Problemas actuales de la Geodesia fÃÂsica
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<strong>Problemas</strong> <strong>actuales</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> Geo<strong>de</strong>sia físicaPOR FERNANDO SANSOConferencia pronunciada el 4 <strong>de</strong> febrero <strong>de</strong> 1987(*)Instituto <strong>de</strong> Topografìa, Fotogrametría y Geo<strong>de</strong>sia <strong>de</strong> MilánLa Geo<strong>de</strong>sia es una Ciencia muy antigua que, en el sentido mo<strong>de</strong>rno(Newton) aparece junto con <strong>la</strong> Mecánica, <strong>la</strong> Astronomía y <strong>la</strong> Teoría <strong>de</strong>l Potencial.De los problemas <strong>de</strong> <strong>la</strong> Geo<strong>de</strong>sia se han ocupado científicos tan ilustrescomo Huygens, C<strong>la</strong>irant, Legendre, Poisson, Lap<strong>la</strong>ce, Gauss, etc.El objeto <strong>de</strong> <strong>la</strong> Geo<strong>de</strong>sia es <strong>la</strong> <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma <strong>de</strong> <strong>la</strong> Tierra, <strong>de</strong>su campo <strong>de</strong> gravedad y <strong>de</strong> sus variaciones temporales. Sobre <strong>la</strong> base <strong>de</strong> <strong>la</strong>metodología empleada, <strong>la</strong> c<strong>la</strong>sificación actual <strong>de</strong> <strong>la</strong> Geo<strong>de</strong>sia es <strong>la</strong> siguiente:1. Geo<strong>de</strong>sia fisica. Que incluye y utiliza <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong>l potencial, teoria <strong>de</strong><strong>la</strong> aproximación, problemas <strong>de</strong> contorno, procesos estocásticos y MecánicaCeleste.2. Geo<strong>de</strong>sia geométrica. Con el cálculo diferencial exterior, teoría <strong>de</strong>errores y Estadística, teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> representación, Re<strong>la</strong>tividad general.3. Geo<strong>de</strong>sia dinámica. También l<strong>la</strong>mada Geodinámica, en <strong>la</strong> que interviene<strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong> e<strong>la</strong>sticidad, mecánica <strong>de</strong> medios continuos, dinámica <strong>de</strong>rotación y análisis <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones.4. Geo<strong>de</strong>sia computacional. Incluyendo <strong>la</strong> Informática para <strong>la</strong> gestión <strong>de</strong>bancos <strong>de</strong> datos, resolución <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>s sistemas <strong>de</strong> ecuaciones lineales, filtrosnuméricos y transformada <strong>de</strong> Fourier.Las i<strong>de</strong>as básicas que cabe <strong>de</strong>stacar en Geo<strong>de</strong>sia son, por una parte <strong>la</strong>cuantificación <strong>de</strong> métodos (por ejemplo en <strong>la</strong> estimación simultánea <strong>de</strong> campo<strong>de</strong> gravedad y <strong>de</strong> <strong>la</strong> posición <strong>de</strong> puntos) y por otra el paso <strong>de</strong>l continuo al discretoy viceversa (por ejemplo <strong>la</strong> discretización <strong>de</strong> los problemas <strong>de</strong> contornoy el estudio <strong>de</strong> re<strong>de</strong>s continuas).Los factores que han intervenido en el <strong>de</strong>sarrollo mo<strong>de</strong>rno <strong>de</strong> <strong>la</strong> Geo<strong>de</strong>siaen los últimos treinta años, po<strong>de</strong>mos c<strong>la</strong>sificarlos en los tres bloques siguientes:a) Desarrollo <strong>de</strong> los instrumentos <strong>de</strong> medidaEste <strong>de</strong>sarrollo ha sido tal que hoy en día, con respecto a los instrumentosclásicos, disponemos <strong>de</strong> precisiones re<strong>la</strong>tivas <strong>de</strong> IO" 6 en medidas distandociResumen <strong>de</strong> <strong>la</strong> conferencia redactado por los profesores Miguel Sevil<strong>la</strong> y Jesús Otero, <strong>de</strong> <strong>la</strong>Universidad Complutense.
440 FERNANDO SANSOmétricas, <strong>de</strong> IO" 4 en medidas <strong>de</strong>l tiempo y <strong>de</strong> 10~ 9 en medidas gravimétricas.En re<strong>la</strong>ción con los instrumentos <strong>de</strong> medida espaciales el avance ha sido consi<strong>de</strong>rable(10~ 8 ) gracias a <strong>la</strong>s mo<strong>de</strong>rnas técnicas <strong>de</strong> seguimiento <strong>de</strong> satélitesartificiales <strong>de</strong>s<strong>de</strong> tierra, seguimiento satélite a satélite y radiointerferometría<strong>de</strong> muy <strong>la</strong>rga base.b) Desarrollo <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoríaLos estudios teóricos en Geo<strong>de</strong>sia se han visto fortalecidos gracias a <strong>la</strong>saplicaciones <strong>de</strong>l Análisis funcional, <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> procesos estocásticos, <strong>de</strong> <strong>la</strong>Mecánica <strong>de</strong> medios continuos y <strong>de</strong> <strong>la</strong> Estadística en general.c) Desarrollo <strong>de</strong> los medios <strong>de</strong> calculo y tratamiento <strong>de</strong> datosEl gran <strong>de</strong>sarrollo experimentado en potentes or<strong>de</strong>nadores permite tratar<strong>la</strong> gran cantidad <strong>de</strong> datos generados con los últimos avances <strong>de</strong> <strong>la</strong>s técnicas<strong>de</strong> medida, particu<strong>la</strong>rmente con el advenimiento <strong>de</strong> los satélites artificiales.Entre estos datos geodésicos <strong>de</strong>stacamos los siguientes:- Datos <strong>de</strong> altimetria por radar.- Datos proporcionados por técnicas Doppler o GPS para posicionamiento<strong>de</strong> puntos.- Gran aumento <strong>de</strong> observaciones gravimétricas.- Gran cantidad <strong>de</strong> observaciones <strong>de</strong> seguimiento <strong>de</strong> satélites con implicacionestanto en Geo<strong>de</strong>sia como en Geodinámica (posicionamientopreciso <strong>de</strong> puntos y sus variaciones en el tiempo) y en <strong>la</strong> Geofísica(datos sobre el potencial anómalo).- Posibilidad <strong>de</strong> adquisición <strong>de</strong> un gran número <strong>de</strong> datos sobre el campoanómalo en áreas todavía sin medidas o inaccesibles, por medio <strong>de</strong>gradiometría.- Finalmente, disponibilidad <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>s bancos <strong>de</strong> datos con mo<strong>de</strong>losdigitales <strong>de</strong> altitu<strong>de</strong>s y <strong>de</strong> batimetría.El crecimiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> datos disponibles producido por <strong>la</strong>mo<strong>de</strong>rna tecnología, hace que el paso <strong>de</strong> una <strong>de</strong>scripción discreta a una continuaen <strong>la</strong> forma <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> contorno haya crecido en número e importancia.Los principales problemas <strong>de</strong> contorno consi<strong>de</strong>rados en Geo<strong>de</strong>sia física,pue<strong>de</strong>n ser divididos en estáticos y cinemáticos, <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> si en su formu<strong>la</strong>ciónse consi<strong>de</strong>ran variaciones temporales (<strong>de</strong> <strong>la</strong> posición <strong>de</strong> <strong>la</strong>s estaciones<strong>de</strong> observación y <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> gravedad) o no. A su vez cada uno <strong>de</strong>estos problemas pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rarse en forma estocastica o <strong>de</strong>terminista; en elprimero <strong>de</strong> los casos se consi<strong>de</strong>ra <strong>la</strong> presencia inevitable <strong>de</strong> los errores <strong>de</strong>observación. En <strong>la</strong> figura 1 se muestra esta c<strong>la</strong>sificación general <strong>de</strong> los problemas<strong>de</strong> contorno <strong>de</strong> <strong>la</strong> geo<strong>de</strong>sia, indicando a<strong>de</strong>más para cada una <strong>de</strong> <strong>la</strong>sdiferentes formu<strong>la</strong>ciones -no lineal, lineal, aproximación esférica y contornoesférico- el estado actual <strong>de</strong> su investigación.
PROBLEMAS ACTUALES DE LA GEODESIA FISICA 441PROBLEMAS DE CONTORNOESTÁTICOSCINEMÁTICOSESTOCASTICOS DETERMINISTAS ESTOCASTICOS DETERMINISTASNo linealFrontera libreLinealizado1—I = estudiadoFigura 1.(?)Por lo que respecta a los problemas <strong>de</strong> contorno estáticos, distingamoslos l<strong>la</strong>mados gravimetrico (vectorial, esca<strong>la</strong>r y <strong>de</strong> frontera fija) y los problemas<strong>de</strong> altimetría-gravimetría (I y II). A continuación indicamos en formaesquemática cuáles son los datos y <strong>la</strong>s incógnitas <strong>de</strong> estos problemas.PROBLEMAGravimetrico vectorialGravimetrico esca<strong>la</strong>rGravimetrico contorno fijoAltimetria -gravimetría IAltimetria -gravimetría IIDATOS£lftW|s. C, ¿, g, wS,g\ ssobre el mar: S, wsobre tierra: g, wsobre el mar: S, gsobre tierra: g, wINCOGNITASS, wenn :S (h (C, X)), w en Ciw en Qs sobre tierraw en Ciw en CiS sobre tierradon<strong>de</strong> hemos empleado <strong>la</strong> notación: S : superficie <strong>de</strong> <strong>la</strong> Tierra,Ci : exterior a <strong>la</strong> Tierra,w : potencial gravífíco terrestre,g : vector gravedad,g= \g\ : módulo <strong>de</strong>l vector gravedad,C, Ã : coor<strong>de</strong>nadas elipsoídicas <strong>la</strong>titud y longitud,h : altitud elipsoídica.
442 FERNANDO SANSOLos problemas abiertos en el estudio <strong>de</strong> los problemas geodésicos <strong>de</strong> contornoson, a gran<strong>de</strong>s rasgos, los siguientes:a) Análisis <strong>de</strong> existencia, unicidad y estabilidad <strong>de</strong> solución bajo condicionesrealistas: espacios <strong>de</strong> funciones con <strong>de</strong>rivadas segundas noacotadas, S con puntos <strong>de</strong> cono y aristas.b) Evaluación <strong>de</strong> <strong>la</strong> contribución <strong>de</strong>bida a <strong>la</strong> no linealidad.c) Estudio <strong>de</strong> técnicas eficientes <strong>de</strong> resolución numérica directa <strong>de</strong> problemas<strong>de</strong> contorno más complejos.El estudio <strong>de</strong> problemas estocásticos en geo<strong>de</strong>sia es muy reciente y sebasa en <strong>de</strong>scribir el error <strong>de</strong> observación por medio <strong>de</strong> un campo <strong>de</strong> medida<strong>de</strong> Wiener sobre el bor<strong>de</strong>, pudiendo así <strong>de</strong>finir problemas <strong>de</strong> contorno lineales,también en los casos sobre<strong>de</strong>terminados. El problema abierto, comovemos en <strong>la</strong> figura 1, es generalizar este procedimiento al caso no lineal.Termina esta conferencia hab<strong>la</strong>ndo brevemente <strong>de</strong> <strong>la</strong> formu<strong>la</strong>ción matemática<strong>de</strong> problemas que combinan diversos tipos <strong>de</strong> datos sobre el contornoy sobre el dominio <strong>de</strong> armonicidad (problemas mal propuestos). La manera<strong>de</strong> estudiar correctamente este tipo <strong>de</strong> problemas es mediante colocaciónque es una técnica <strong>de</strong> aproximación <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> los procesos estocásticos, yen don<strong>de</strong> <strong>la</strong> solución es <strong>de</strong>l tipo Tychonof con una elección <strong>de</strong> <strong>la</strong> norma <strong>de</strong>estabilización mediante <strong>la</strong> función <strong>de</strong> covarianza.La fórmu<strong>la</strong> clásica para <strong>la</strong> estimación <strong>de</strong>l potencial anómalo en un puntoP mediante colocación esT (P) = ï., i, kk L¡C (P, P¡) {LiL k C (P h Pò + rtd íw } (L L T (P*))C (P, Q) = E {T (P) T (Q)}don<strong>de</strong> C es <strong>la</strong> función covarianza. La media se <strong>de</strong>fine <strong>de</strong> tal modo que serefiere a un proceso isótropo, mediante una distribución uniforme sobre elgrupo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s rotaciones.Los problemas abierto en co<strong>la</strong>ción son:a) Dar una <strong>de</strong>finición coherente <strong>de</strong> <strong>la</strong> estimación empírica <strong>de</strong> <strong>la</strong> función<strong>de</strong> covarianza.b) Estudiar el problema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convergencia cuando JV-»oo, a v -»0.c) Incluir en <strong>la</strong> teoría <strong>la</strong>s correcciones <strong>de</strong> tipo topográfico y geológicoconsi<strong>de</strong>rando también el DEM y como procesos estocásticos.d) Estabilizar numéricamente <strong>la</strong> solución cuando <strong>la</strong> distancia entre lospuntos disminuye.e) Encontrar fórmu<strong>la</strong>s aproximadas para el caso en que N sea muyelevado.f) Integrar el tratamiento <strong>de</strong>l campo con <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s correcciones<strong>de</strong> <strong>la</strong>s órbitas <strong>de</strong> los satélites en modo computacional.