Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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5.1.3 Definición. Un espacio topológico X es un espacio T 1si para cada par x, y de puntos distintos de X existen unavecindad V de x y una vecindad W de y, tales que y /∈ V yx /∈ W .5.1.4 Ejemplos.1. Todo espacio métrico es un espacio T 1 .2. Cualquier conjunto con la topología de los complementosfinitos (resp. contables) es un espacio T 1 .3. Todo espacio discreto es T 1 .4. El plano de Moore es un espacio T 1 .5. El plano ranurado es un espacio T 1 .Es inmediato que todo espacio T 1 es también un espacio T 0 .Existen, no obstante, espacios T 0 que no son T 1 , como por ejemploel espacio de Sierpinski.La mayor importancia de los espacios T 1 radica en que elloscaracterizan a los espacios en los cuales los conjuntos unitariosson conjuntos cerrados, como lo muestra parte del siguienteresultado.5.1.5 Proposición. Sea X un espacio topológico. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:1. X es T 1 .91
2. Para cada x ∈ X, el conjunto {x} es cerrado.3. Cada subconjunto de X es la intersección de los conjuntosabiertos que lo contienen.Demostración.1. =⇒ 2. Si X es T 1 , si x ∈ X y si y ≠ x, existe una vecindad Vde y que no contiene a x. Esto demuestra que X {x} esabierto y, por lo tanto, que {x} es cerrado.2. =⇒ 3. Si A ⊂ X, se tiene que A = ⋂ x∈XA X {x}.3. =⇒ 1. Sean x y y puntos distintos de X. Como {x} es la intersecciónde los conjuntos abiertos que contienen a x, existe unconjunto abierto que contiene a x y no contiene a y. De lamisma forma, existe un conjunto abierto que contiene a yy no contiene a x.Ejercicios5.2. Espacios de Hausdorff - T 2Hemos visto que si (X, d) es un espacio métrico y si x y y sonpuntos distintos de X, entonces B(x, d(x, y)) es una vecindadde x que no contiene a y y B(y, d(x, y)) es una vecindad de yque no contiene a x. En ambos casos hemos considerado d(x, y)92
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2. Para cada x ∈ X, el conjunto {x} es cerrado.3. Cada subconjunto <strong>de</strong> X es la intersección <strong>de</strong> los conjuntosabiertos que lo contienen.Demostración.1. =⇒ 2. Si X es T 1 , si x ∈ X y si y ≠ x, existe una vecindad V<strong>de</strong> y que no contiene a x. Esto <strong>de</strong>muestra que X {x} esabierto y, por lo tanto, que {x} es cerrado.2. =⇒ 3. Si A ⊂ X, se tiene que A = ⋂ x∈XA X {x}.3. =⇒ 1. Sean x y y puntos distintos <strong>de</strong> X. Como {x} es la intersección<strong>de</strong> los conjuntos abiertos que contienen a x, existe unconjunto abierto que contiene a x y no contiene a y. De lamisma forma, existe un conjunto abierto que contiene a yy no contiene a x.Ejercicios5.2. Espacios <strong>de</strong> Hausdorff - T 2Hemos visto que si (X, d) es un espacio métrico y si x y y sonpuntos distintos <strong>de</strong> X, entonces B(x, d(x, y)) es una vecindad<strong>de</strong> x que no contiene a y y B(y, d(x, y)) es una vecindad <strong>de</strong> yque no contiene a x. En ambos casos hemos consi<strong>de</strong>rado d(x, y)92
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