Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sierpinski, X = {0, 1} con la topología{∅, {0}, {0, 1}}, es un espacio T 0 . Los únicos puntos distintosentre sí son 0 y 1; y {0} es una vecindad de 0 queno contiene a 1.2. Sea d una seudométrica sobre un conjunto X. La funciónd es una métrica si y sólo si el espacio topológico generadoes T 0 . En efecto, si d es una métrica y x, y son puntosdistintos de X, entonces d(x, y) > 0, luego la bola abiertaB (x, d(x, y)) es una vecindad de x que no contiene a y. Demanera recíproca, si X es T 0 y x, y son puntos distintosde X, entonces existe una vecindad de uno de los puntos,digamos de x, que no contiene al otro. Esto significa queexiste ɛ > 0 tal que y /∈ B(x, ɛ), lo cual a su vez implicaque d(x, y) ≥ ɛ > 0.3. Cualquier conjunto X con la topología de complementosfinitos es un espacio T 0 .4. Cualquier conjunto X totalmente ordenado, con la topologíade las colas a la derecha es un espacio T 0 .5. Si X es un conjunto con más de un punto y topología grosera,entonces X no es un espacio T 0 .6. Si Y es un subespacio de un espacio T 0 , entonces Y tambiénes un espacio T 0 . En efecto, si x y y son puntos distintos deY , existe una vecindad V de uno de los puntos, digamos dex, en X, tal que y /∈ V . Se tiene que V ∩Y es una vecindadde x en Y y y /∈ V ∩ Y .89
7. Sea (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos no vacíos.El producto X = ∏ i∈I X i es un espacio T 0 si y sólo si X ies un espacio T 0 para cada i ∈ I. En efecto, si X es T 0 , sij ∈ I y si a y b son puntos distintos de X j , escogemos x yy en X de tal manera que x i = y i para cada i ≠ j, x j = a yy j = b. Entonces x y y son puntos distintos de X y por serX un espacio T 0 , existe una vecindad básica V de uno delos puntos, digamos de x, en X, tal que y /∈ V . EntoncesV tiene la forma V = ⋂ α=1,...,n π−1 i α(O iα ), donde O iα es unavecindad de x iα para cada α = 1, ..., n. Puesto que x y ydifieren únicamente en la j-ésima coordenada, j = i α paraalgún α ∈ {1, ..., n}. Entonces O iα es una vecindad de x iα =a en X j , que no contiene a b. De manera recíproca, si X ies un espacio T 0 para dada i ∈ I y si x y y son puntosdistintos del producto ∏ i∈I X i, existe j ∈ I tal que x j ≠ y j .Puesto que X j es un espacio T 0 , existe una vecindad O j deuno de los puntos, digamos de x j , en X j , tal que y j /∈ O j .Entonces πj−1 (O j ) es una vecindad de x que no contiene ay. De esta manera queda demostrado que X es un espacioT 0 .Supongamos que (X, d) es un espacio métrico. Puesto que X conla topología generada por la métrica es un espacio T 0 , dadosdos puntos distintos x y y de X, existe una vecindad de unode los puntos, que no contiene al otro. En un ejemplo anteriormostramos que y /∈ B(x, d(x, y)). Pero podemos afirmar aúnmás: existe también una vecindad de y que no contiene a x.En efecto, x /∈ B(y, d(x, y)). Estudiaremos ahora los espaciostopológicos que tienen esta propiedad.90
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio <strong>de</strong> Sierpinski, X = {0, 1} con la topología{∅, {0}, {0, 1}}, es un espacio T 0 . Los únicos puntos distintosentre sí son 0 y 1; y {0} es una vecindad <strong>de</strong> 0 queno contiene a 1.2. Sea d una seudométrica sobre un conjunto X. La funciónd es una métrica si y sólo si el espacio topológico generadoes T 0 . En efecto, si d es una métrica y x, y son puntosdistintos <strong>de</strong> X, entonces d(x, y) > 0, luego la bola abiertaB (x, d(x, y)) es una vecindad <strong>de</strong> x que no contiene a y. Demanera recíproca, si X es T 0 y x, y son puntos distintos<strong>de</strong> X, entonces existe una vecindad <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los puntos,digamos <strong>de</strong> x, que no contiene al otro. Esto significa queexiste ɛ > 0 tal que y /∈ B(x, ɛ), lo cual a su vez implicaque d(x, y) ≥ ɛ > 0.3. Cualquier conjunto X con la topología <strong>de</strong> complementosfinitos es un espacio T 0 .4. Cualquier conjunto X totalmente or<strong>de</strong>nado, con la topología<strong>de</strong> las colas a la <strong>de</strong>recha es un espacio T 0 .5. Si X es un conjunto con más <strong>de</strong> un punto y topología grosera,entonces X no es un espacio T 0 .6. Si Y es un subespacio <strong>de</strong> un espacio T 0 , entonces Y tambiénes un espacio T 0 . En efecto, si x y y son puntos distintos <strong>de</strong>Y , existe una vecindad V <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los puntos, digamos <strong>de</strong>x, en X, tal que y /∈ V . Se tiene que V ∩Y es una vecindad<strong>de</strong> x en Y y y /∈ V ∩ Y .89