componentes - UN Virtual

Generalización para funciones de n variablesEste resultado se puede generalizar en forma natural para campos escalares decada variable depende de otras m (no necesariamente igual a n) variables, así:nR a R dondeSea f: R n → Rx x , K , x → z = f x , x , ,diferenciable en un conjunto abiertosi x = X ( t , , )1 1 1K t m( t , )x ,2= X2 1K t m…………………….nn( t , t )x = X ,tales que existan1 Km∂ X∂ tik( ) ( )1,2 n 1 2K x nnA ⊆ R; para todo k = 1,K,n , para todo i = 1,2,K,m entonces z se puedeconsiderar como una función de t ; K 1,t m, es decirz f ( x , , x )= f X t K , t , X t , K,t , K,X t , , t = g ( t , , ) y se tiene que:K [ ( ) ( ) ( ) ]1 1 1,m 2 1 mn 1Km=nK 1t m∂∂ ti∂ g=∂ ti∂ f=∂ x∂ X∂ t∂ f+∂ x∂ X∂ tz12+ K +∂∂∂ X∂ t1 i2 in ifxn∀i = 1,2,K,m=∂∂donde las funcionesfx∂ Xnk∑k = 1 k∂ ti∂∂fx kestán calculadas en ( X ( t K , t ) , K,X ( t , , t ))1 1,mn 1Km

EJEMPLO 6.1. 3. Regla de la cadena y ecuaciones diferencialesDemuestre que z = f (x + a t ) satisface la ecuación diferencial:∂ z ∂ z= a∂ t ∂ xz = f ( α ) con α = Α( x , t) = x + at∂ z ⎛ ∂ f ⎞ ∂ Α ⎛ ∂ f ⎞=⎜ ( x + at) ⎟ =⎜ ( x + at) ⎟ 1∂ x ⎝ ∂α⎠ ∂ x ⎝ ∂α⎠∂ z∂ t⇒⎛ ∂ f=⎜⎝ ∂α∂ z= a∂ t⎞ ∂ Α⎟⎠ ∂ t⎛ ∂ f⎜⎝ ∂α⎞⎟⎠( x + at) ⎟ = ⎜ ( x + at) ⎟ a∂∂zx

EJEMPLO 6.1. 4. Paso a coordenadas polares de la ecuación de Laplace en dos variables.La ecuación diferencial parcial:22∂ u ∂ u+ = 022∂ x ∂ y= .Veamos en que se convierte esta ecuación si hacemos transformación a coordenadas polares, esdecir, si hacemosse llama ecuación de Laplace en el plano, donde u es una función en variables x , y u f ( x,y)= X ( r , θ ) r Cos θy = Y ( r , θ ) = r Sen θx =Con este cambio, u se puede considerar como una función en variablesu = f r Cos θ , r Sen θ = g r , θ( ) ( )r , θ, es decir,∂ X∂ r= Cos θ∂ X= − r∂θSen θ∂Y∂ r=Sen θ∂Y= r∂θCos θ∂ u∂ r=∂ u∂ x∂ X∂ r+∂ u∂ y∂Y∂ r∂ u= Cos θ∂ x+∂ uSen θ∂ y∂ u=∂θ∂ u ∂ X+∂ x ∂θ∂ u∂ y∂Y∂θ= − rSen θ∂ u∂ x+r∂ uCos θ∂ y∂ u ∂ uResolviendo este sistema de ecuaciones para las variables y∂ x ∂ y∂ uSen θ∂ r∂ u∂ u ∂ ur Cos θ r Cos θ − Sen θ∂ u ∂θ∂ r ∂θ∂ u 1=== Cos θ −22∂ x Cos θ Sen θ r os θ + r Sen θ∂ r r− r Sen θ r Cos θtenemos:∂ uSen θ∂θ

uSenuCosrruSenrruCosyu∂∂+∂∂=∂∂−∂∂=∂∂θθθθθθ1Tenemos entonces que:( )θθθθ∂∂−∂∂==∂∂uSenrruCosrgxu 1,1( )ruSenuCosrrgyu∂∂+∂∂==∂∂θθθθ1,2dondey( yxRr ,= ) )( yxH ,=θ dadas por : (despejando r y θ en θCosrx = ySen θry =xytgArcyxr =+= θ22θCosyxxxr=+=∂∂22Sen θyxyyr=+=∂∂22rSenyxyxθθ−=+−=∂∂22rCosyxxyθθ=+=∂∂22xgxrrgxgxu∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂=∂∂θθ11122+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂−∂∂= θθθθθθCosuSenrruSenrruCos 222211⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−∂∂−∂∂∂+rSenuSenruCosrruSenruCosθθθθθθθθ 22211θθθθθθθ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=uCossenrruSenruSenrruCos 222222222 211ruCosSenr∂∂∂−θθθ22

2∂ u2∂ y∂ g2=∂ y⎛⎜−⎝∂ g2=∂ r12r∂ r∂ y∂ uCosθ+∂θ∂ g2∂θ+∂θ∂ y221 ∂ u ∂ uCosθ+ Senθr ∂ r∂θ∂ r=2⎟ ⎞⎠Senθ22⎛ 1 ∂ u 1 ∂ u ∂ u ∂ uCosθSenθSenθCosθr θ r θ θ r r ⎟ ⎞+⎜−++2⎝ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎠222 ∂ u 1 2 ∂ u 1 2 ∂ u= Sen θ + Cos θ + Cos θ2 22∂ r r ∂θr ∂ r−22r∂ uSenθCosθ+∂θ22∂ uSenθCosθr∂ r ∂θCosθr2 2∂ u ∂ uReemplazando estos resultados en la ecuación de Laplace + = 0 tenemos2 2∂ x ∂ y222 2 θ u 1 22 ∂ u 1 22 ∂ u( Cos θ + Sen θ ) + ( Cos θ + Sen θ ) + ( Sen θ + Cos θ ) + 0 = 02 22∂ rr2∂ u⇒2∂ r∂θ1+2rr2∂ u2∂θ1 ∂ u+r ∂ rque es la Ecuación de Laplace en el plano xy llevada a coordenadas polares.= 0∂ r

EJEMPLO 6.1.5. Paso a coordenadas cilíndricas de la ecuación de Laplace en tres variables.Con los mismos resultados obtenidos, y dejando a z sin ningún cambio, resulta obvio que laEcuación de Laplace en el espacio:se convierte en:2∂ u2∂ x+2∂ u2∂ y+2∂ u2∂ z= 02∂ u2∂ r+12r2∂ u2∂θ+1r∂ u∂ r+2∂ u2∂ z= 0si se hace la transformación a coordenadas cilíndricas, es decir si se hace x = r Cosθ,y = r Senθ , z = z con r > 0,θ ∈ [ 0, 2π],z ∈ R . Es decir, en un punto P(x, y, z), se deja zcomo está, y su proyección sobre el plano xy se representa en coordenadas polares. (Figura 6.1.1)Figura 6.1.1

En el siguiente ejemplo vamos a apreciar en que se convierte la Ecuación de Laplace en el espacioal pasar los puntos (x, y, z) al sistema de coordenadas esféricas. Recordemos primero en queconsisten estas coordenadas:Observando la Figura 6.1.2, podemos apreciar que el punto P = ( x,y , z)queda totalmentedeterminado por tres número reales: ρ , θ , φ donde ρ es la distancia del origen del punto P, θes el ángulo, en el sentido que se indica en la figura, que forma el eje positivo de las x con laproyección sobre el plano xy del segmento que une al origen con el punto P, y φ es el ángulo, enel sentido que se indica en la figura, que forma el eje positivo de las z con el segmento que va delorigen al punto P. Para tomar todos los puntos del espacio es evidente queρ 0,φ ∈ 0,π θ ∈ 0, 2π≥ [ ). [ ]Figura 6.1.2Cómo están relacionados ρ , θ , φ con x, y, z ? De la Figura 6.1.2 se puede apreciar que:xyCos θ = ⇒ x = L Cosθ Sen θ = ⇒ y = L SenθLLLpero: Sen φ = ⇒ L = ρ Senφρ

zCos φ = ρ⇒ z = ρ Cosφpor tanto:x = ρ Cos θ Sen φy = ρ Sen θ Sen φz = ρ Cos φ

EJEMPLO 6.1.6. Paso a coordenadas esféricas de la ecuación de Laplace en tres variables.Veamos en que se convierte la ecuación de Laplace en el espacio:2∂ u2∂ x+2∂ u2∂ y+2∂ u2∂ z= 0si hacemos transformación a coordenadas esféricas, es decir x = ρ CosθSenφy = ρ Sen θ Senφ,z = ρ Cosφcon ρ ≥ 0,θ ∈ [ 0,2π),φ ∈ [ 0,π ] u = f ( x,y , z), se puedeconsiderar como una función en variables ρ , θ , φ , así:u = f ( ρ Cos θ Sen φ , ρ Sen θ Sen φ , ρ Cos φ ) = g ( ρ , θ , φ)y ρ , θ , φ dependen de x, y, z pormedio de las ecuaciones2 2 2ρ = x + y + z pues2 2 2 2 2 22 2 22 2 2x + y + z = ρ Cos θ Sen φ + ρ Sen θ Sen φ + ρ Cos φ = ρy ρ Sen θ Senφθ = Arctag y x pues == Tagθx ρ Cos θ Senφzzφ = Arc Cospues Cos φ = .2 2 2x + y + zρAsí derivando ρ , θ , φ respecto a x, y, z y haciendo en estas derivadas parcialesx = ρ CosθSen φ, y = ρ Sen θ Sen φ z = ρ Cos φ tenemos:∂ ρCos θ Sen φ∂ x =∂ ρ∂ y =Sen θ Sen φ∂ ρCos φ∂ z =∂θ= −∂ xSen θρ Sen φ∂θ∂ y =Cos θρ Sen φ∂θ= 0∂ z∂φ∂ x =Cos θ Cos φρ∂φ∂ y =Sen θ Cos φρ∂φ Sen φ∂ z = ρ∂ u∂ x∂ u ∂ρ∂ u ∂θ∂ u ∂φ= + +∂ ρ ∂ x ∂θ∂ x ∂φ∂ x∂ u∂ u Sen θ= Cos θ Sen φ −+∂ρ∂θρ Sen φ∂ u Cos θ Cos φ∂φρ

yuyuyuyu∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂φφθθρρρφθφφρθθφθρCosSenuSenCosuSenSenu∂∂+∂∂+∂∂=zuzuzuzu∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂φφθθρρρφφφρSenuCosu∂∂−+∂∂= 0xxuxxuxxuxu∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂φφθθρρ22⎜⎜⎝⎛∂∂∂−∂∂+∂∂=θρφρθφρθθρφθuSenSenSenSenuuSenCos2222φθφρρφθρφθφSenCosuCosCosCosCosu⎟⎟⎠⎞∂∂∂+∂∂−22ρθφθφθρ∂∂∂⎜⎝⎛+∂∂−+uSenCosSenSenu222θφρθφρθθ∂∂−∂∂−uSenSenSenCosu⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠⎞∂∂∂+∂∂−φρθφθρφθρφθφSenSenuCosCosCosSenu2⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+φρφθθρφφθφθρ22SenCosSenuuSenCosCosCosuρφθφρφθρφθφθφφρθCosCosuCosCosSenCosuuSenSen⎟⎟⎠⎞∂∂+∂∂−∂∂∂− 222En forma análoga y usando las expresiones obtenidas al iniciar este ejemplo se hallan los siguientesresultados:yyuyyuyyuyu∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂φφθθρρ22yzzuzzuzzuzu∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂φφθθρρ22

2 22∂ u ∂ u ∂ uEstos resultados encontrados , y2 22∂ x ∂ y ∂ zse reemplazan en la ecuación de Laplace2 2 2∂ u ∂ u ∂ u+ + = 0 y luego de simplificar se obtiene:2 2 2∂ x ∂ y ∂ z2∂ u2∂ρ+2ρ1Sen22∂ u2φ ∂θ+12ρ2∂ u2∂φ+2 ∂ u+ρ ∂ρCosφ∂ u= 02ρ Senφ∂φque se puede agrupar (utilizando derivadas de productos) en la conocida expresión que representala ecuación de Laplace en el espacio en coordenadas esféricas:1ρ∂ ⎛∂ρ⎝∂ u ⎞∂ρ⎠1 ∂ ⎛ ∂ u ⎞⎜ Senφ⎟ +2ρ Senφ∂φ⎝ ∂φ⎠12ρ Sen∂ uφ ∂θ22⎜ ρ ⎟ +=2 2 20NOTA. Como una aplicación de la Regla de la Cadena, como se había anunciado en el capítulo 4,se puede demostrar el Teorema 4.1. La demostración de este Teorema puede apreciar en el siguientevínculo: Demostración del Teorema 4.1

6.2 DERIVACIÓN IMPLÍCITAToda ecuación en tres variables (x, y, z), se puede expresar de la forma F(x, y, z) = 0, por ejemplox 2 + y 2 + z 2 + 9 = 0,x 2 + y 2 - z = 0,x 2 + y 2 - z 2 = 0,x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0.Gráficamente cuando la solución no es vacía, los puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuación deeste tipo, representan un conjunto de puntos en el espacio (una superficie en R 3 ), los cuales definenuna función o una relación no funcional, así por ejemplo la ecuación x 2 + y 2 + z 2 + 9 = 0 no tienesolución y por tanto no representa ningún punto en el espacio; la ecuación x 2 + y 2 - z = 0representa un paraboloide con vértice en el origen, abierto hacia arriba (en la dirección del eje zpositivo) y es la gráfica de una función; la ecuación x 2 + y 2 - z 2 = 0, representa las dos hojas de uncono circular recto con vértice en el origen, eje de simetría el eje z, que no es función y la ecuaciónx 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0 representa una esfera con centro en el origen y radio 3 que tampoco es unafunción.Cuando la expresión F(x, y, z) = 0 representa una función entonces a cada punto (x, y) correspondeun único valor de z, es decir “z” se puede expresar en la forma z = f (x, y) y así F(x, y, f (x, y)) = 0para todo (x, y) ∈ D f y en este caso se dice que la función f (x, y) está definida en forma explícita oque F(x, y, z) = 0 define explícitamente a la función z = f(x, y).Cuando la ecuación F(x, y, z) = 0 representa en el espacio una superficie que no es una relaciónfuncional es posible subdividir dicha superficie en “retazos” que representan funciones f i con i∈I (noconsiderando, si es el caso, en la superficie original los sectores de la misma completamenteverticales), como se puede apreciar en la Figura 6.2.1 en la cual la superficie que representa F(x, y,z) = 0 que no es una función se subdivide en 8 funciones f 1 , f 2 , f 3 , . . . , f 8 . (Observe que lasubdivisión habría podido ser en sólo cuatro funciones o en más si a su vez cada una de las f i sehubiese subdividido).

FIGURA 6.2.1Es evidente que si algún punto P = (x ,y ,z) satisface la ecuación F(x, y, z) = 0 entonces, salvo casosexcepcionales, este punto esta sobre la gráfica de alguna de estas funciones z = f i (x, y) para algúncon i∈I. En casos como estos se dice que las funciones f i con i∈I están definidas implícitamente porla ecuación F(x,y,z)=0.Observe que, en la mayoría de los casos, no es sencillo hallar estas funciones f i con i∈I a partir deF(x, y, z) = 0. Si la superficie que representa F(x, y, z) = 0 es “suave” (no tiene picos, asperezas,arrugas y es continua); dado un punto (a, b, c) sobre la superficie, es posible hallar el plano tangentea ella en este punto, pero ¿cómo se halla el vector normal a este plano?, si se supone que el puntoestá sobre el “retazo” correspondiente a la función f k (x,y) (k fijo), este vector normal estará dado por⎛ ∂ fk∂ fk( , ), ( , ), 1⎟ ⎞⎜ a b a b − , pero como en general no es posible hallar esta función f k (x,y), es⎝ ∂ x ∂ y ⎠necesario encontrar una forma de hallar este vector normal a partir de la ecuación F(x, y, z) = 0. El∂ z ∂ zmétodo para ello consiste en encontrar expresiones para , que dependen de “x”, “y”, “z” de∂ x ∂ ytal forma que al remplazar (x, y, z) en estas expresiones por cualquier punto (a, b, c) que satisfaga laecuación F(x, y, z) = 0, los números resultantes, junto con -1, representen este vector normal al

plano tangente en dicho punto.∂ zPara hallar la expresión es necesario tener en cuenta que para un punto (x, y), “z” representa∂ xuna de las funciones f i (x, y) con i∈I (z = f i (x, y) ) sin conocerla, por tanto al derivar la expresión F(x,y, z) = 0 con respecto a x, se debe tener en cuenta que donde aparezca “z” esta se debe tratar como∂ zuna función de x, y, luego necesariamente en la expresión derivada aparecerá en términos de∂ x∂ z“x”, “y”, “z”, la cual se puede despejar. En forma análoga se halla la expresión .∂ y

EJEMPLO 6.2.1. Ilustración del concepto de derivada implícita2 2 2La expresión f (x, y, z) = 0 donde f ( x,y , z ) = 2x+ y + 4z− 9 , es decir2 2 22x+ y + 4z− 9 = 0 representa un elipsoide con centro en el origen.Esta superficie evidentemente no representa una función pues para cada punto en el interior de su2 2dominio, es decir en el interior de la elipse 2x+ y = 9 corresponden dos valores. Pero si sólo seconsidera la parte superior del elipsoide, o sólo su parte inferior, cada una de ellas sí representa una2 2 2función, es decir la expresión 2x+ y + 4z− 9 = 0 sin ser una función define implícitamenteestas dos funciones. Así por ejemplo al punto (x,y) = (1,2) que está en el interior de la2 233elipse 2x+ y = 9 le corresponden los valores z = y z = − que se obtienen al222 2 2reemplazar x = 1 y = 2 en la ecuación 2x+ y + 4z= 9 .El punto ( 1 , 2, 3 2 ) está ubicado en la parte superior del elipsoide y ( 1,2,− 3 2 ) en su parteinferior.Es claro que existen las derivadas parciales de estas dos funciones en los puntos ( 1 ,2, 3 2 ) y( 1,2, − 3 2 ) respectivamente. Para hallarlas podríamos trabajar por separado las dos funcionespues en este caso es posible conocerlas explícitamente despejando z en la expresiónf ( x, y , z ) = 0, obteniendo12 212 2z = 9 − 2 x − y y z = − 9−2 x − y22pero en general no es posible en esas expresiones despejar la variable z , es decir no es posiblemostrar explícitamente las ecuaciones que determinan las funciones que la expresión defineimplícitamente.Por tanto para hallar las derivadas parciales se debe trabajar sobre la expresión F ( x, y , z ) = 0pensando siempre en que z es una función de x,y como si se hubiese despejado, pero sin∂ z2 2 2conocerla. Así para hallar , se deriva respecto a x la expresión 2 x + y + 4 z − 9 = 0∂ xd zes decir 4 x + 0 + 8 z − 0 = 0d x2observe que al derivar 4z , se trato z como función de x,y y se utilizó la regla de la cadena.∂ z 4 x xpor tanto = − = −∂ x 8 z 2 zpara cualquier función z, que esté definida implícitamente por esta expresión.∂ zPero si lo que se desea es hallar ( 1,2,− 3 2 ) se entiende que nos estamos refiriendo a la∂ xfunción parte inferior del elipsoide que es la que contiene este punto y no a la superior, pero en el

proceso no se tiene en cuenta eso, sólo al final se reemplazan x, y, z por 1,2, − 3 2∂ zrespectivamente y esa será su derivada es decir ( 1,2,− 3 2 ) = − 1 − 3 2 = 2 3∂ x

EJEMPLO 6.2.2. Cálculo de derivada implícita sin fórmula.2 2 2F x, y , z = x − x y − y z − 18 = 0 define implícitamente unas funciones( )z z fi( x,y)saber cuales, halle ( 0,− 2,3 )= sin∂ z∂ yObserve que el punto ( 0, - 2 , 3 ) satisface la ecuación, luego está sobre la superficie, por tantopertenece a la gráfica de alguna de las funciones definidas implícitamente por la expresión2 2 2z x − x y − y z − 18 = 0 . Ahora sin determinar explícitamente a cual función corresponde hallamos∂ z , considerando z como función de x e y en la expresión, derivando respecto a y, usando∂ yla regla de la cadena donde sea necesario, y por último despejandodado en esta expresión se tiene:2 2 2z x − x y − y z − 18 = 0xx22∂ z∂ y∂ z∂ y⎛− 2 x y −⎜⎝y 2 z− 2 x y − 2 y z∂∂∂∂zyzy+− z22( x − 2 y z ) = 2 x y + zz22⎞⎟ − 0 = 0⎠= 0⎛ ∂ z ⎞⎜y⎟⎝ ∂ ⎠2∂ z 2 x y + z=y2∂ y x − 2 y z∂ z0 + 9 9( 0 , − 2,3 ) == =∂ y0 − 23( − 2)( 3) 12 4∂ z∂ yy reemplazando el puntoEn este caso a pesar de que también es posible despejar z en términos de x , y y por tantoencontrar las funciones explícitamente, el proceso directo resulta demasiado engorroso.Una forma rigurosa de garantizar la existencia de estas funciones, que ya hemos presentado enforma intuitiva, está plasmada en el siguiente Teorema el cual enunciamos para el caso de funcionesde R 2 en R y cuya demostración esta fuera del alcance de este curso.

TEOREMA 6.2.1. Teorema de la función implícita.Teorema de la FunciónImplícitaSea F : R→ R , seaN = {( x , y,z) F ( x,y , z)= C},sea P0= ( x0, y0, z0) ∈ N (esdecir, F ( x0, y0, z0) = C ). Si Fes continuamente diferenciableen una vecindad de P0(esdecir, si tiene derivadasparciales continuas en estavecindad) y si∂ f( x0 , y0, z0) ≠ 0∂ zentoncesexiste una función z = f ( x,y )tal que f ( x0 , y0) = z0yF [ x, y,f ( x,y)] = C para (x,y) en una vecindad dex .( )0, y 0Derivación implícita mediante fórmulaBajo la hipótesis del teorema 6.2.1 sea w = F (x, y, z).Consideremos el conjunto de los (x, y, z) tales que F (x, y, z)= 0, entonces en una vecindad V de (x, y) existe una funciónz = f (x, y) tal que F ( x, y , f ( x,y)) = 0∂ f ∂ fdeterminemos y∂ x ∂ ySea g ( x, y ) = F ( x,y , f ( x,y )) = 0entonces, utilizando la regla de la cadena, pues F depende dex, y, z, y x, y, z dependen de x e y, tenemos:∂ g ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z0 = = + +∂ x ∂ x ∂ x ∂ y ∂ x ∂ z ∂ x∂ F ∂ F ∂ f∂ F0 = +entonces como ≠ 0∂ x ∂ z ∂ x∂ z∂∂fx∂F/ ∂ x= −∂ F ∂ zAnálogamente:∂ F0 =∂ y∂ F+∂ z∂∂fy0 =∂ f∂ xó ( x,y)∂ g∂ y∂ F=∂ xentonces∂ x∂ y∂ F+∂ y= −∂ y∂ y( ∂ F ∂ x)( x,y , z)( ∂ F ∂ z)( x,y , z)∂ F+∂ z∂∂fy∂∂fy= −∂ F∂ F∂ y∂ z∂ f∂ yó ( x,y)= −( ∂ F ∂ y) ( x,y , z)( ∂ F ∂ z) ( x,y , z)Generalización a funciones de n variablesEn forma más general tenemos, que si F ( x , K , ) 0 define implícitamente a en términos1x n=1, Kk − 1 k + 1Kn( x1, K , xk1, xk+ 1, K,xn)1, K , xk−1, xk+ 1, K xnde x , x , x , , x , en una vecindad dek( x)x = f, entoncesx k−es decir si

∂ f∂ xj= −∂ F∂ F∂ x∂ xjkpara cadaj = 1,K , k −1,k + 1, K,n

EJEMPLO 6.2.3. Cálculo de derivada implícita con fórmula y sin fórmula.2La expresión Sen( x z) + ( x + z) + Sen ( y z) = 0 , define implícitamente a z como una función de x,∂ fy, sea z = f (x ,y); encuentre .∂ x2a) Si llamamos F ( x, y , z) = Sen( x z) + ( x + z) + Sen ( y z), entonces∂ f ∂ F ∂ x= −∂ x ∂ F ∂ z∂ fz Cos ( x z) + 2 ( x + z)⇒ = −∂ x x Cos x z + 2 x + z + y Cos y z( ) ( ) ( )b) Otra forma de hacerlo es, como en el caso de funciones de una variable real, derivando respectoa x, directamente en la expresión F ( x, y,z) = 0 teniendo en cuenta que z = f ( x,y), y luegodespejando ∂ f ∂ x :2Sen ( x z) + ( x + z) + Sen( y z) = 0⎡ ∂ f ⎤⎛ ∂ f ⎞⎡ ∂ f ⎤Cos ( x z) ⎢ x + z + ( x + z)x ⎥ 2 1 ( ) = 0⎣ ∂⎜ +⎟ + Cos y z ⎢ y ⎥⎦⎝ ∂ x ⎠⎣ ∂ x ⎦∂ f( x Cos ( x z) + 2 ( x + z) + y Cos ( y z)) + ( z Cos ( x z) + 2 ( x + z)) = 0∂ x∂fz Cos ( x z) + 2(x + z)⇒ = −∂ x x Cos x z + 2 x + z + y Cos y z( ) ( ) ( )

EJEMPLO 6.2.4. Cálculo de derivada implícita con fórmula2 2x y w + w z x − y z Sen wy = 0 define implícitamente a “y” como una función de x, z, w. Sea∂ fy = f ( x,z,w), determine .∂ z2 2Haciendo ( x,y , z , w) = x y w + wzx − yz Sen( wy) = 0∂ f∂ zF entonces∂ F ∂ z= −∂ f ∂ ywx − y Sen( wy)= −22xyw − y z w Cos wy − z Sen w y( ) ( )

EJEMPLO 6.2.5. Combinación de derivada implícita y regla de la cadenaSi z = xf ( 3 xz , 2 z + 5y) donde f : R2 → R∂ zcalcular∂ xLlamamos F ( x, y , z) = x f ( 3xz, 2z+ 5y) − z = 0F ( x, y , z)define a z como una función implícita de x e y.Sea z = g ( x,y)entonces:∂ g ∂ z ∂ F ∂ x= = −∂ x ∂ x ∂ F ∂ z∂ F ∂ f= x∂ x∂ F ∂ f= x∂ z( 3xz, 2z+ 5y)∂ x3xz, 2z+ 5y∂ z( )+ f− 1( 3xz, 2z+ 5y)Pero f es una función de R 2 → R , es decir, es una función en dos variables: u, v, donde cadavariable depende de x, y, z, así u = u ( x, y , z) , v = v ( x,y , z); si llamamosD ∂ f∂ ff = 1 ( xz z y) D fu3 , 2 5, =∂+ 2 ∂ v ( 3xz, 2z+ 5 y ) y usando la regla de la cadena tenemos que:( 3xz, 2z+ 5y)( 3xz)( 2z+ 5y)∂ f∂∂= ( D f ) + ( D2f )∂ x∂ x∂ x∂ f ( 3xz, 2z+ 5y)∂( )( 3xz)∂ 2z+ 5y= D1f + ( D2f )∂ z∂ z∂ z1= 3( 3 ) D f + D fx122=entonces∂ F= x ( 3z) D1 f∂ x+ f ( 3xz, 2z+ 5y∂ F= x [ 3xD1 f + 2 D2f ] − 1∂ zasí:∂ z 3xzD1f + f 3xz, 2z+ 5y= −2∂ x 3xD f + 2xD f − 11)( )2( )( z) D f1Dos resultados habíamos dejado pendientes en unidades anteriores, para ser tratados en éste:

1. La demostración del Teorema 4.1 en el capítulo 4, que bajo ciertas hipótesis representa laderivada direccional en términos de las derivadas parciales.La demostración de este teorema se puede consultar en el Vínculo Ampliación de este Tema (Reglade la Cadena): Demostración del Teorema 4.1.2. Del capítulo 5, determinar la ecuación del plano tangente a una superficie representada por unaecuación de la forma F ( x, y , z) = 0 en un punto ( x0, y0, z0).Veámoslo:Plano tangente a una superficie de la forma F(x, y, z ) = 0.Supongamos que F ( x, y , z) = 0 define implícitamente a z como una función de x, y, en unavecindad de ( x0, y0), sea z = f ( x,y)diferenciable en ( x0, y 0).z0= f ( x0, y0), y además existe el plano tangente a la superficie z = f ( x,y)en el puntox , y f x y , y como se vio en el capítulo anterior esta ecuación está dada por:(0 0,(0,0))⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ f ⎞ ⎡ ⎛ ∂ f ⎞ ⎛ ∂ f ⎞⎜ ( x , y ) ⎟ x + ⎜ ( x y ) ⎟ y − z = ⎜ ( x , y ) ⎟ x + ⎜ ( x , y ) ⎟ y − f ( x y⎤) ⎥⎦⎜⎝ ∂fx⎟⎠⎜⎝ ∂ y0 00,o, lo que es lo mismo:0⎟⎠⎢ ⎜⎣ ⎝ ∂ x⎟⎠⎜⎝ ∂ y0 0 00 0 00,⎟⎠0⎛ ∂ f⎜⎝ ∂ x⎞⎟⎠⎛ ∂ f⎜⎝ ∂ y( x y ) ⎟ ( x − x ) + ⎜ ( x , y ) ⎟ ( y − y ) − ( z − f ( x , y )) 00,000 000 0=⎞⎟⎠∂ f∂ fPero derivando implícitamente, ( x0 , y0) y ( x0, y0)∂ x∂ y∂ f( ∂ F ∂ x) ( x0, y0, z0)( x0, y0) = −y∂ x( ∂ F ∂ z) ( x0, y0, z0)∂ f ( ∂ F ∂ y) ( x0, y0, z0)= −∂ y ( ∂ F ∂ z) ( x , y , z )000Reemplazando en la ecuación del plano tangente, tenemos:están dadas por:−( ∂ F ∂ x) ( x0, y0, z0)( ) ( ) ( x − x ) 0∂ F ∂ z x , y , z000−( ∂ F ∂ y)( x0, y0, z0)( ∂ F ∂ z)( x , y , z )000( y − y ) − ( z − z ) = 000⎛ ∂ F⎜⎝ ∂ x⎞⎟⎠⎛ ∂ F⎜⎝ ∂ y⎞⎟⎠⎛ ∂ F⎜⎝ ∂ z( x y , z ) ⎟( x − x ) + ⎜ ( x , y , z ) ⎟( y − y ) + ⎜ ( x , y , z ) ⎟( z − z ) 00,0 000 0 000 0 00=⎞⎟⎠

que es la ecuación del plano tangente a la superficie representada porx , y z .( )0 0,0F( x, y , z) = 0, en el puntoDe esta ecuación podemos concluir que:⎛ ∂ F⎜⎝ ∂ x∂ F∂ y∂ F∂ z( x , y , z ),( x , y , z ),( x , y z ) ⎟ 0 0 00 0 00 0,0⎞⎠=( ∇ F ) ( x , y z )0 0,0es normal a este plano tangente, ya que la podemos escribir en la forma:[( ∇ )( x y , z )] ⋅ ( x − x , y − y , z − z ) 0F ó0,0 0000=(( ∇ F )( x , y , z ) ) ⋅ ( x,y , z) = ( ( ∇ F ) ( x , y , z ) ) ⋅ ( x , y z )0 0 00 0 0 0 0,lo que quiere decir que si w = F ( x,y , z) , entonces ( ∇ F ) ( x0 , y0, z0) es ortogonal a la superficierepresentada por F x, y , z = .( ) 00

EJEMPLO 6.2.6. Plano tangente para funciones definidas implícitamente.Consideremos el campo escalar:2 2 2W = F x,y , z = 2x+ y + 4z−( ) 9Hallemos la ecuación del plano tangente a la superficie representada por la expresión ( x, y , z) = 0⎛ 3 ⎞en el punto p ⎜ ⎟0= 1, 2, − el cual pertenece a dicha superficie.⎝2⎠∇ F = 4x,2y, 8z( )⎛⎛ 3 ⎞ ⎞( ∇ F ) ( p ) = ⎜ 4( 1) , 2( 2) , 8⎜− ⎟ ⎟ = ( 4, 4, 4 3)⎜⎜ 2 ⎟ ⎟⎝⎝ ⎠ ⎠⎛ 3 ⎞( ∇ F ) ( p ) ⋅ p0= 4, 4, − 4 3 ⋅ ⎜1,2, −2 ⎟⎝ ⎠entonces la ecuación del plano tangente es:∇ F p ⋅ x, y z = ∇ F p ⋅ p0−( ) ( ) ⎟ 180=(( ) (0)) ( , ) (( ) (0)) 04 x + 4 y − 4 3 z = 18F ,

DEMOSTRACION DEL TEOREMA 4.1TEOREMA 4.1Si f ( x, y ) tiene derivadas parciales continuas en una vecindad de un punto ( a ,b ) , entonces laderivada direccional de la función f en la dirección de U = ( Cos θ , Sen θ ) en (a, b) existe y estádada por:∂ f∂ fDU f ( a, b) = ( a , b) Cosθ+ Senθ= (( ∇ f )( a , b)).( Cosθ, Senθ)( a , b )∂ x∂ yDemostraciónf( )( a + l Cos θ , b + l Sen θ ) − f ( a , b)DUf a , b = Liml → 0lf : R2 → Rx = X () l = a + l Cos θ( x , y) → f ( x,y) y = Y () l = b + l Cos θentonces f se puede considerar como una función de l: llamémosla g (1):g () l = f ( X () l , Y () l ) = f ( a + l Cos θ , b + l Sen θ ) y asíg ( 0 ) = f ( a , b)por tanto:g( )() l − g ( 0)DU f a,b = Lim= g′( 0)l → 0 lcomo f (x, y) tiene derivadas parciales continuas en una vecindad de (a, b) entonces f esdiferenciable en (a, b) (Teorema 5.2.3) , por tanto es aplicable el Teorema 6.1.1, o sea podemosutilizar la regla de la cadena para calcular g′ ( l):⎛ ∂ f⎞ ∂ X ⎛ ∂ f⎞ ∂Yg′ () l =⎜ ( a + l Cos θ , b + l Sen θ ) + ( a l Cos b l Sen )x⎟l⎜ + θ , + θy⎟⎝ ∂⎠ ∂ ⎝ ∂⎠ ∂ l⎛ ∂ f⎜⎝ ∂ x⎞⎟⎠⎛ ∂ f⎜⎝ ∂ yluego:⎛ ∂ f ⎞ ⎛ ∂ fg ( ) ( a b) Cos θ ( a b) Sen θxy⎟ ⎞′ 0 =⎜ ,⎟ +⎜ ,⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠entonces:D Uf⎛ ∂ f⎜⎝ ∂ x,= ⎜ ( a + l Cos θ , b + l Sen θ ) ⎟ Cos θ + ⎜ ( a + l Cos θ , b + l Sen θ ) ⎟ Sen θcon lo que completamos la demostración.Volver al ejemplo 6.2.5.⎞⎟⎠⎛ ∂ f⎜⎝ ∂ y( a , b) = g′( 0) = ⎜ ( a b) ⎟ Cos θ + ⎜ ( a , b) ⎟ Sen θ⎞⎟⎠⎞⎟⎠

DEMOSTRACION DEL TEOREMA 5.1TEOREMA 5.1Si f ( x, y ) tien e derivadas parciales continuas en una vecindad de un punto ( a ,b ) , entonces laderivada direccional de la función f en la dirección de U = ( Cos θ , Sen θ ) en (a, b) existe y estádada por:∂ f∂ fDU f ,a , b∇,a , b∂ x∂ y( a b) =( ) Cosθ+ Senθ= (( f )( a , b)).( CosθSenθ)( )DEMOSTRACION:DUf( a , b)=Liml → 0f( a + l Cos θ , b + l Sen θ ) − f ( a , b)lf : R2 → Rx = X () l = a + l Cos θ( x , y) → f ( x,y)y = Y () l = b + l Cos θentonces f se puede considerar como una función de l: llamémosla g (1):() l = f ( X () l Y () l ) = f ( a + l Cos θ , b l Sen θ )( 0 ) = f ( a b)g , +y asíg ,por tanto:D( a,b)() l − g ( 0)Uf = Lim= g′l → 0gl( 0)como f (x, y) tiene derivadas parciales continuas en una vecindad de (a, b) entonces f esdiferenciable en (a, b) (Teorema 6.3) , por tanto es aplicable el teorema 7.1, o sea podemos utilizarla regla de la cadena para calcular g′ (): l⎛ ∂ f⎞g′ () l =⎜ ( a + l Cos θ , b + l Sen θ )x⎟⎝ ∂⎠∂ X∂ l⎛ ∂ f⎞ ∂Y+ ⎜ ( a + l Cos θ , b + l Sen θ )y⎟⎝ ∂⎠ ∂ l