Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

7. Sea (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos no vacíos.El producto X = ∏ i∈I X i es un espacio T 0 si y sólo si X ies un espacio T 0 para cada i ∈ I. En efecto, si X es T 0 , sij ∈ I y si a y b son puntos distintos de X j , escogemos x yy en X de tal manera que x i = y i para cada i ≠ j, x j = a yy j = b. Entonces x y y son puntos distintos de X y por serX un espacio T 0 , existe una vecindad básica V de uno delos puntos, digamos de x, en X, tal que y /∈ V . EntoncesV tiene la forma V = ⋂ α=1,...,n π−1 i α(O iα ), donde O iα es unavecindad de x iα para cada α = 1, ..., n. Puesto que x y ydifieren únicamente en la j-ésima coordenada, j = i α paraalgún α ∈ {1, ..., n}. Entonces O iα es una vecindad de x iα =a en X j , que no contiene a b. De manera recíproca, si X ies un espacio T 0 para dada i ∈ I y si x y y son puntosdistintos del producto ∏ i∈I X i, existe j ∈ I tal que x j ≠ y j .Puesto que X j es un espacio T 0 , existe una vecindad O j deuno de los puntos, digamos de x j , en X j , tal que y j /∈ O j .Entonces πj−1 (O j ) es una vecindad de x que no contiene ay. De esta manera queda demostrado que X es un espacioT 0 .Supongamos que (X, d) es un espacio métrico. Puesto que X conla topología generada por la métrica es un espacio T 0 , dadosdos puntos distintos x y y de X, existe una vecindad de unode los puntos, que no contiene al otro. En un ejemplo anteriormostramos que y /∈ B(x, d(x, y)). Pero podemos afirmar aúnmás: existe también una vecindad de y que no contiene a x.En efecto, x /∈ B(y, d(x, y)). Estudiaremos ahora los espaciostopológicos que tienen esta propiedad.90