Tema 6: Derivadas. Técnicas de derivación
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Función <strong>de</strong>rivada■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamientorespon<strong>de</strong> al <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f (x).• En el intervalo (a, b), f (x)es <strong>de</strong>creciente. Por tanto, su<strong>de</strong>rivada es negativa. Es loque le pasa a g(x) en (a, b).y = f (x)• La <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f en b es 0:f'(b) = 0. Y también esg(b) =0.ab• En general:g(x) = f'(x) = 0 don<strong>de</strong> f (x)tiene tangente horizontal.g(x) = f'(x) > 0 don<strong>de</strong> f (x)es creciente.g(x) = f'(x) < 0 don<strong>de</strong> f (x)es <strong>de</strong>creciente.aby = g(x) = f'(x)■ Las tres gráficas <strong>de</strong> abajo, A, B y C, son las funciones <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las gráficas<strong>de</strong> arriba, 1, 2 y 3, pero en otro or<strong>de</strong>n.Explica razonadamente cuál es la <strong>de</strong> cada una.1) B1232) A3) CLa <strong>de</strong>rivada se anula en lospuntos <strong>de</strong> tangente horizontal,es positiva don<strong>de</strong> la función escreciente, y es negativa don<strong>de</strong>la función <strong>de</strong>crece.ABC2Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD6Página 153° 2 – 3x, x Ì 21. f (x) = ¢£ x 2 – 3, x > 2¿Es <strong>de</strong>rivable en x 0= 2?lím f (x) = lím (2 – 3x) = –4x 8 2 – x 8 2 –límx 8 2 + f (x) = lím (x 2 – 3) = 1x 8 2 +La función no es continua en x = 2, pues límx 8 2 – f (x) ? límx 8 2 + f (x).Por tanto, tampoco es <strong>de</strong>rivable en x = 2.° 2 – 3x, x Ì 22. f (x) = ¢¿Es <strong>de</strong>rivable en x 0= 2?£ x 2 – 8, x > 2lím f (x) = lím (2 – 3x) = –4x 8 2 – x 8 2 –lím f (x) = lím (x 2 – 8) = –4x 8 2 + x 8 2 +La función es continua, pues: límx 8 2 – f (x) = lím f (x) = f (2) = –4.x 8 2 +° –3 si x < 2f'(x) = ¢£ 2x si x > 2f'(2 – ) = –3 ? f'(2 + ) = 4Por tanto, f (x) no es <strong>de</strong>rivable en x = 2.Página 1571. Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las siguientes funciones:1 – x1 – xa) f (x) = b) f (x) =1 + x√ 1 + x1 – x1 – tg xc) f (x) = ln d) f (x) =1 + x1 + tg x1 – tg xe) f (x) = f ) f (x) = ln√ 1 + tg x√3 x +1√e tg xg) f (x) = h) f (x) = log (sen x · cos x) 2i) f (x) = sen 2 x + cos 2 x + x j) f (x) = sen √x +1· cos √x – 1Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación3
k) f (x) = 7 sen (x2 + 1)l) f (x)= sen (3x 5 – 2 √x + √2x)m) f (x) = n) f (x) = cos 2 3√sen x + x 2 +1√x + (3 – x) 2a) f'(x) =–1 · (1 + x) – (1 – x) · 1=–1 – x – 1 + x=–2(1 + x) 2 (1 + x) 2 (1 + x) 2b) Utilizamos el resultado obtenido en a):f'(x) =1–1·–2=(1 + x) 2 √(1 – x)(1 + x)2 √ 1 – x31 + xc) Utilizamos el resultado obtenido en a):f'(x) =1·–2=–2(1 + x)=1 – x (1 + x) 2 (1 – x)(1 + x) 21 + xDe otra forma: Si tomamos logaritmos previamente:f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:–1 1f'(x) = – =–1 – x – 1 + x=–21 – x 1 + x 1 – x 2 1 – x 2d) f'(x) =– (1 + tg 2 x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg 2 x)=(1 + tg x) 2=(1 + tg 2 x)[–1 – tg x – 1 + tg x]=– 2(1 + tg 2 x)(1 + tg x) 2(1 + tg x) 2De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):f'(x) =–2· D [tg x] =–2· (1 + tg 2 x) =– 2(1 + tg 2 x)(1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2(1 + tg x) 2e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d):f'(x) =1·– 2(1 + tg 2 x) – (1 + tg=2 x)(1 + tg x) 2 √(1 – tg x)(1 + tg x)2 √ 1 – tg x31 + tg xTambién podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b).f) f (x) = ln √e tg x = ln e (tg x) / 2 tg x=2f'(x) =1 + tg 2 x2√3 x + 1g) f (x) = = 3(x + 1) / 2f'(x) = 3 (x + 1) / 2 1 ln 3· · ln 3 = · √3 x + 122–21 – x 234Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD6h) f (x) = log (sen x · cos x) 2 = 2[log (sen x + log (cos x)]cos xsen xf'(x) = 2[· + ·] = · =4 cos= · 2 x – sen 2 x 4 cos 2x= · =ln 10 2sen x · cos x ln 10 sen 2xDe otra forma:1ln 10–sen xcos xf (x) = log (sen x · cos x) 2 sen 2x= 2 log( 2 )1f'(x) = 2 · ·cos 2x=ln 10 sen 2x2i) f (x) = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + xf'(x) = 11ln 102ln 104ln 10 · tg 2xcos 2 x – sen 2 xsen x · cos x4ln 10 · tg 2xcos √ — x + 1 · cos √ — x – 1j) f'(x) = + =2 √x + 12 √x – 1sen √ — x + 1 · (– sen √ — x – 1)cos √ — x + 1 · cos √ — x – 1= –2 √x + 1sen √ — x + 1 · sen √ — x – 12 √x – 1k) f'(x) = 7 sen(x2 + 1) · ln 7 · D [sen(x 2 + 1)] = 7 sen(x2 +1) · ln 7 · 2x · cos (x 2 +1)3l) f'(x) = cos (3x 5 31– 2 √x + √2x ) ·( 15x4 – + √2)√x3 3 √x 2m) f'(x) =1· (cos x + 2x) =2√sen x + x 2 +1cos x + 2x2√sen x + x 2 +1n)331 + 2(3 – x) · (–1)f'(x) = 2cos √x + (3 – x) 2 · [–sen √x + (3 – x) 2 ] · 3√(x + (3 – x) 2 ) 2=–2 cos 3 √ — x +( — 3 – x)= sen 3 √ — x +( — 3 – x) 2 · (2x – 5)=3 3 √x + (3 – x) 2 ) 2(5 – 2x) · sen (2 3 √x + (3 – x) 2 )=3 3 √(x + (3 – x) 2 ) 22. Halla las <strong>de</strong>rivadas 1. a , 2. a y 3. a <strong>de</strong> las siguientes funciones:a) y = x 5 b) y = x cos x c) y = sen 2 x + cos 2 x + xa) y = x 5y' = 5x 4 ; y'' = 20x 3 ; y''' = 60x 2Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación5
) y = x cos xy' = cos x – x sen xy'' = –sen x – sen x – x cos x = –2sen x – x cos xy''' = –2cos x – cos x + x sen x = –3cos x + x sen xc) y = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + xy' = 1; y'' = 0; y''' = 03. Calcula f'(1) siendo: f (x) =√ x — 3 √ 3x— · e 415f (x) =√ — x 3 √ — 3x· e 4 3=x 1/2 · 3 1/3 · x 1/3 · e 4= 2/15 · e 4· x 13/30 √9 · e= 4· x 13/302 5 √3x 2 2 · 3 1/5 · x 2/5 2215√9 · ef'(x) = 4 13· x –17/30 =3 3013 15 √9 · e 46030√x 172 5 √3x 2 Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivaciónPor tanto: f'(1) =13 15 √9 · e 4604. Calcula f'(π/6) siendo: f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6xf (x) = (cos 2 3x – sen 2 sen 12x3x) · sen 6x = cos 6x · sen 6x =2f'(x) =12cos 12x2= 6cos 12xPor tanto:πf'( ) = 6 · cos12π= 6 · cos (2π) = 6 · 1 = 6665. Calcula f'(0) siendo:1f (x) = ln √x 2 + x + 1 – · (2x + 1) 2√31f (x) = ln – (2x + 1) 2 = ln (x 2 1√x 2 + x + 11+ x + 1) – (2x + 1) 2√32√31f'(x) = ·2x + 1 4– · (2x + 1) 2 4(2x + 1)=2x + 1– =2 x 2 + x + 1 √32x 2 + 2x + 2 √3=2x + 1 8x +4– =2x 2 + 2x + 2 √3Por tanto: f'(0) = √— 3 – 82√ — 3–16x 3 – 24x 2 + (2√ — 3 – 24)x + √ — 3 – 8√ — 3(2x 2 + 2x + 2)6
°§§¢£°§°§§¢£UNIDAD6Página 1581. Estudia la <strong>de</strong>rivabilidad en x 0= 3 <strong>de</strong> la función:° x 2 – 3x, x Ì 3f (x) = ¢£ 3x – 9, x > 3• Continuidad en x 0= 3:lím f (x) = lím (x 2 – 3x) = 0 lím f (x) = f (3) = 0x 8 3 – x 8 3x 8 3lím f (x) = lím (3x – 9) = 0 Por tanto, f (x) es continua en x 0= 3.x 8 3 + x 8 3• Derivabilidad en x 0= 3:§°§¢£límx 8 3 –límx 8 3 +f'(x) = lím (2x – 3) = 3 = f'(3 – )x 8 3 –f'(x) = lím (3) = 3 = f'(3 + )x 8 3 +Las <strong>de</strong>rivadas laterales existeny coinci<strong>de</strong>n.Por tanto, f (x) es <strong>de</strong>rivable en x 0= 3. A<strong>de</strong>más, f'(3) = 3.2. Calcula m y n para que f (x) sea <strong>de</strong>rivable en Á:° x 2 – mx + 5, x Ì 0f (x) = ¢£ –x 2 + n, x > 0• Si x ? 0, la función es continua y <strong>de</strong>rivable, pues está formada por dos polinomios.• Continuidad en x = 0:lím f (x) = lím (x 2 – mx + 5) = 5x 8 0 – x 8 0lím f (x) = lím (–x 2 Para que f (x) sea continua en x = 0,+ n) = nx 8 0 + x 8 0ha <strong>de</strong> ser: n = 5f (0) = 5• Derivabilidad en x = 0:§¢§£§límx 8 0 –límx 8 0 +f'(x) = lím (2x – m) = – m = f'(0 – )x 8 0 –f'(x) = lím (–2x) = 0 = f'(0 + )x 8 0 +Para que sea <strong>de</strong>rivable en x = 0, ha<strong>de</strong> ser: – m = 0 8 m = 0Por tanto, f (x) es <strong>de</strong>rivable en Á para m = 0 y n = 5.Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación7
Página 162EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOSPARA PRACTICARDefinición <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada1 Halla la tasa <strong>de</strong> variación media (T.V.M.) <strong>de</strong> las siguientes funciones en losintervalos: [–3, –1]; [0, 2]; [2, 5]; [1, 1 + h]:a) f(x) = x 2 + 1 b) f(x) = 7x – 5 c) f(x) = 3 d) f(x) = 2 x¿En cuáles <strong>de</strong> ellas es constante la T.V.M.? ¿Qué tipo <strong>de</strong> funciones son?a) f (x) = x 2 + 1En [–3, –1] 8f (–1) – f (–3)T.V.M. = = –42f (2) – f (0)En [0, 2] 8 T.V.M. = = 22f (5) – f (2)En [2, 5] 8 T.V.M. = = 73En [1, 1 + h] 8f (1 + h) – f (1) hT.V.M. = = + 2hhh= h + 2b) f (x) = 7x – 5En [–3, –1] 8f (–1) – f (–3)T.V.M. = = 72f (2) – f (0)En [0, 2] 8 T.V.M. = = 72f (5) – f (2)En [2, 5] 8 T.V.M. = = 73En [1, 1 + h] 8f (1 + h) – f (1) 7hT.V.M. = =hh= 7c) f (x) = 3En [–3, –1] 8f (–1) – f (–3)T.V.M. = = 02f (2) – f (0)En [0, 2] 8 T.V.M. = = 02f (5) – f (2)En [2, 5] 8 T.V.M. = = 03f (1 + h) – f (1)En [1, 1 + h] 8 T.V.M. = = 0h8Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD6d) f (x) = 2 xf (–1) – f (–3)En [–3, –1] 8 T.V.M. = =2316En [0, 2] 8f (2) – f (0)T.V.M. = =2En [2, 5] 8f (5) – f (2)T.V.M. = =332283f (1 + h) – f (1) 2En [1, 1 + h] 8 T.V.M. = = 1 + h – 2=hh2(2 h – 1)hLa función b) f (x) = 7x – 5 es una función afín y la T.V.M. es constante.La función c) f (x) = 3 es una función afín y la T.V.M. es 0 (constante).2 Halla la T.V.M. <strong>de</strong> la función f(x) = –x 2 + 5x – 3 en el intervalo [2, 2 + h] y,con el resultado obtenido, calcula f'(2).f (x) = –x 2 + 5x – 3 en [2, 2 + h]f (2 + h) – f (2) –h= 2 + h= –h + 1hhf'(2) = lím (–h + 1) = 1h 8 03 Utilizando la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada, calcula f'(3) en las siguientes funciones:3x – 2a) f(x) =7b) f(x) = x 2 – 4c) f(x) = (x – 5) 2d) f(x) =2 + xxf (3 + h) – f (3) (3h/7)a) f'(3) = lím= lím =h 8 0 hh 8 0 h37f (3 + h) – f (3) hb) f'(3) = = 2 + 6hlímlím = 6h 8 0 hh 8 0 hf (3 + h) – f (3) hc) f'(3) = = 2 – 4hlímlím = – 4h 8 0 hh 8 0 hf (3 + h) – f (3)–2hd) f'(3) = lím= lím= –2 h 8 0 hh 8 0 9h + 3h 2 9Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación9
UNIDAD6—————–1 + h – 1– 2f (–1 + h) – f (–1)–1 + h• f'(–1) = lím= lím=h 8 0 hh 8 0 h–1 + h – 1 + 2 – 2h–h= lím= lím=h 8 0 (–1 + h) h h 8 0 (–1 + h) h–1 –1= lím = = 1h 8 0 –1 + h –1x————+ h – 1–x——– 1f (x + h) – f (x)x +h x• f'(x) = lím= lím=h 8 0 hh 8 0 hx 2 + xh – x – x 2 + x – xh + h(x + h)xh= lím= lím=h 8 0hh 8 0 (x + h) xh1= lím =h 8 0 (x + h) x1x 26 Comprueba, utilizando la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada, que la función f (x) =no tiene <strong>de</strong>rivada en x = 0.Intentamos hallar f'(0) usando la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada:f (0 + h) – f (0) √h – 0 √hf'(0) = lím= lím = lím =h 8 0 hh 8 0 h h 8 0 h1 1= lím = = ±@h 8 0 √h 0Por tanto, f (x) = √x no tiene <strong>de</strong>rivada en x = 0.7 Halla la tasa <strong>de</strong> variación media <strong>de</strong> la función f (x) = e x en el intervalo[2; 2,001] y comprueba que su valor está muy próximo a e 2 .f (2,001) – f (2) eT.V.M. [2; 2,001] = = 2,001 – e 2› 7,39282,001 – 2 0,001e 2 › 7,3891. Los dos valores están muy próximos.√x° 2x – 3 si x < 28 Dada f (x) = ¢, halla f'(1) y f'(3) utilizando la <strong>de</strong>finición£ x – 1 si x Ó 2<strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada.f (1 + h) – f (1) [2 (1 + h) – 3] – (–1)• f'(1) = lím= lím=h 8 0 hh 8 0 h2 + 2h – 3 + 1 2h= lím= lím = lím 2 = 2h 8 0 hh 8 0 h h 8 0Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación11
UNIDAD611 Deriva las funciones siguientes:a) y = e 4x (1 – x) 2(x – 1) b) y = c) y = √2 x d) y = ln (2x – 1)a) y' = 4 · e 4x · (x – 1) + e 4x · 1 = e 4x · (4x – 3)–2 · (1 – x) · eb) y' = x – (1 – x) 2 · e x –2 · (1 – x) – (1 – x) –x= 2=2 + 4x – 3e 2xe xe x2 2c) y' = x · ln2=x – 1 · ln22√2 x √2 xd) y' =22x – 1e x12 Deriva estas funciones:a) y = ln (x 2 ln x– 1) b) y = ln √1 – x c) y = d) y = e x2 + 1a) y' =2xx 2 – 1e x–1— 2 √ 1 – x –1b) y' = =√ — 1 – x 2(1 – x)11— · e x – ln x · e x — – ln xxxc) y' = = =e 2x e x1 – x · ln xx · e xd) y' = 2xe x2 +113 Calcula la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> estas funciones:a) y = sen x cos 2 sen 2 xx b) y =1 + cos 2 xc) y = sen 2 x 2 d) y = cos 3 (2x + 1)a) y' = cos x cos 2 x – 2cos x sen x sen x = cos 3 x – 2sen 2 x cos x == cos 3 x – 2(1 – cos 2 x) cos x = cos 3 x – 2cos x + 2cos 3 x = 3cos 3 x – 2cos x2sen x cos x (1 + cos 2 x)+ 2cos x sen x sen 2 xb) y' = =(1 + cos 2 x) 22sen x cos x + 2sen x cos 3 x + 2cosx sen 3 x= =(1 + cos 2 x) 22sen x cos x (1 + cos 2 x + sen 2 x)= =(1 + cos 2 x) 24sen x cos x(1 + cos 2 x) 2Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación13
c) y' = 2x · 2sen x 2 · cos x 2 = 4x sen x 2 cos x 2d) y' = 3cos 2 (2x + 1) · [–sen (2x + 1) · 2] = –6sen (2x + 1) cos 2 (2x + 1)14 Deriva las funciones siguientes:131 + 2xa) y = log 2b) y = √sen x c) y = d) y = √x + √ — x√ 2x1 – 2xa) y = log 21 – log 2x1 1 –1y' = – · =x ln 2 xln 22x · cos xb) y' =23 3 √sen 2 x 2——————2 · (1 – 2x) + (1 + 2x) · 2——4(1 – 2x)c) y' = 2(1 – 2x)22= = =1 + 2x1 + 2x2 ·1 + 2x√——2 · (1 – 2x) 2 ·1 – 2x √—— 1 – 2x √1 – 2x22= =√1 + 2x √(1 – 2x) 3 (1 + 2x)(1 – 2x) 4 · 1 – 2x11 + — 2√ — 2 √ x x + 1d) y' = = =2 · √ — x + √ x 4√ — x · √ — x + √ x2√ — x + 14· √ ——x 2 + x√ — x15 Halla la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>:xa) y = √x √ — xb) y = ln√ x + 1x – 1c) y = ln (sen √e ) d) y =√ xx + 1☛ b) Aplica las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los logaritmos antes <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivar.a) y = = = x 3/4 38 y' = · x –1/4 3√√ x — 2 · x4√x 34 4 · 4 √x1b) y = · (ln x – ln (x + 1))21 1 1 1y' = · – =2 x x +1 2x 2 +2x()c) y = ln (sen e x/2 (1/2) · e x/2 · cos e x/2) 8 y' = = e x/2 · cos √ — e xsen e x/2 2 · sen √ — e x14Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD6———x + 1 – x + 1(x +1)d) y' = 211= = =x – 1√2 ·x – 1x – 1(x +1) 2 · √ √——(x + 1) 4x + 1·x + 1x + 11=√(x – 1) · (x +1) 3Página 163Continuidad y <strong>de</strong>rivabilidad16 Estudia la continuidad y la <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> las siguientes funciones en lospuntos que se indican, y represéntalas:° 3x – 1 si x < 1a) f (x) = ¢en x = 1£ x 2 + x si x Ó 1° –x 2 si x < 0b) f (x) = ¢en x = 0£ x 2 si x Ó 0° 2x – 1 si x < 3c) f (x) = ¢en x = 3£ x 2 – 4 si x Ó 3° 3x – 2 si x Ì 2d) f (x) = ¢en x = 2£ 3x + 1 si x > 2a) Continuidad en x = 1:lím f (x) = lím (3x – 1) = 2x 8 1 – x 8 1 –lím f (x) = lím (x 2 + x) = 2x 8 1 + x 8 1 +f (1) = 2Derivabilidad en x = 1:° 3 si x < 1f'(x) = ¢£ 2x + 1 si x > 1f'(1 – ) = 3f'(1 + ) = 3°¢£f (x) es <strong>de</strong>rivable en x = 1 y f'(1) = 3.°§§¢§£f (x) es continuaen x = 1.Gráfico:10987654321–3–2 –1–11 2 3 4 5–2–3–4–5Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación15
) Continuidad en x = 0:lím f (x) = lím –x 2 = 0x 8 0 – x 8 0 –lím f (x) = lím x 2 = 0x 8 0 + x 8 0 +f (0) = 0Derivabilidad en x = 0:Derivabilidad en x = 3:° 2 si x < 3f'(x) = ¢£ 2x si x > 3f'(3 – ) = 2f'(3 + ) = 6° –2x si x < 0¢£ 2x si x > 0¢£°¢£°d) Continuidad en x = 2:f (x) no es <strong>de</strong>rivable en x = 3.lím f (x) = lím (3x – 2) = 4 f (x) no es continuax 8 2 – x 8 2 –en x = 2 (tiene unalím f (x) = lím (3x + 1) = 7 discontinuidad <strong>de</strong>x 8 2 + x 8 2 +salto finito).Derivabilidad en x = 2:Como f (x) no es continua en x = 2, tampoco es<strong>de</strong>rivable en ese punto.°§§¢§§£f (x) es continuaen x = 0.Gráfico:f'(x) =–4–3–2 –1–1–21 2 3 4–3f'(0 – ) = 0f (x) es <strong>de</strong>rivable en x = 0 y f'(0) = 0.f'(0 + ) = 0c) Continuidad en x = 3:lím f (x) = lím (2x – 1) = 5x 8 3 – x 8 3 –f (x) es continualím f (x) = lím (x 2 – 4) = 5x 8 3 + x 8 3 +en x = 3.–4–5Gráfico:f (3) = 5°§¢§§£§°§¢£12111098765432154321–3–2 –1–11 2 3 4 5–2Gráfico:10987654321–3–2 –1–11 2 3 4–2–3–4–516Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
£°§§¢§£UNIDAD617 Comprueba que f (x) es continua pero no <strong>de</strong>rivable en x = 2:° ln (x – 1) si x < 2f (x) = ¢£ 3x – 6 si x Ó 2Continuidad en x = 2:lím f (x) = lím ln (x – 1) = ln 1 = 0x 8 2 – x 8 2 –lím f (x) = lím (3x – 6) = 0 f (x) es continua en x = 2.x 8 2 + x 8 2 +f (2) = 0Derivabilidad en x = 2:° 1§ —---- si x < 2f'(x) = ¢ x –1§£ 3 si x > 2f'(2 – ) = 1f'(2 + ) = 3°¢£°§¢§§£Como las <strong>de</strong>rivadas laterales no coinci<strong>de</strong>n, f (x) no es <strong>de</strong>rivableen x = 2.s18Consi<strong>de</strong>ra la siguiente función:° 0 si x < 0§f (x) = ¢ x 2 si 0 Ì x < 1§£ x si x Ó 1a) Estudia su continuidad.b) Estudia su <strong>de</strong>rivabilidad.a) • Si x ? 0 y x ? 1 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas.• En x = 0:lím f (x) = lím 0 = 0x 8 0 – x 8 0lím f (x) = lím x 2 lím f (x) = f (0). Por tanto, la función es= 0x 8 0 +x 8 0x 8 0continua en x = 0.°§§¢§§f (0) = 0• En x = 1:lím f (x) = lím x 2 = 1x 8 1 – x 8 1lím f (x) = lím x = 1x 8 1 + x 8 1f (1) = 1límx 8 1f (x) = f (1). Por tanto, la función escontinua en x = 1.La función es continua en Á.Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación17
) • Si x ? 0 y x ? 1 8 La función es <strong>de</strong>rivable. Su <strong>de</strong>rivada es, en esos puntos:° 0 si x < 0f'(x) =§¢ 2x si 0 < x < 1§ 1 si x > 1£• En x = 0:f'(0 – ) = 0 = f'(0 + ). Por tanto, f (x) es <strong>de</strong>rivable en x = 0; y f'(0) = 0.• En x = 1:f'(1 – ) = 2 ? f'(1 + ) = 1. Por tanto, f (x) no es <strong>de</strong>rivable en x = 1.La función es <strong>de</strong>rivable en Á – {1}. Su <strong>de</strong>rivada es:° 0 si x < 0f'(x) =§¢ 2x si 0 Ì x < 1§ 1 si x > 1£19 Prueba que la función f (x) =|x + 1| no es <strong>de</strong>rivable en x = –1.° –x – 1 si x Ì –1f (x) = | x +1| = ¢£ x + 1 si x Ó –1x 8 –1 – x 8 –1 –f (x) es una función continua, pues está formada por dos funciones continuas, six ? –1.• En x = –1:lím f(x) = lím (–x – 1) = 0lím f(x) = lím (x + 1) = 0 f es continua en x = –1.x 8 –1 + x 8 –1 +f(–1) = 0• Su <strong>de</strong>rivada, si x ? –1, es:° –1 si x < –1f'(x) = ¢£ 1 si x > –1Las <strong>de</strong>rivadas laterales en x = –1 son:f'(–1 + ) = 1f'(–1 – ) = –1°§§¢§£°¢£No coinci<strong>de</strong>n; por tanto, f (x) no es <strong>de</strong>rivableen x = –1.20 Estudia la continuidad y la <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> la siguiente función:° x 2 – 1 si x Ì 1f (x) = ¢£ x – 1 si x > 1Continuidad:Si x ? 1 8 f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funcionescontinuas.18Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
°§§¢§£UNIDAD6En x = 1 8 límx 8 1 –límx 8 1 +f (x) = lím (x 2 – 1) = 0x 8 1 –f (x) = lím (x – 1) = 0x 8 1 +f (1) = 0f (x) es continua en x = 1.Por tanto, f (x) es una función continua.Derivabilidad:Si x ? 1: f (x) es <strong>de</strong>rivable y su <strong>de</strong>rivada es:° 2x si x < 1f'(x) = ¢£ 1 six > 1En x = 1: Hallamos las <strong>de</strong>rivadas laterales:f'(1 + ) = 1f'(1 – ) = 2°¢£No coinci<strong>de</strong>n; por tanto, f (x) no es <strong>de</strong>rivable en x = 1.° e –x si x Ì 021 Dada la función f (x) = ¢£ 1 – x si x Ó 0Estudia su continuidad y su <strong>de</strong>rivabilidad.Continuidad:Si x ? 0: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.En x = 0:lím f (x) = lím e –x = 1x 8 0 – x 8 0 –lím f (x) = lím (1 – x) = 1f (x) es continua en x = 0.x 8 0 + x 8 0 +f (0) = 1Por tanto, f (x) es una función continua.Derivabilidad:Si x ? 0: f (x) es <strong>de</strong>rivable y su <strong>de</strong>rivada es:° –e –x si x < 0f'(x) = ¢£ –1 si x > 0En x = 0: Hallamos las <strong>de</strong>rivadas laterales:f'(0 – ) = –1Coinci<strong>de</strong>n; luego, f (x) es <strong>de</strong>rivable en x = 0.f'(0 + ) = –1Por tanto, f (x) es una función <strong>de</strong>rivable.° –e –x si x < 0Su <strong>de</strong>rivada es f'(x) = ¢£ –1 si x Ó 0°§¢§§£°¢£Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación19
°¢£°¢£22 ¿En qué puntos no son <strong>de</strong>rivables las funciones siguientes?:a) f(x) = | x 2 – 4| b) f(x) = | 2x – 3|a) f(x) = | x 2 – 4|f (x) es una función continua, pues es la composición <strong>de</strong> funciones continuas.La <strong>de</strong>finimos a trozos:° x 2 – 4 si x < –2§f (x) = ¢ –x 2 + 4 si –2 Ì x Ì 2§£ x 2 – 4 si x > 2Si x ? –2 y x ? 2, f'(x) es <strong>de</strong>rivable y su <strong>de</strong>rivada es:f'(x) =° 2x si x < –2§¢ –2x si –2 < x < 2§£ 2x si x > 2En x = –2: Hallamos las <strong>de</strong>rivadas laterales:f'(–2 – ) = –4f'(–2 + ) = 4f (x) no es <strong>de</strong>rivable en x = –2.En x = 2: Hallamos las <strong>de</strong>rivadas laterales:f'(2 – ) = –4f'(2 + ) = 4f (x) no es <strong>de</strong>rivable en x = 2.Por tanto, f (x) no es <strong>de</strong>rivable en los puntos (–2, 0) y (2, 0).° –2x + 3 si x < 3/2b) f(x) = | 2x – 3| = ¢£ 2x – 3 si x Ó 3/2f(x) es una función continua pues es la composición <strong>de</strong> dos funciones continuas(y = 2x – 3 e y = | x | ).3° –2 si x < 3/2En x ? , f(x) es <strong>de</strong>rivable y su <strong>de</strong>rivada es f'(x) = ¢2£ 2 si x > 3/2En x =3, f no es <strong>de</strong>rivable porque f'2()3 – 3 += –2 y f' = 222()PARA RESOLVER° 3x – 1 si x Ì 223 Dada f (x) = ¢:£ x 2 + 1 si x > 2a) Calcula f'(1) y f'(3). b) Comprueba que f'(2 – ) ? f'(2 + ).Si x ? –2: f(x) es una función continua, pues está formada por polinomios, queson funciones continuas.20Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
°§§¢§£UNIDAD6En x = 2:lím f (x) = lím (3x – 1) = 5x 8 2 – x 8 2 –lím f (x) = lím (x 2 + 1) = 5x 8 2 + x 8 2 +f (2) = 5f (x) es continua en x = 2.Por tanto, f (x) es una función continua.Si x ? 2: f (x) es <strong>de</strong>rivable y su <strong>de</strong>rivada es:° 3 si x < 2f'(x) = ¢£ 2x si x > 2a) f'(1) = 3; f'(3) = 6b) f'(2 – ) = 3f'(2 + ) = 4°¢£no coinci<strong>de</strong>n24 Esta es la gráfica <strong>de</strong> una función y = f (x).Calcula, observándola:f'(–1), f'(1) y f'(3)¿En qué puntos no es <strong>de</strong>rivable?2–2 2 4• En x = –1, la recta tangente a f es horizontal; su pendiente es 0. Por tanto,f'(–1) = 0.• En x = 1, f es una función constante. Luego f'(1) = 0.• En x = 3, f es una recta que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 5). Calculamos supendiente:5 – 1m = = 2. Por tanto, f'(3) = 2.4 – 2• No es <strong>de</strong>rivable en x = 0 ni en x = 2, porque en ellos observamos que:f'(0 – ) ? f'(0 + ) y f'(2 – ) ? f'(2 + )25 ¿Cuántos puntos que no tengan <strong>de</strong>rivada hay en la función y = |x 2 + 6x + 8|?x 2 –6 ± √36 – 32 –6 ± √4 –6 ± 2 x = –2+ 6x + 8 = 0 8 x = = =22 2 x = –4° x 2 + 6x + 8 si x < –4 ° 2x + 6 si x < –4§§y = ¢ –x 2 – 6x – 8 si –4 Ì x Ì –2 y' = ¢ –2x – 6 si –4 < x < –2§§£ x 2 + 6x + 8 si x > –2 £ 2x + 6 si x > –2La función es continua, pues es el valor absoluto <strong>de</strong> una función continua.Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación21
°§§¢§£°¢£°¢£En x = –4 8 y' (– 4 – ) = –2 ? y' (– 4 + ) = 2En x = –2 8 y' (– 2 – ) = –2 ? y' (– 2 + ) = 2La función no es <strong>de</strong>rivable en x = –4 ni en x = –2; es <strong>de</strong>cir, en (–4, 0) y en (–2, 0).Son dos puntos “angulosos”.s26 Calcula a y b para que la siguiente función sea <strong>de</strong>rivable en todo Á:° ax 2 + 3x si x Ì 2f (x) = ¢£ x 2 – bx – 4 si x > 2Para que sea <strong>de</strong>rivable, en primer lugar, ha <strong>de</strong> ser continua.• Si x ? 2 8 la función es continua, pues está formada por dos polinomios.• En x = 2 <strong>de</strong>be cumplirse quelímx 8 2f(x) = f(2):límx 8 2 –f (x) = lím (ax 2 + 3x) = 4a + 6lím f (x) = lím (x 2 – bx – 4) = –2bx 8 2 +f (2) = 4a + 6x 8 2x 8 2Para que sea continua, ha <strong>de</strong> ser 4a + 6 = –2b; es <strong>de</strong>cir, 2a + 3 = –b, o bienb = –2a – 3.Derivabilidad:• Si x ? 2 8 la función es <strong>de</strong>rivable. A<strong>de</strong>más:f'(x) =° 2ax + 3 si x < 2¢£ 2x – b si x > 2• En x = 2 <strong>de</strong>be cumplirse que f'(2 – ) = f'(2 + ):f'(2 – ) = 4a + 3f'(2 + ) = 4 – bPara que sea <strong>de</strong>rivable, ha <strong>de</strong> ser 4a + 3 = 4 – b; es <strong>de</strong>cir, b = – 4a +1.Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas:b = –2a – 3b = – 4a +1–2a – 3 = – 4a + 1 8 2a = 4 8 a = 2b = –7Por tanto, para que f (x) sea <strong>de</strong>rivable en todo Á, ha <strong>de</strong> ser a = 2 y b = –7.22Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
°¢£UNIDAD627 Observa las gráficas <strong>de</strong> las siguientes funciones e indica en qué puntos noson <strong>de</strong>rivables:a) b) c)112–2 2 –2–2 –222¿Alguna <strong>de</strong> ellas es <strong>de</strong>rivable en todo Á?a) No es <strong>de</strong>rivable en x = –1 (tiene un punto “anguloso”), ni en x = 2 (no está<strong>de</strong>finida la función).b) Es <strong>de</strong>rivable en todo Á.c) No es <strong>de</strong>rivable en x = 0 (tiene un punto “anguloso”).s28Calcula a y b para que f(x) sea continua y <strong>de</strong>rivable:° x 3 – x si x Ì 0f (x) = ¢£ ax + b si x > 0Continuidad:• En x ? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos polinomios.• En x = 0:lím f (x) = lím (x 3 – x) = 0x 8 0 – x 8 0límx 8 0 +f (0) = 0f (x) =Derivabilidad:lím (ax + b) = bx 8 0Si x ? 0: 8 La función es <strong>de</strong>rivable. A<strong>de</strong>más:° 3x 2 – 1 si x < 0f'(x) = ¢£ a si x > 0En x = 0:°§§¢§§£Para que sea continua ha <strong>de</strong> ser b = 0.f'(0 – ) = –1f'(0 + ) = aPara que sea <strong>de</strong>rivable, ha <strong>de</strong> ser a = –1.Por tanto, f (x) será continua y <strong>de</strong>rivable si a = –1 y b = 0.Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación23
s29Estudia la continuidad y la <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> la siguiente función:° e x si x Ì 0§f (x) = ¢ 1 si 0 < x < 3§£ –x 2 + 3x + 2 si x Ó 3x 8 0 – x 8 0Continuidad:Si x ? 0 y x ? 3: es continua, pues está formada por funciones continuas.En x = 0:lím f (x) = lím e x = 1lím f (x) = lím 1 = 1f (x) = f (0). La función es continua en x = 0.x 8 0 +f (0) = 1En x = 3:límx 8 3 –límx 8 3 +f (3) = 2x 8 0f (x) = lím 1 = 1x 8 3f (x) = lím (–x 2 + 3x +2) = 2x 8 3°§¢§£límx 8 0°§¢§£límx 8 3 –f (x) ? lím f (x) = f (0).x 8 3 +No es continua en x = 3.La función es continua en Á –{3}.Derivabilidad:Si x ? 0 y x ? 3, es <strong>de</strong>rivable y:° e x x < 0§f'(x) = ¢ 0 0 < x < 3§£ –2x + 3 x > 3En x = 0:f'(0 – ) = 1 ? f'(0 + ) = 0 8 No es <strong>de</strong>rivable en x = 0.En x = 3: no es <strong>de</strong>rivable, pues no es continua.La función es <strong>de</strong>rivable en Á –{0, 3}.Página 16430 Averigua para qué valores <strong>de</strong> x es f'(x) = 0 en cada una <strong>de</strong> las siguientesfunciones:x 2 (3x – 8)a) f (x) = b) f (x) = x 4 + 2x1221c) f (x) = d) f (x) = e x (x – 1)x 2 + 124Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD63xa) f (x) = 3 – 8x 28 f'(x) =129x 2 – 16x122 c) f'(x) =–2x(x 2 + 1)x = 0f'(x) = 0 8 9x 2 – 16x = 0 8 x (9x – 16) = 016x = —— 9b) f'(x) = 4x 3 + 4x = 4x (x 2 + 1)f'(x) = 0 8 4x (x 2 + 1) = 0 8 x = 0f'(x) = 0 8 –2x = 0 8 x = 0d) f'(x) = e x (x – 1) + e x · 1 = e x (x – 1 + 1) = e x xf'(x) = 0 8 x = 031 Halla los puntos en los que la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente es igual a 0 encada una <strong>de</strong> las siguientes funciones:x 2 +1x 3a) f (x) = b) f (x) =x 2 – 1x 2 – 12x 2 – 3xx 2 +1c) f (x) = d) f (x) =2 – xxDebemos hallar los puntos en los que f'(x) = 0 en cada caso:2x (xa) f'(x) = 2 – 1) – (x 2 + 1) · 2x 2x= 3 –2x –2x 3 – 2x –4x=(x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2f'(x) = 0 8 –4x = 0 8 x = 0 8 y = –1 8 Punto (0, –1)3x 3x xb) f'(x) = 2 (x 2 – 1) – x 3 · 2x= 4 – 3x 2 –2x 4=4 – 3x 2(x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2 (x 2 – 1) 2f'(x) = 0 8 x 4 – 3x 2 = 0 8 x 2 (x 2 – 3) = 0x = 0 8 (0, 0)x = –√ — 3 8 –√ — –3√3( 3,2 )x 2 – 3 = 0x = √ — 3 8 √ — 3√3( 3,2 )(4x – 3) (2 – x) – (2x 8x –4xc) f'(x) = 2 –3x) · (–1)= 2 – 6 + 3x + 2x 2 – 3x=(2 – x) 2 (2 – x) 2= –2x2 +8x – 6(2 – x) 2Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación25
f'(x) = 0 8 –2x 2 + 8x – 6 = 0 8 x 2 – 4x + 3 = 0–4 ± √16 – 12 4 ± √4 4 ± 2 x = 1 8 (1, –1)x = = = =22 2x = 3 8 (3, –9)2x · x – (x 2x xd) f'(x) = 2 + 1) · 1= 2 – x 2 –1=2 –1x 2 x 2 x 2f'(x) = 0 8 x 2 – 1 = 0x = –1 8 (–1, –2)x = 1 8 (1, 2)32 Averigua si en las siguientes funciones existen puntos en los que f'(x) = 0:2x – 36xa) f (x) = b) f (x) =x + 1x 2 + 1c) f (x) = ln (x + 1) d) f (x) = 10 – (x – 2) 4a) f'(x) =2(x + 1) – (2x – 3) · 1=2x + 2 – 2x + 3=5(x + 1) 2 (x + 1) 2 (x + 1) 2f'(x) ? 0 para cualquier valor <strong>de</strong> x.6(x 6x –6xb) f'(x) = 2 + 1) – 6x · 2x= 2 + 6 – 12x 2=2 + 6(x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2f'(x) = 0 8 –6x 2 + 6 = 0 8 x 2 = 1x = –1 8 (–1, –3)x = 1 8 (1, 3)1c) f'(x) = ? 0 para cualquier valor <strong>de</strong> x.x + 1d) f'(x) = –4 (x – 2) 3f'(x) = 0 8 x = 2 8 (2, 10)33 Las siguientes funciones tienen algún punto don<strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada no existe.Hállalos en cada caso:3a) f (x) = √x 2b) f (x) = √x + 2c) f (x) = √x 2 – 1d) f (x) =|x – 3|||4x – 5e) f (x) = f) f (x) =|x 2 – 2x|2a) f (x) = x 2/3 2; Dom f = Á 8 f'(x) = x –1/3 =323 3 √xf'(x) no existe si x = 0; es <strong>de</strong>cir, f (x) no es <strong>de</strong>rivable en x = 0.26Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
°¢£°¢£°¢£°¢£UNIDAD61b) f'(x) =2√x + 2f'(x) no existe si x = –2; el dominio <strong>de</strong> f (x) es [–2, +@).Por tanto, en los puntos en los que la función está <strong>de</strong>finida, no es <strong>de</strong>rivable enx = –2.c) El dominio <strong>de</strong> la función es (–@, –1] « [1, +@).f'(x) =2x=x2√x 2 – 1 √x 2 – 1En los puntos en los que f (x) está <strong>de</strong>finida, no es <strong>de</strong>rivable en x = –1, ni enx = 1.° –x + 3 si x < 3d) f (x) = ¢; f'(x) =£ x – 3 si x Ó 3°¢£–1 si x < 31 si x > 3f (x) es continua en Á; pero no es <strong>de</strong>rivable en x = 3, pues sus <strong>de</strong>rivadaslaterales no coinci<strong>de</strong>n:f'(3 – ) = –1f'(3 + ) = 1Son distintas.° –4x + 5 5§— si x < —2 4e) f (x) = ¢f'(x) =§4x – 5 5— si x Ó —£ 2 4–2 si x < 5/42 si x > 5/4f (x) es continua en Á; pero no es <strong>de</strong>rivable en x =laterales no coinci<strong>de</strong>n:°¢£5, pues sus <strong>de</strong>rivadas4f'(5/4 – ) = –2f'(5/4 + ) = 2Son distintas.° x 2 – 2x si x < 0° 2x – 2 si x < 0§§f) f (x) = ¢ –x 2 + 2x si 0 Ì x Ì 2 f'(x) = ¢ –2x + 2 si 0 < x < 2§§£ x 2 – 2x si x > 2£ 2x – 2 si x > 2f (x) es continua en Á; pero no es <strong>de</strong>rivable en x = 0, ni en x = 2, pues sus<strong>de</strong>rivadas laterales no coinci<strong>de</strong>n:f'(0 – ) = –2f'(0 + ) = 2Son distintas.f'(2 – ) = –2f'(2 + ) = 2Son distintas.Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación27
°¢£°¢°¢££34 Esta es la gráfica <strong>de</strong> una función y = f (x).Estudia su continuidad y su <strong>de</strong>rivabilidad.f (x) es continua en Á –{3}. En x = 3, presenta unadiscontinuidad <strong>de</strong> salto finito.2–2 2 4f (x) es <strong>de</strong>rivable en Á –{0, 3}. En x = 0 hay un punto anguloso (las <strong>de</strong>rivadaslaterales no coinci<strong>de</strong>n), en x = 3 no es continua, por tanto, no pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>rivable.35 Consi<strong>de</strong>ra esta función:° x 2 – 5x + m si x Ì 1f (x) = ¢£ –x 2 + nx si x > 1Calcula m y n para que f sea <strong>de</strong>rivable en todo Á.Continuidad:• Si x ? 1: f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funcionescontinuas.• En x = 1:lím f (x) = lím (x 2 – 5x + m) = –4 + mx 8 1 – x 8 1 –lím f (x) = lím (–x 2 + nx) = –1 + nx 8 1 + x 8 1 +f (1) = –4 + mPara que f (x) sea continua en x = 1, ha <strong>de</strong> ser – 4 + m = –1 + n.°§¢§£Derivabilidad:• Si x ? 1: f (x) es <strong>de</strong>rivable y su <strong>de</strong>rivada es:f'(x) =° 2x – 5 si x < 1¢£ –2x + n si x > 1• En x = 1: Para que f (x) sea <strong>de</strong>rivable en x = 1, las <strong>de</strong>rivadas laterales han<strong>de</strong> coincidir, es <strong>de</strong>cir:f'(1 – ) = –3f'(1 + ) = –2 + n–3 = –2 + nUniendo las dos condiciones anteriores tenemos que:–4 + m = –1 + n–3 = –2 + nm = n + 3n = –1m = 2n = –128Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD636 Estudia la continuidad y la <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> la función:° x 2 + 2x – 1 si x Ì 1f (x) = ¢£ x + 1 si x > 1¿Existe algún punto en el que f'(x) = 0?Represéntala gráficamente.Continuidad:• En x ? 1: La función es continua, pues está formada por dos polinomios.• En x = 1:lím f (x) = lím (x 2 + 2x – 1) = 2x 8 1 – x 8 1lím f (x) = f (1).x 8 1lím f (x) = lím (x + 1) = 2x 8 1 + x 8 1Por tanto, la función escontinua en x = 1.f (1) = 2La función es continua en todo Á.Derivabilidad:• Si x ? 1: La función es <strong>de</strong>rivable. A<strong>de</strong>más:° 2x + 2 si x < 1f'(x) = ¢£ 1 si x > 1• En x = 1:f'(1 – ) = 4 ? f'(1 + ) = 1La función no es <strong>de</strong>rivable en x = 1.Por tanto, la función es <strong>de</strong>rivable en Á – {1}.Puntos en los que f'(x) = 0:f'(x) = 2x + 2 si x < 12x + 2 = 0 8 x = –1f'(x) = 1 si x > 1 8 f'(x) ? 0 si x > 1Por tanto, la <strong>de</strong>rivada se anula en x = –1.Gráfica <strong>de</strong> f (x):°§¢§£1–1 1–1Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación29
37 Halla a y b para que la función f (x) sea continua:° 2x + a si x < –1§f (x) = ¢ ax + b si –1 Ì x < 0§£ 3x 2 + 2 si 0 Ì xPara los valores <strong>de</strong> a y b obtenidos, estudia la <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> f.• Si x ? –1 y x ? 0: La función es continua, pues está formada por polinomios.• En x = –1:lím f (x) = lím (2x + a) = –2 + ax 8 –1 – x 8 –1Para que sea continua, ha <strong>de</strong> serlím f (x) = lím (ax + b) = –a + b –2 + a = –a + b, es <strong>de</strong>cir:x 8 –1 + x 8 –1b = 2a – 2f (–1) = –a + b• En x = 0:lím f (x) = lím (ax + b) = bx 8 0 – x 8 0lím f (x) = lím (3x 2 + 2) = 2x 8 0 + x 8 0f (0) = 2Por tanto, f (x) será continua si a = 2 y b = 2.Para estos valores, queda:f (x) =° 2x + 2 si x < –1§¢ 2x + 2 si –1 Ì x < 0; es <strong>de</strong>cir:§£ 3x 2 + 2 si 0 Ì x°§¢§£°§¢§£Para que sea continua, ha <strong>de</strong> ser b = 2.f (x) =° 2x + 2 si x < 0¢£ 3x 2 + 2 si x Ó 0Derivabilidad:• Si x ? 0: Es <strong>de</strong>rivable. A<strong>de</strong>más:f'(x) =° 2 si x < 0¢£ 6x si x > 0• En x = 0:f'(0 – ) = 2 ? f'(0 + ) = 0La función no es <strong>de</strong>rivable en x = 0.Por tanto, es <strong>de</strong>rivable en Á – {0}.30Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD638 Calcula f'(0), siendo:ef (x) = lnx + e√ –x2x +1☛ Aplica las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los logaritmos antes <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivar.Hallamos f'(x) y <strong>de</strong>spués sustituimos en x = 0.1f (x) = [ln (e x + e –x ) – ln (2x + 1)]21f'(x) =e[ x – e –x–22 e 2x + 1 ]x + e –x1f'(0) = · (–2) = –1239 Halla la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente a las siguientes curvas en los puntosindicados:a) y = sen x cos x en x =b) y = x ln x en x = ex 2e xc) y = en x = 0 y x = 1d) y = e x2 – 1 en x = 1π4Debemos hallar la <strong>de</strong>rivada en los puntos indicados en cada caso:a) y' = cosx · cosx + senx (–senx) = cos 2 x – sen 2 xπ4√22√22y' ( ) = ( ) 2 – ( ) 2 = 01b) y' = 1 · ln x + x · = ln x + 1; y' (e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2x2xe 2x – xc) y' = x – x 2 · e x e= x (2x – x 2 )=2(e x ) 2 (e x ) 2 e xy' (0) = 0; y' (1) =1ed) y' = 2xe x2 – 1 ; y' (1) = 2Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación31
40 Estas gráficas representan las funciones <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las funciones f, g, h y j:–222f'2–22g'2h'2224j'a) ¿Cuáles <strong>de</strong> estas funciones tienen puntos <strong>de</strong> tangente horizontal?b) ¿Cuál <strong>de</strong> estas gráficas es la función <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> una función polinómica<strong>de</strong> primer grado?c) ¿Cuál <strong>de</strong> ellas correspon<strong>de</strong> a una función polinómica <strong>de</strong> segundo grado?a) Los puntos <strong>de</strong> tangente horizontal son los puntos en los que se anula la <strong>de</strong>rivada.f tiene un punto <strong>de</strong> tangente horizontal en x = –2, pues f'(–2) = 0.j tiene dos puntos <strong>de</strong> tangente horizontal en x = 1 y en x = 3, puesj'(1) = j'(3) = 0.g y h no tienen ningún punto <strong>de</strong> tangente horizontal.b) La <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> una función polinómica <strong>de</strong> primer grado es una función constante.Por tanto, es g'.c) La <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> una función polinómica <strong>de</strong> segundo grado es una función polinómica<strong>de</strong> primer grado. Por tanto, es f'.Página 165CUESTIONES TEÓRICASs41Una función polinómica <strong>de</strong> tercer grado, ¿cuántos puntos <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada nulapue<strong>de</strong> tener?¿Pue<strong>de</strong> tener uno o ninguno?La <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> una función polinómica <strong>de</strong> tercer grado es una función polinómica<strong>de</strong> segundo grado.Por tanto, pue<strong>de</strong> haber dos puntos, un punto, o ningún punto, con <strong>de</strong>rivada nula.Por ejemplo:f (x) = x 3 – 3x 8 f'(x) = 3x 2 x = 1– 3 = 0 Dos puntosx = –1f (x) = x 3 8 f'(x) = 3x 2 = 0 8 x = 0 8 Un puntof (x) = x 3 + 3x 8 f'(x) = 3x 2 + 3 ? 0 para todo x 8 Ninguno¢°£32Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD6s42Justifica que una función polinómica <strong>de</strong> segundo grado tiene siempre unpunto <strong>de</strong> tangente horizontal.Su <strong>de</strong>rivada es una función polinómica <strong>de</strong> primer grado, que se anula siempre enun punto.43 Si una función tiene un punto anguloso en x = a, ¿qué po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir <strong>de</strong>f'(a)?f'(a) no existe.44 Sea f una función <strong>de</strong> la que sabemos que:f'(2 – f(2 + h) – f(2)) = = –1 f'(2 + f(2 + h) – f(2)lím) = lím= 1h 8 0 – hh 8 0 + h¿Es f <strong>de</strong>rivable en x =2?No, pues las <strong>de</strong>rivadas laterales no coinci<strong>de</strong>n.45 La función f (x) = √x – 3 es continua en x =3 y f'(3) = +@. ¿Cómo es larecta tangente a f en x =3?Es una recta vertical.46 Prueba que la función f (x) = x + |x – 3| no es <strong>de</strong>rivable en x = 3.° x – x + 3 si x < 3f (x) = ¢=£ x + x – 3 si x Ó 3¢°£° 3 si x < 3¢£ 2x – 3 si x Ó 3f'(x) =° 0 si x < 3¢£ 2 si x > 3f'(3 – ) = 0 ? f'(3 + ) = 2. Por tanto, la función no es <strong>de</strong>rivable en x = 3.PARA PROFUNDIZAR47 ¿Cuáles <strong>de</strong> estas gráficasrepresentan la funciónf y su <strong>de</strong>rivada f'?Justifica tu respuesta.a) b)2222c)d)2222Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación33
°§¢§£a) La función en rojo es una recta que tiene pendiente 3. Por tanto, su <strong>de</strong>rivada esy = 3 (la recta ver<strong>de</strong>).Luego estas gráficas sí representan a una función y su <strong>de</strong>rivada.b) La función en rojo es un polinomio <strong>de</strong> 2.° grado, una parábola. Su <strong>de</strong>rivada esuna recta. En x = 0, la función tiene un máximo; la <strong>de</strong>rivada se anula. Paraque la recta fuera la <strong>de</strong>rivada, tendría que pasar por (0, 0).No representan, por tanto, a una función y su <strong>de</strong>rivada.c) La función tiene que ser un polinomio <strong>de</strong> 3. er grado porque tiene dos extremosrelativos. Su <strong>de</strong>rivada será un polinomio <strong>de</strong> 2.° grado, una parábola. En x = 1,la función tiene un máximo; la <strong>de</strong>rivada se anula, f'(1) = 0, y tendría quepasar por (1, 0).Estas tampoco representan a una función y su <strong>de</strong>rivada.d) La función en rojo es una recta <strong>de</strong> pendiente 0. Por tanto, su <strong>de</strong>rivada es y = 0,la recta en ver<strong>de</strong>.En este caso, las gráficas representan a una función y su <strong>de</strong>rivada.48 La función f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f'(1) = 0 yf''(1) = 0. Calcula a, b y c.f'(x) = 3x 2 + 2ax + b; f''(x) = 6x + 2af (1) = 1 8 1 + a + b + c = 1f'(1) = 0 8 3 + 2a + b = 0f''(1) = 0 8 6 + 2a = 0Por tanto: f (x) = x 3 – 3x 2 + 3xa = –3b = 3c = 02(x – 1) – 2x · 1 2x – 2 – 2xf'(x) = = =(x – 1) 2 (x – 1) 2 (x – 1) 2492xHalla los puntos <strong>de</strong> la función y =x – 1en los que la pendiente <strong>de</strong> la rectatangente es igual a –2.Buscamos los puntos en los que f'(x) = –2:f'(x) = –2 8–2= –2 8 –2 = –2(x – 1) 2(x – 1) 2 = 1 8 x 2 – 2x + 1 = 1 8 x 2 – 2x = 0 8 x (x – 2) = 0x = 0 8 (0, 0)x = 2 8 (2, 4)(x – 1) 2 –234Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
UNIDAD6Página 165AUTOEVALUACIÓN1. Halla la función <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las siguientes funciones:5xa) y = 3x √2x + 1b) y = c) y =√x(x +2) 2d) y =(1 – x1 + x2e) y = e 2x +1 xf) y = ln +132 3(2x + 1) + 3x 9x +3a) y' = 3 √2x + 1 + 3x = =2√ — 2x +1 √ — 2x +1 √ — 2x +11–5 · — 2√ x –5b) y' =x=2x √ — x(x +2) 2 – x · 2(x +2) x + 2 – 2x –x +2c) y' = = =(x + 2) 4 (x + 2) 3 (x + 2) 31 – x)–1(1 + x) – (1 – x) 1 – x)–2d) y' = 2 ( = 2 ( =1 + x (1 + x) 2 1 + x (1 + x) 2e) y' = 2e2x +1)—13 1 x +3f) y' = = : =x 3 3— + 131x + 3–4(1 – x)(1 + x) 3()2. Aplica la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivada para hallar f'(2) siendo f(x) = x 2 – 5x.f'(2) =límh 8 0f(2 + h) – f(2)h• f(2 + h) = (2 + h) 2 – 5(2 + h) = h 2 – h – 6• f(2) = 2 2 – 5 · 2 = –6• f(2 + h) – f(2) = h 2 – hf(2 + h) – f(2) h 2 – h• = = h – 1hhf'(2) = lím (h – 1) = –1h 8 0Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación35
3. Estudia la continuidad y la <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> esta función:° x 2 + 2x – 1 si x Ì 1§f(x) = ¢ 4§— si x > 1£ x +1¿Existe algún punto en el que f'(x) = 0?f(x) es continua si x < 1 y si x > 1, porque las funciones que la <strong>de</strong>finen lo son.Estudiamos la continuidad en x = 1.límx 8 1f(x)límx 8 1 –límx 8 1 +f(x) = lím (x 2 + 2x – 1) = 2x 8 1 –lím 4f(x) = x 8 1 + = 2x +1f(1) = 1 + 2 – 1 = 2Como lím f(x) = f(1) = 2, f es continua en x = 1.x 8 1Por tanto, f es continua en Á.° 2x + 2 si x < 1§Hallamos f'(x) = ¢ –4§— si x > 1£ (x +1) 2f es <strong>de</strong>rivable si x < 1 y si x > 1.Estudiamos su <strong>de</strong>rivabilidad en x = 1.f'(1 – ) = 2 · 1 + 2 = 4–4Como f'(1 – ) ? f'(1 + ), no existe f'(1).f'(1 + ) = — = –1(1 + 1) 2f es <strong>de</strong>rivable en Á – {1}.Veamos si f'(x) = 0 tiene solución:2x + 2 = 0 8 x = –1–4= 0 no tiene solución.(x +1) 2Por tanto, f'(x) = 0 cuando x = –1.¢§°£§4. Calcula a y b para que la siguiente función sea <strong>de</strong>rivable:° ax + b si x < 0f(x) = ¢£ x 2 – 3x + 2 si x Ó 0Representa la función para los valores <strong>de</strong> a y b que has hallado.Para que f sea <strong>de</strong>rivable en x = 0, <strong>de</strong>be ser continua en ese punto.36Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación
°§¢§£°¢£°¢£UNIDAD6límx 8 0f(x)lím (ax + b) = bx 8 0 –lím (x 2 – 3x + 2) = 2x 8 0 +Para que lím f(x) = f(0) = 2, <strong>de</strong>be ser b = 2.x 8 0Si b = 2, f es continua en Á.f'(x) =° a si x < 0¢£ 2x – 3 si x > 0Veamos si f es <strong>de</strong>rivable en x = 0:f'(0 – ) = af'(0 + ) = –3Para que exista f'(0), <strong>de</strong>be ser a = –3.YSi a = –3, f es <strong>de</strong>rivable en Á.f(x) =£°¢° –3x + 2 si x < 0¢£ x 2 – 3x + 2 si x Ó 011X5. ¿En qué puntos no es <strong>de</strong>rivable la función f(x) = |x 2 – 4x + 3|? Justifica turespuesta.Definimos la función por intervalos. Para ello, hacemos:x 2 – 4x + 3 = 0 8 x =4 ± √16 – 122x = 1x = 3° x 2 – 4x + 3 si x Ì 1§f(x) = ¢ –x 2 + 4x – 3 si 1 < x < 3§£ x 2 – 4x + 3 si x Ó 3Hallamos f'(x):° 2x – 4 si x < 1§f'(x) = ¢ –2x + 4 si 1 < x < 3§£ 2x – 4 si x > 3Estudiamos la <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> f en x = 1 y en x = 3:f'(1 – ) = 2 · 1 – 4 = –2f'(1 + ) = –2 · 1 + 4 = 2Como f'(1 – ) ? f'(1 + ), no existe f'(1).f'(3 – ) = –2 · 3 + 4 = –2f'(3 + ) = 2 · 3 – 4 = 2Como f'(3 – ) ? f'(3 + ), no existe f'(3).f no es <strong>de</strong>rivable ni en x = 1, ni en x = 3.Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación37
6. Observando la gráfica <strong>de</strong> esta función f, estudia su <strong>de</strong>rivabilidad. Halla, siexisten, f'(–4), f'(0), f'(3).22• f es discontinua en x = 1. Por tanto, no es <strong>de</strong>rivable en x = 1.En x = –2 observamos que f'(–2 – ) ? f'(–2 + ): tampoco es <strong>de</strong>rivable.Luego f es <strong>de</strong>rivable en Á – {–2, 1}.• f'(–4) = 0 porque en ese punto la función es constante.f'(0) = 0 porque en x = 0 la tangente es horizontal.f'(3) = –1 porque –1 es la pendiente <strong>de</strong> la recta que pasa por (1, 2) y (3, 0):2 – 0m = = –11 – 338Unidad 6. <strong>Derivadas</strong>. <strong>Técnicas</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación