Triángulos de lados enteros, particiones y el Teorema de Pick

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••8 Triángulos de lados enteros, particiones. . .6m• • • •• • •• • •• • • •y = 6m−x• • •y = x• •• • • • •• •y = 1 2 (6m−x)• • •(3m,3m)• • • •• •• •(2m,2m)• •• • •• •• • •• • • • • • • • • •6mFigura 7: P(n) para n = 6m.Sobre la recta y = 6m − x hay 3m + 1 puntos: (3m, 3m), (3m + 1, 3m −1), . . . , (6m, 0).Sobre la recta y = 6m−x2hay 2m + 1 puntos: (6m, 0), (6m − 2, 1), . . .,(2m, 2m).De esto se sigue que hay F(P) = 6m puntos de N 2 que están sobre lafrontera de P . Por el Teorema de Pick, el número de puntos de N 2 que estánen el interior de P esI(P) = A(P) − F(P)2+ 1 = 3m 2 − 3m + 1.En resumen, P (n) = [3m 2 − 3m + 1] + [6m − (3m + 1)] = 3m 2 .Para el caso n = 6m + 1, m ∈ N, el polígono que contiene a P(n) apareceen la figura 8.Un razonamiento análogo con el polígono P de vértices (2m + 1, 2m),(2m + 1, 2m + 1), (3m, 3m), (3m + 1, 3m) y (6m + 1, 0) lleva a los siguientesresultados: A(P)= 3m 2 + m − 1/2, F(P)= 6m + 1, I(P)= 3m 2 − 2m yP (n) = 3m 2 + m.Las gráficas de los polígonos que contienen a P(n) para los casos n =6m + r; r = 2, 3, 4, 5 se pueden ver después de la figura 8.

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•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••E. Guerrero, M. A. Marmolejo, H. Mesa 116m+5• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •y = (6m+5)−xy = xy = 1 2 [(6m+5)−x]• • • •• • •• • •• • • •• •(3m+2,3m+2)• • •(3m+3,3m+2)• • • • •(2m+2,2m+2)• •• •(2m+3,2m+1)• •• • •• •• • •• •• • • • • • • • • •• •6m+5En la tabla 1 se recogen los valores de A(P); F(P); I(P) y P (n) paralos casos n = 6m + r, r = 0, 1, 2, . . . , 5.n A(P) F(P) I(P) P (n)6m 3m 2 6m 3m 2 − 3m + 1 3m 26m + 1 3m 2 + m − 1/2 6m + 1 3m 2 − 2m 3m 2 + m6m + 2 3m 2 + 2m 6m + 2 3m 2 − m 3m 2 + 2m6m + 3 3m 2 + 3m + 1/2 6m + 3 3m 2 3m 2 + 3m + 16m + 4 3m 2 + 4m + 1 6m + 4 3m 2 + m 3m 2 + 4m + 16m + 5 3m 2 + 5m + 3/2 6m + 5 3m 2 + 2m 3m 2 + 5m + 2Tabla 1Al del final de la sección 2 se observó que T (n) es de orden n 2 /48; dela relación P (n) = T (2n) se concluye que P (n) es de orden n 2 /12. En latabla 2 se comparan estos valores.De esta tabla se deduce que P (n) = {n 2 /12}. Teniendo en cuenta larelación T (2n) = P (n) = T (2n − 3) se llega a que T (n) = {n 2 /48} para npar y que T (n) = {(n + 3) 2 /48} para n impar, que es la fórmula dada porTanton [8].MATMATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.2 Publicació electrònica de divulgació del Departament de Made la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat

12 Triángulos de lados enteros, particiones. . .n P (n) n 2 /126m 3m 2 3m 26m + 1 3m 2 + m 3m 2 + m + 1/126m + 2 3m 2 + 2m 3m 2 + 2m + 4/126m + 3 3m 2 + 3m + 1 3m 2 + 3m + 9/126m + 4 3m 2 + 4m + 1 3m 2 + 4m + 16/126m + 5 3m 2 + 5m + 2 3m 2 + 5m + 25/12Tabla 25. Triángulos escalenos y particiones desigualesEn esta sección T e (n) denota el conjunto de triplas ordenadas enterast e (i, j, k) tales que i + j + k = n; i > j > k ≥ 1 y además i, j, k correspondena las longitudes de los lados de un triángulo escaleno. También, P e (n) denotael conjunto de particiones ordenadas enteras p e (i, j, k) de n ∈ {6, 7, 8, . . .}en tres partes desiguales: i + j + k = n; i > j > k ≥ 1. Se escribe T e (n) yP e (n) para denotar el número de elementos de los conjuntos P e (n) y T e (n),respectivamente.Los números T e (n) y P e (n) se determinan fácilmente de los resultadosobtenidos en la sección anterior. En efecto; de una parte, T e (2n) = P e (n) =T e (2n − 3), debido a que las aplicaciones t e (i, j, k) → t e (i − 1, j − 1, k − 1)de T e (2n) a T e (2n − 3) y p e (i, j, k) → t e (n − k, n − j, n − i) de P e (n) a T e (n)son biyecciones. Estas son las mismas aplicaciones que se consideraron en lasección anterior para mostar que T (2n) = P (n) = T (2n − 3).De otra parte, P e (n) es el número de puntos (i, j) de la cuadrícula ˜C ={(i, j) ∈ N 2 : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n} que verifican i > j > k := n−(i+j) ≥ 1;esto es, P e (n) es el número de puntos del conjuntoP e (n) = {(i, j) ∈ N 2 : i > j; i + j < n; i + 2j > n}.Para los casos n = 6m + r; r = 0, 1, 2, . . . , 5, los números P e (n) correspondenprecisamente a los que aparecen en la columna I(P) (número depuntos de ˜C que son interiores a P ) de la Tabla 1. Es decir, P e (n) ≡ I(P).Una observación de las columnas I(P) ≡ P e (n) y P (n) de la Tabla 1revela que, para n = 6, 7, 8, . . ., P e (n) = P (n − 3). Por lo tanto, valen lassiguientes relaciones:T e (2n) = T e (2n − 3) = P e (n) = P (n − 3); n = 6, 7, 8, . . . ,que implican la fómula⎧⎪⎨T e (n) =⎪⎩{(n−6) 248{(n−3) 248}, si n es par}, si n es impar.

E. Guerrero, M. A. Marmolejo, H. Mesa 13Note que T e (n) = T (n − 6) y que, en consecuencia, T is (n) := T (n) −T e (n) ≡ T (n)−T (n−6) es el número de triángulos isósceles de lados enterosy de perímetro n (aquí se incluye el único triángulo equilatero de lado k ∈{1, 2, 3, . . .}, en el caso n = 3k). Cuando n = 2k, usando la tabla 2 se puedeescribir:{ } { }k2 (k − 3)2T is (n) = P (k) − P (k − 3) = −12 12{ } { }2k − 3 n − 3== .44Así mismo, cuando n = 2k + 1,{ } { }(k + 2)2 (k − 1)2T is (n) = P (k + 2) − P (k − 1) =−1212{ } 2k + 1==4En resumen, se llega a la expresión⎧{ ⎪⎨ n−3}4 , si n es parT is (n) =⎪⎩}, si n es impar,{ n4{ n4}.que también aparece en Hirschhorn [2]. Curiosamente, en este trabajo sedemuestra la fórmula dada por Tanton, empezando precisamente por establecerla relación T e (n) = T (n − 6).Por ejemplo; si n = 15, hay T (15) = 7 triángulos incongruentes de ladosenteros, de los cuales T e (15) = 3 son escalenos y T is (15) = 4 son isósceles(incluído el equilátero de lado 5).6. ConclusionesSi bien es cierto que en la literatura hay diversos trabajos donde seestablecen las fórmulas para P (n), T (n), T e (n) y T is (n); en este trabajo seha explotado la sencillez del Teorema de Pick para deducirlas. La idea esque con este enfoque se pueda interesar en el tema a un grupo amplio delectores.Referencias[1] Andrews G. (1979) A note on partitions and triangles with integerssides. The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 6, p. 477-478.MATMATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.2 Publicació electrònica de divulgació del Departament de Made la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat

14 Triángulos de lados enteros, particiones. . .[2] Hirschhorm M. (2003) Triangles with integers Sides Mathematics Magazine,Vol. 76, No.4, p. 306-308.[3] Jara, P.; Ruiz, C. (2008) El Teorema de Pick. Aparece en:ESTALMAT-Andalucía; http://www.ugr.es/~anillos/textos/pdf/2008/pick.pdf[4] Jordan J., Walch R. and Wisner R. (1979) Triangles with integers sides.The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 8, p. 686-689.[5] Matthias B. A real short proof of Pick’s theorem.http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.35.8363&rep=rep1&type=pdf[6] Ramírez J. L. (2010) El Teorema de Pick y Redes de Puntos. MAT 2Materials Matemàtics, Volum 2010, no. 5.[7] Sally J. D. and Sally P.J., Jr. (2007) Roots to Research: A Vertical Developmentof Mathematical Problems. American Mathematical Society.ISBN: 978-0-8218-4403-8.[8] Tanton J. (2002) Young students approach integer triangles. Focus, thenewsletter of the Mathematical Association of America, Vol.22, No.5,p. 4-6.[9] Varberg D. (1985) Pick’s theorem revisited. The American MathematicalMonthly, Vol.92, No.8 , p. 584-587.Eugenio Guerrero R.eugueruz02@gmail.comMiguel A. Marmolejo L.mimarmol@univalle.edu.co

E. Guerrero, M. A. Marmolejo, H. Mesa 15Departamento de MatemáticasUniversidad del ValleCalle 13 100-00Cali-ColombiaHéber Mesa P.heber.mesa@correounivalle.edu.coPublicat el 20 d’octubre de 2011MATMATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.2 Publicació electrònica de divulgació del Departament de Made la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat