Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} = X × X es cerrado, independientementede si Y es o no un espacio de Hausdorff. Sinembargo, se tiene el siguiente resultado.5.2.4 Proposición. Si f es una función abierta de X sobre Yy si el conjunto K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado enX × X, entonces Y es un espacio de Hausdorff.Demostración. Sean y 1 y y 2 puntos distintos de Y . Puesto quef es sobreyectiva, existen x 1 y x 2 en X tales que f(x 1 ) = y 1 yf(x 2 ) = y 2 . Claramente (x 1 , x 2 ) /∈ K, luego existen vecindadesabiertas U y V de x 1 y x 2 respectivamente, de tal manera queU × V ⊂ (X × X) K. Como f es abierta, f(U) y f(V ) sonvecindades abiertas de y 1 y y 2 respectivamente, y se tiene f(U)∩f(V ) = ∅.Las dos proposiciones anteriores dan una demostración inmediatadel siguiente resultado, el cual es una caracterización de losespacios de Hausdorff.5.2.5 Proposición. El espacio topológico X es un espacio deHausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X.Ejercicios95
5.3. Espacios regulares y Espacios T 3En esta sección estudiaremos espacios topológicos en los quela topología del espacio permite separar conjuntos cerrados depuntos fuera de ellos.5.3.1 Definición. Un espacio topológico X es un espacio regularsi para cada K subconjunto cerrado de X y cada x ∈ X K,existen conjuntos U y V abiertos en X, tales que K ⊂ U, x ∈ Vy U ∩ V = ∅.5.3.2 Ejemplo.Consideremos sobre R la topología τ para la cual las vecindadesbásicas de x son los intervalos de la forma [x, y) con y > x.Si K es cerrado en (R, τ) y x /∈ K, existe y > x tal que U =[x, y) ⊂ R K. Para cada z ∈ K, con z < x, sea V z = [z, x)y para cada z ∈ K, con z ≥ y, sea V z = [z, z + 1). El conjuntoV = ⋃ z∈K V z es abierto, contiene a K y U ∩ V = ∅. Entonces(R, τ) es regular.Nótese que el hecho de que sea posible separar con conjuntosabiertos, puntos de conjuntos cerrados, no implica que se puedanseparar dos puntos distintos del espacio, utilizando conjuntosabiertos disyuntos. Es decir, un espacio regular no siempre es unespacio de Hausdorff, como lo muestran los siguientes ejemplos.5.3.3 Ejemplos.96
- Page 46 and 47: Si X es un espacio topológico y A
- Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
- Page 50 and 51: 3. Si X es un conjunto infinito y p
- Page 52 and 53: 2.7. Interior, exterior y frontera
- Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
- Page 56 and 57: 2. En R con topología usual, la fr
- Page 58 and 59: subespacio de X. Esto es, considera
- Page 60 and 61: 4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
- Page 62 and 63: 3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
- Page 64 and 65: 3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
- Page 66 and 67: 3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
- Page 68 and 69: X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
- Page 70 and 71: de los espacios tienen su contrapar
- Page 72 and 73: La inclusión de un subespacio en u
- Page 74 and 75: La colección B de todas las inters
- Page 76 and 77: 4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
- Page 78 and 79: 4.3.1∏Definición. Definimos la t
- Page 80 and 81: En cualquier caso, α −1 (πA −
- Page 82 and 83: 4.4. Estructuras finales - Topolog
- Page 84 and 85: De manera recíproca, Si O es un su
- Page 86 and 87: clase de equivalencia de un punto (
- Page 88 and 89: 2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
- Page 90 and 91: 5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
- Page 92 and 93: 5.1.3 Definición. Un espacio topol
- Page 94 and 95: como el radio de las vecindades esc
- Page 98 and 99: 1. Sea X un conjunto dotado con la
- Page 100 and 101: Ejercicios5.4. Espacios completamen
- Page 102 and 103: menos que cada conjunto unitario en
- Page 104 and 105: tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
- Page 106 and 107: 5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
- Page 108 and 109: 1. El conjunto U 1 es un conjunto a
- Page 110 and 111: 5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
- Page 112 and 113: cada i = 1, ..., N, escogemos una v
- Page 114 and 115: En los espacios 1-enumerables, las
- Page 116 and 117: 3. Cualquier subespacio de un espac
- Page 118 and 119: c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
- Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
- Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
- Page 130 and 131: Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
- Page 132 and 133: g) En el conjunto C(I) de todas las
- Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
- Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
- Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
- Page 144 and 145: a) Sean τ la topología usual sobr
K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} = X × X es cerrado, in<strong>de</strong>pendientemente<strong>de</strong> si Y es o no un espacio <strong>de</strong> Hausdorff. Sinembargo, se tiene el siguiente resultado.5.2.4 Proposición. Si f es una función abierta <strong>de</strong> X sobre Yy si el conjunto K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado enX × X, entonces Y es un espacio <strong>de</strong> Hausdorff.Demostración. Sean y 1 y y 2 puntos distintos <strong>de</strong> Y . Puesto quef es sobreyectiva, existen x 1 y x 2 en X tales que f(x 1 ) = y 1 yf(x 2 ) = y 2 . <strong>Clara</strong>mente (x 1 , x 2 ) /∈ K, luego existen vecinda<strong>de</strong>sabiertas U y V <strong>de</strong> x 1 y x 2 respectivamente, <strong>de</strong> tal manera queU × V ⊂ (X × X) K. Como f es abierta, f(U) y f(V ) sonvecinda<strong>de</strong>s abiertas <strong>de</strong> y 1 y y 2 respectivamente, y se tiene f(U)∩f(V ) = ∅.Las dos proposiciones anteriores dan una <strong>de</strong>mostración inmediata<strong>de</strong>l siguiente resultado, el cual es una caracterización <strong>de</strong> losespacios <strong>de</strong> Hausdorff.5.2.5 Proposición. El espacio topológico X es un espacio <strong>de</strong>Hausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X.Ejercicios95
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