y XY X 21987 -2 520 -1040 41988 -1 580 -580 11989 0 540 0 01990 1 640 640 11991 2 790 1580 43070 600 10265

Diseñe una estrategia para obtener una predicción de la evolución del stock para el año 1992 mes a mes.Tome en cuenta los efectos estacionales, la tendencia de crecimiento y elimine las fluctuaciones y posiblesciclos trianuales.10. Comprende la importancia de la representación de datos en forma gráfica.Problema 1. Para describir resultados estadísticos se utilizan a menudo diversos esquemas gráficos, comopor ejemplo, histogramas, diagramas de torta, gráficos propiamente tales, etc. Mediante ejemplos concretos,muestre la importancia que tiene la elección de las escalas para las variables cuando se desea describircorrectamente los datos. Muestre también cómo es posible manipular el significado de los datos haciendouna elección de escalas maliciosa.11. Relaciona media y desviación estándar con conceptos físicos.Problema 1. Dados los valores x i , i = 1, 2, . . . , n de una variable numérica, se puede pensar que paracada i, el valor x i representa la posición de una partícula de masa 1 sobre el eje real. En este caso la mediade estos datos corresponde al centro de masa de las partículas.a) Siguiendo esta analogía interprete la fórmula para la media calculada a partir de una tabla de frecuencias.b) Siguiendo esta analogía, ¿a qué concepto físico correspondería la desviación estándar?266

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 2Nivel 2Enunciado. El estudiante se familiariza con aspectos operacionales de la distribución normal y se aproximadesde un punto de vista empírico a la Ley de los Grandes Números y al Teorema Central del Límite.Comprende el concepto de muestra y analiza diferentes métodos de muestreo. Asocia probabilidades de ocurrenciaa las muestras y utiliza un enfoque empírico para encontrar la distribución de la media muestral de unavariable numérica. Opera con la distribución normal y la distribución t de Student.En este nivel el alumno construye intervalos de confianza para la media de una variable y comprende los supuestosque sustentan este análisis. Interpreta el significado de los intervalos de confianza y adopta una actitud críticafrente a los resultados de un estudio estadístico.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Conoce la distribución normal estándar. Asocia probabilidad con áreas y calcula probabilidadesusando tablas.Problema 1. Suponga que la variable aleatoria X es distribuida según la normal estándar. Usando unatabla determine:a) P (X ≥ 1).b) P (−1 ≤ X ≤ 1).c) P (1 < X ≤ 2).Problema 2. Encuentre los valores de z para los cuales:a) P (0 ≤ X ≤ z) = 0,3790.b) P (0 ≤ X ≤ z) = 0,4900.c) P (−z ≤ X ≤ z) = 0,599.267

2. Calcula probabilidades asociadas a una distribución normal.Problema 1. [34] Se supone que los resultados de la prueba final en un curso están distribuidas normalmente,en una escala de 1 a 100, con media 74 y desviación estándar 12.Si el profesor le pondrá un 7 al 10 % superior, el siguiente 20 % recibirá un 6, el siguiente 30 % un 5, elsiguiente 30 % un 4 y el 10 % inferior un 3.a) ¿Qué puntaje hay que tener para sacarse un 7?b) ¿Qué puntaje hay que tener para sacarse un 5?c) ¿Qué puntaje hay que tener para pasar el curso?3. Evalúa si un conjunto de datos sigue aproximadamente una distribución normal, mediante el gráficocuantil-cuantil contra la normal.Problema 1. Considere los siguientes gráficos cuantil-cuantil contra la normal. Ordénelos de acuerdo a sucercania a una normal.4. Conoce el concepto de muestra aleatoria.Problema 1. Para determinar la proporción de piezas defectuosas un inspector se ubica al final de la cadenade producción y escoge en orden, uno de cada 20 productos terminados. Una vez concluida la producciónde 1000 piezas, ha obtenido una muestra de 50 piezas. Discuta si la muestra es aleatoria.268

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 2Problema 2. Se desea hacer un estudio a los usuarios telefónicos de la comuna de La Florida. Diseñe unaestrategia para elegir una muestra de 1000 usuarios.Problema 3. Un canal de televisión realiza encuestas de opinión durante la realización de un programade debate que se transmite de 20 a 21 horas. Para ello se pone a disposición del televidente un númerotelefónico y este puede contestar SI o NO a una pregunta planteada durante el programa.En el desarrollo de un programa sobre la educación en Chile, se planteó la pregunta: ¿Cree usted que laeducación en Chile ha mejorado? Un 70 % dice que NO y un 30 % dice que SI.Explique porqué este método de muestreo es sesgado. ¿Hacia donde cree que está el sesgo?5. Conoce la distribución de la media muestral de una variable normal.Problema 1. [34] Según estudios, los niños en edad de Kindergarten tiene una altura que sigue una distribuciónnormal con media µ = 99 [cm] con una desviación estándar σ = 5, 1 [cm].a) ¿Cuál es la probabilidad que la altura promedio de los niños de un curso de 25 alumnos se encuentreentre 101 y 97 [cm]?b) ¿Cuál es la probabilidad que la altura de un niño elegido al azar sea menor que 97 [cm]? Comparecon la probabilidad que la altura promedio de los niños de un curso de 25 alumnos sea menor que 97[cm].6. Construye intervalos de confianza para la media de una población normal, conocida la varianza.Problema 1. Usando la tabla de la normal, encuentre los valores críticos z ∗ para obtener intervalos deconfianza del 99 %, 90 %, 80 % y del 70 %.Problema 2. Según estudios, los niños en edad de Kindergarten tiene una altura que sigue una distribuciónnormal. Sin embargo no se conoce la media, pero sí su desviación estándar σ = 5, 1 [cm].A través de un muestreo simple se obtuvo una muestra de 15 niños de Kindergarten y se encontró unamedia muestral ¯x = 103 [cm].a) Construya un intervalo de confianza al 95 % para la media.b) Como una manera de disminuir el largo del intervalo a la mitad, se puede cambiar el nivel de confianza.¿Qué nivel de confianza debe elegir para conseguirlo?c) Otra manera de disminuir el largo del intervalo a la mitad es aumentando el número de observaciones.¿Cuántas observaciones debe realizar para lograrlo?7. Conoce el Teorema Central del Límite y comprende su significado.Problema 1. [48] El número de accidentes por semana en una esquina peligrosa tiene una media de 2, 2 yuna varianza de 1, 4.269

a) Sea ¯x la media de accidentes semanales observados durante el último año. ¿Cuál es la probabilidad(aproximada) que ¯x sea menor que 2?b) Si no cambian las condiciones de seguridad en esa intersección, ¿cuál es la probabilidad (aproximada)que haya más de 100 accidentes en esa esquina durante el próximo año?Problema 2. Para la población económicamente activa de la ciudad de Concepción se considera la variableingreso mensual X.Para efectos de determinar el ingreso mensual promedio por individuo en Concepción se ha elegido unamuestra aleatoria consistente en 18 individuos y se ha usado como estimación del ingreso, el promedio dela muestra para obtener un intervalo de confianza usando la tabla N(0, 1). La varianza se supone conocidade estudios anteriores.a) ¿Cree usted que la variable ingreso mensual sigue una distribución normal? ¿Porqué?b) El resultado de la encuesta fué cuestionado. El argumento que se dió es que la variable ingresomensual no sigue una distribución normal. ¿Cree usted justificado el reclamo?c) ¿Qué haría para aplacar las críticas? ¿En que fundamentos basa su respuesta?8. Construye intervalos de confianza para la media, con varianza conocida. Interpreta los intervalosde confianza.Problema 1. [48] Se obtiene una muestra aleatoria de 50 corredores olímpicos varones y se mide el pesode cada uno. Se obtiene una media muestral de ¯x = 60 [kg]. Suponga que la desviación estándar de lapoblación es σ = 5 [kg].a) Dé un intervalo de confianza para µ al 95 %.b) Dé un intervalo de confianza para µ al 99 %.c) ¿Cuál de los dos intervalos cree usted que es mejor?9. Realiza test de hipótesis para la media de la población, cuando la varianza es conocida.Problema 1. [48] En cada una de las siguientes situaciones se requiere de un test de hipótesis para lamedia µ. Establezca la hipótesis H 0 y la hipótesis alternativa H a adecuada:a) El área promedio de los departamentos de un conjunto habitacional de grandes proporciones (variosmiles de departamentos) se publicita como 75 metros cuadrados. Un grupo de futuros propietariospiensa que el tamaño promedio es mucho menor. Ellos contratan un ingeniero para que tome unamuestra y pruebe su sospecha.b) El auto de Juan recorre 17 kilómetros por cada litro litro de combustible en la carretera. Recientementele cambió el tipo de aceite del motor, siguiendo una propaganda que anunciaba que su autoganaría en eficiencia. Después de manejar 1000 kilómetros Juan quiere chequear si efectivamente suauto es más eficiente.270

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 2c) El diámetro del eje de un motor pequeño debe ser de 5 [mm]. Si el diámetro es menor o mayorel motor no funciona correctamente. El fabricante mide el diámetro de una muestra de ejes paradeterminar si la media se ha movido del requerido 5 [mm].Problema 2. [48] Un computador tiene un programa para generar números aleatorios uniformemente distribuidosen el intervalo [0, 1]. Si esto es cierto, la media de la población es µ = 0, 5 y la varianza esσ 2 = 0, 0833. Mediante un comando se generan 100 números, cuya media es ¯x = 0, 4817. Suponiendoque la varianza permanece fija, se desea testear la hipótesis:H 0 : µ = 0, 5 versus H a : µ ≠ 0, 5.a) ¿Es el test significativo al 5 % (para rechazar H 0 )?b) ¿Es el test significativo al 1 % (para rechazar H 0 )?10. Conoce aspectos históricos de la distribución normal.Problema 1. Investigue los orígenes de la distribución normal.Establezca las contribuciones de De Moivre e indique cuál era la motivación que tenía para sus estudios.¿Cuáles fueron las contribuciones de Laplace y sus motivaciones?271

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 3Nivel 3Enunciado. El alumno encuentra intervalos de confianza y realiza Test de Hipótesis para la media, en el casoque la varianza es desconocida. Realiza test para la diferencia entre dos medias.El alumno se familiariza con otras dos distribuciones importantes de la estadística: la distribución Chi cuadradoy la F de Fisher. El alumno construye estimaciones y realiza test de hipótesis para la varianza de una poblacióny para la comparación de varianzas de dos poblaciones.El estudiante analiza el problema de inferencia estadística cuando la población es binomial. Construye intervalosde confianza para la proporción de una distribución binomial. Analiza encuestas de opinión.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Conoce la distribución t y construye intervalos de confianza para la media con varianza desconocida.Problema 1. Desde un punto de vista cualitativo, ¿cuál es la diferencia entre la distribución normalestándar y la distribución t de Student? ¿Qué sucede a medida que el grado de libertad de la t de Studentcrece?Problema 2. Para la distribución t calcule (con la ayuda de una tabla):a) P (−1,75 ≤ t) con GL = 10.b) P (−1 ≤ t ≤ 2) con GL = 15.c) z tal que P (−z ≤ t ≤ z) = 0,95 para GL = 20 y GL = 12.Problema 3. Se dispone de un mecanismo de medición de ciertas señales de sonido, cuya intensidad sigueuna distribución normal. Se dispone de sólo 5 observaciones (pues son caras de obtener) con las cuales seconstruye un intervalo de confianza para la media del 90 %.Para estimar el ancho del intervalo se usó la distribución t con 4 grados de libertad. ¿Cree usted que esteprocedimiento está justificado, si sólo se cuenta con 5 observaciones?273

Problema 4. [47] En un laboratorio, 25 estudiantes de ingeniería midieron en forma independiente el calorespecífico del aluminio, obteniendo una media de 0, 2210 calorías por grado (centigrado) por gramo y unadesviación estándar de 0, 0240. Encuentre el intervalo de confianza del 95 % para la media.2. Realiza test de hipótesis para la media de la población con varianza desconocida.Problema 1. [66] Un empresario envasador de azúcar produce bolsitas de azúcar de 300 gramos. Cuandoel proceso está bajo control, cada bolsa que sale de producción tiene un promedio de 300 gramos. Si elpromedio se desvía significativamente de este valor, hay que revisar el proceso pues se encuentra fuera decontrol. Periódicamente se toma una muestra de 9 bolsitas.En una ocasión se encontró una muestra cuya media muestral fué de 309 gramos y una desviación estándarde 13, 5 gramos.En virtud de los datos:a) ¿Hay que rechazar la hipótesis H 0 : µ = 300 versus H a : µ ≠ 300, con un nivel de significancia del10 %?b) ¿Y si se considera con un nivel de significancia del 5 %?c) ¿Recomendaría al gerente de producción revisar el estado de las máquinas?3. Realiza test de hipótesis para la diferencia entre dos medias.Problema 1. Para hacer un test de hipótesis para la diferencia entre dos medias se requieren ciertos supuestossobre la distribución de la variable x y los tamaños n 1 y n 2 de las muestras. En cualquier caso sesuponen que las muestras son aleatorias e independientes.En cada caso indique qué estadístico hay que considerar y los supuestos necesarios:a) Si las varianzas son conocidas y n 1 y n 2 son pequeños.b) Si las varianzas son desconocidas y n 1 y n 2 son pequeños.c) Si las varianzas son desconocidas y n 1 y n 2 son grandes.Problema 2. [2] Un investigador quiere comparar el peso corporal de dos linajes de ratas de laboratorio.Para ello realizó mediciones y obtuvo los siguientes pesos en gramos:Linaje 1 32 35 36 37 38 41 43Linaje 2 38 39 39 40 44 46 47El investigador quiere saber si estos datos dan evidencia sobre la diferencia en peso entre estos dos linajes.Suponga que los datos provienen de muestras aleatorias, independientes, de distribuciones normales y convarianza común.274

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 3a) Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.b) Calcule el valor del estadístico y su valor-p.c) Indique el resultado del test con significación del 5 %.d) Un intervalo de confianza para la diferencia entre la media µ 1 del linaje 1 y la media µ 2 del linaje 2al 95 % es (−9, 32; −0, 82).i) ¿Qué indica el 95 % acerca de la calidad de este intervalo de confianza?ii) Usando el intervalo de confianza del 95 %, ¿aceptaría o rechazaría la hipótesisH 0 : µ 1 − µ 2 = −9 versus H a : µ 1 − µ 2 ≠ −9?4. Conoce la distribución χ 2 y realiza test de hipótesis para la varianza de una distribución.Problema 1. Determine los valores críticos:a) P (χ 2 ≤ z 1 ) = 0, 05 y P (χ 2 ≥ z 2 ) = 0, 05 con GL = 12.b) P (χ 2 ≤ z) = 0, 05 con GL = 50.Problema 2. [34] Los datos de peso de 20 estudiantes mujeres en una universidad fueron recopilados elprimer día de clases. Se obtuvo una desviación estándar s = 6, 5 [kg]. ¿Existe evidencia para rechazar lahipótesis nula “El peso de las estudiantes femeninas tiene una varianza mayor o igual a 5 [kg]” al 5 %?5. Conoce la distribución F y realiza test de hipótesis para la comparación de dos varianzas.Problema 1. El estadístico usado para la comparación de varianzas de dos poblaciones normales sigue unadistribución F o de Fisher. Esta distribución F = F (n, m) tiene dos parámetros: n los GL del númeradory m los GL del denominador.a) Si anotamos F (n, m, α) el valor z tal que P (F (n, m) ≥ z) = α, explique el significado de lafórmulaF (n, m, α) = 1/F (m, n, 1 − α).b) Usando una tabla encuentre F (10, 15, 0,99).Problema 2. [66] Supongamos que tenemos dos marcas de ampolletas A y B. El tiempo de vida de lasampolletas A sigue una distribución normal de media µ a y varianza σa 2 y la vida de las ampolletas B sigueuna normal de media µ b y varianza σb 2.A partir de un experimento se han obtenido los siguientes datos:¯x a = 1200 hr, s a = 60 hr, n a = 17,¯x b = 1300 hr, s b = 50 hr, n b = 21.275

a) Haga un test para la hipótesis H 0 : σ a = σ b versus H a : σ a > σ b .b) Haga un test para la hipótesis H 0 : σ a = σ b versus H a : σ a ≠ σ b . Comente.6. Aplica el Teorema Central del Límite para aproximar la proporción muestral de una poblaciónbinomial.Problema 1. Una de las formas que toma el teorema central del límite, es que la distribución de la proporciónmuestral ˆp de una muestra de tamaño n de una población binomial de parámetro p, se aproxima a ladistribución normal de media p y varianza p(1 − p)/na) Indique en qué sentido es esta aproximación.b) Desde el punto de vista práctico, ¿qué valores de n se consideran grandes para hacer válida la aproximación?¿Depende su respuesta de p? ¿Por qué?7. Construye intervalos de confianza para la proporción de una población.Problema 1. [48] Se desea hacer un estudio para determinar la intención de voto de un cierto grupo devotantes. Se quiere que el largo del intervalo de confianza para la proporción de votantes por el primercandidato sea de 0, 06.a) ¿Cuántas observaciones se debería hacer? Suponga que p = 0, 5 pues se sabe que la elección será estrecha.b) Si la proporción p es distinta de 0, 5, ¿habría que aumentar el número de observaciones?8. Realiza test de hipótesis para la proporción de una población.Problema 1. En la realización de encuestas de intención de voto entre dos candidatos a veces se llega ala conclusión que, si bien un candidato obtiene más preferencias que otro, existe un “empate técnico”.Explique con detalles el significado de esta expresión.Problema 2. [2] El director de una institución educacional dice que sus estudiantes son tan inteligentesque la mitad de ellos tiene un CI de 140 o más. Basado en estos antecedentes presenta un proyecto auna agencia para obtener fondos. Como la agencia no estaba segura de los dichos del director, realiza unestudio y selecciona al azar a 50 estudiantes a los cuales les administra el test CI.Se obtiene la siguiente distribución muestral:CI Frecuencia110-119 4120-129 12130-139 19140-149 11150-159 4276

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 3a) Escriba la hipótesis nula y la alternativa para este problema.b) ¿Cuál es su conclusión con un nivel de significación del 5 %?c) Suponga que el tamaño de la muestra sea de solamente 10 estudiantes, ¿podría repetir el análisishecho en b)? Explique.9. Investiga algunos aspectos históricos de la estadísticaProblema 1. Investigue sobre las contribuciones de Ronald Fisher a la estadística.Problema 2. Investigue y escriba sobre el marco cultural en el que se forma y se desarrolla el trabajode Fisher. Investigue sobre eventos científicos que estaban ocurriendo en Inglaterra en el período en quevivió Fisher.Problema 3. Averigüe quién desarrolló la distribución t de Student.277

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 4Nivel 4Enunciado. En este nivel el estudiante se introduce en el tema de estudios experimentales. Comprende el Análisisde Varianza (ANOVA) en el caso de un factor y lo aplica para comparar resultados de experimentos.El estudiante reencuentra el método de mínimos cuadrados, pero ahora desde el punto de vista de la inferenciaestadística. Comprende los supuestos que permiten determinar la distribución de los parámetros de una regresión.Construye intervalos de confianza para los parámetros y el coeficiente de correlación de la regresión. Realiza testde hipótesis para éstos.Deduce las fórmulas para los coeficientes de una regresión múltiple usando criterio de minimización e interpretageométricamente, conectando con el eje de Algebra Lineal.Indicadores de logro. Se evidencia el logro de los estándares de este nivel cuando el estudiante:1. Analiza los resultados de un Análisis de Varianza con un factor (ANOVA).Problema 1. [2] Para cada una de las siguientes situaciones encuentre el valor-p para un ANOVA con unfactor:a) El valor observado del estadístico F es 3, 2 y la distribución nula es una F (6, 15).b) El valor observado del estadístico F es 1, 7 y la distribución nula es una F (5, 10).c) El valor observado del estadístico F es 7, 0, I = 3 y n = 24.d) El valor observado del estadístico F es 7, 0 y se asignó 6 sujetos elegidos al azar a cada uno de los 4grupos de tratamientos.Problema 2. [2] Un análisis de varianza para comparar varios métodos de lavado de una cierta tela entregóun valor para F = 25, 5 basado en 3 y 6 grados de libertad.a) ¿Cuántos métodos de lavado se están comparando?b) ¿Cuántos observaciones (pedazos de tela) fueron consideradas?c) ¿Son los resultados estadísticamente significativos a un nivel de significaión del 1 %? Explique.279

2. Realiza un Análisis de Varianza con un factor.Problema 1. [2] Un investigador estaba interesado en medir el efecto de la privación del sueño en lahabilidad de detectar objetos en movimiento en una pantalla. Un total de 20 sujetos estuvieron disponiblespara el estudio. Los primero 5 elegidos aleatoriamente fueron asignados al Grupo I (4 horas sin dormir),los siguientes 5 fueron asignados al grupo II (12 horas sin dormir), los siguientes 5 fueron asignados algrupo III (20 horas sin dormir) y los últimos 5 asignados al grupo IV (28 horas sin dormir), todos elegidosde manera aleatoria.Después de estas horas sin dormir, los sujetos fueron sometidos a una prueba donde se anotó cada vez quefallaron en reconocer un objeto en movimiento en la pantalla.Los resultados del experimento están indicados en la tabla siguiente:4 horas 12 horas 20 horas 28 horas36 38 46 7621 45 74 6620 46 67 6226 22 61 4421 40 59 61a) ¿Es este un estudio observacional o experimental?b) Identifique y dé nombre a la variable explicativa y a la variable respuesta.c) Se dice que cada uno de los individuos fué asignado al azar en cada grupo. Indique un método parahacer esto y realícelo.d) Establezca la hipótesis nula y la alternativa.e) De acuerdo a los datos ¿se rechaza la hipótesis nula, si se considera un nivel de significación del1 %?Problema 2. [2] Un experto nutricionista toma a 18 ciclistas profesionales y los asigna al azar en 3 gruposde 6 cada uno. El grupo B recibe un suplemento vitamínico y el grupo C recibe una dieta de alimentossanos. El grupo A se alimenta de manera normal. Después de tener a estos deportistas con las dietasindicadas por un cierto período, el experto mide el tiempo que le toma a cada uno de los ciclistas recorrer9 kms. Se observan los siguientes datos:Grupo A Grupo B Grupo C19 16 1218 12 1516 14 1218 15 1414 14 1017 13 13280

Matemática .:. Estadística .:. Nivel 4Establezca la hipótesis nula y la alternativa y conduzca un análisis de varianza con un factor usandoα = 0, 01. Realice todos los cálculos y obtenga una conclusión.3. Conoce la distribución muestral de los parámetros de una regresión lineal simple y la aplica paraconstruir intervalos de confianza.Problema 1. Para hacer inferencia estadística en los parámetros de una regresión lineal se requiere deciertas hipótesis. Para satisfacer dichas hipótesis indique cuál de la siguientes debe ser verdadera:a) La variable explicativa debe seguir una distribución normal.b) La media de los residuos debe ser cero.c) El histograma de frecuencias de los residuos debe ser simétrico.d) El histograma de frecuencias de los residuos debe tener dos máximos equidistantes del origen.e) La variable explicada debe tener media cero.Problema 2. La ley de Ohm establece que la corriente I en un cable metálico es proporcional a la diferenciade potencial aplicada en los extremos del cable e inversamente proporcional a la resistencia R delcable.En un laboratorio de un establecimiento secundario se realizaron varios experimentos para estudiar estaley. Se varió el voltaje y en cada caso se leyó la corriente de un instrumento. El problema era determinarel valor de la constante R.De la relación escrita arriba tenemosI = 0 + V R .Los datos experimentales obtenidos fueron:Voltaje [V] 0.5 1.0 1.5 1.8 2.0Corriente [I] 0.52 1.19 1.62 2.00 2.40a) Haga un gráfico con los datos. ¿Existe algún punto atípico u outlier?b) Encuentre el ajuste de mínimos cuadrados. ¿Cuál es valor estimado para 1/R?c) Encuentre un intervalo de confianza para 1/R al 95 %.d) En el modelo físico β 0 = 0. Calcule el estadístico t para esta hipótesis y dé su valor-p.e) Como β 1 = 1/R, encuentre un intervalo de confianza para R al 95 %.f )Indique cuáles son las hipótesis que se tiene en cuenta para obtener las distribuciones de los estadísticosusados arriba. ¿Cree que en este caso se cumplen las hipótesis? Explique.281

4. Realiza test de hipótesis para los parámetros de una regresión.Problema 1. Los estudiantes de un curso introductorio de estadística tomaron un test de entrada para medirsu conocimiento matemático previo. El resultado de este test X se usa para predecir la nota del examenfinal en estadística Y .La regresión estimada esY = 10,5 + 0,8X,el error estándar de ˆβ 1 es 0,38 y el tamaño de la muestra es 55.¿Existe evidencia suficiente para afirmar que la nota del examen de diagnóstico no afecta a la nota final deestadística?5. Realiza test de hipótesis para el coeficiente de correlación.Problema 1. [48] En un estudio realizado en el pueblo egipcio de Kalama, se examinó la relación entrevarias variables socio económicas familiares y el peso de los niños al nacer.a) La correlación entre el ingreso mensual y el peso al nacer que se encontró fue de 0,39 con unamuestra de 40 individuos. Calcule el estadístico t para un test de la hipótesis nula que la correlaciónen la población es 0.b) Los investigadores esperaban que mayores pesos al nacer estaban asociados a más altos ingresos.Exprese este concepto en la hipótesis alternativa.c) Determine el valor-p para H 0 versus la hipótesis dada en b). Comente.6. Deduce las fórmulas para los estimadores de los coeficientes en Regresión Lineal.Problema 1. Encuentre los estimadores para los parámetros de una regresión planteando y resolviendo elproblema de minimización correspondiente:a) En el caso de una regresión simple.b) En el caso de una regresión múltiple. En este caso use notación matricial para plantear el problemay para expresar la solución final.Problema 2. Use proyecciones para interpretar el problema de regresión múltiple.7. Averigua sobre el aporte de Gauss al problema de mínimos cuadrados.Problema 1. Averigüe quién propuso por primera vez el ajuste de datos mediante mínimos cuadrados¿Qué problemas se encontraba estudiando?282

Matemática .:. Estadística .:. BibliografíaNota bibliográfica para el eje de EstadísticaPara la realización de los estándares del eje de Estadística se consultó varios textos, los que aparecen en labibliografía más abajo.Entre estos libros, destaca de manera muy especial el texto de las autoras Martha Aliaga y Brenda Gunderson [2],el cual desarrolla la estadística de una manera muy didáctica y completa. Tiene la particularidad de introducir elconcepto de test de hipótesis muy temprano, ayudando a la pronta asimilación de este importante tema.Además, el texto en discusión, tiene aplicaciones de herramientas tecnológicas modernas. Sin lugar a dudas, estelibro es muy adecuado para servir de apoyo en una implementación curricular.Otro texto que tiene muy buenas características es el de Moore y McCabe [48]. Su presentación es muy acordecon los estándares aquí desarrollados.Sugerencias para la implementación curricularLos estándares de Estadística, que hemos presentado más arriba, no contemplan la utilización de paquetes estadísticosde manera explícita. Sin embargo, en una implementación curricular esto es absolutamente necesario.Los alumnos deben familiarizarse con un paquete estadístico que le permita manejar los datos y obtener losanálisis que son requeridos.Además es necesario, que durante el desarrollo de los contenidos, los alumnos diseñen estudios estadísticos, yasea sobre datos conocidos o generando sus propios datos. La elección de temas para la realización de estudiosestadísticos debería privilegiar los asuntos de educación. Esto permite, además de desarrollar la estadística,conocer y discutir sobre problemas de la educación propiamente tal.Estos estudios estadísticos pueden abordarse en el contexto de un seminario.Bibliografía para el eje[2] Aliaga, Martha y Gunderson, Brenda, Interactive Statistics. Second edition. Prentice Hall, 2003.[34] Johnson, Robert, Elementary Statistics Second edition. Duxbury Press, 1976.[47] Miller, Irwin y Freund, John, Probability and Statistics for Engineers. Prentice Hall, Inc. 1965.[48] Moore, David y Mc Cabe, George, Introduction to the Practice of Statistics W. H. Freeman and Company.1989.[66] Yamane, Taro, Statistics. Harper & Row and John Weatherhill, Inc. Second edition, 1969.283

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