Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f(x) = f(y), de donde [x] = [y],por lo tanto ϕ es uno a uno.3. Puesto que f es sobreyectiva, dado y ∈ Y existe x ∈ X talque f(x) = y. Entonces ϕ([x]) = y y ϕ es sobreyectiva.4. Si q es la aplicación canónica definida de X en X/R f entoncesϕ ◦ q = f y como f es continua y X/R f tiene latopología final inducida por q, se concluye que ϕ es unafunción continua.5. Nótese que A = ϕ −1 (ϕ(A)) para cada A ⊂ X/R f . Así, siA es abierto en X/R f , entonces ϕ(A) es abierto en Y . Seconcluye que ϕ es una función abierta.Se ha demostrado que ϕ es un homeomorfismo.Ejercicios87
Capítulo 5Propiedades de Separación ypropiedades de enumerabilidadEstudiaremos ahora una serie de propiedades de los espaciostopológicos que nos permiten establecer qué tan “cercanos” oqué tan “separados” están unos puntos del espacio de otros.5.1. Espacios T 0 y espacios T 1En el capítulo anterior vimos cómo los espacios topológicos concierta propiedad especial podían sumergirse en un producto deespacios de Sierpinski. La propiedad que se pedía era que dadosdos puntos distintos del espacio, existiera una vecindad de algunode los puntos que no contuviera al otro. Los espacios conesta propiedad serán nuestro primer objeto de estudio en estecapítulo.5.1.1 Definición. Un espacio topológico X es T 0 si dados x yy puntos distintos del espacio, existe una vecindad V de x talque y /∈ V , o existe una vecindad W de y tal que x /∈ W .88
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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