Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

De manera recíproca, Si O es un subconjunto abierto de Z,entonces f −1 (O) es abierto en Y , porque fα−1 (f −1 (O)) es abiertoen X α para cada α ∈ Λ.4.4.4 Observación. Si τ ′ es una topología sobre Y tal que f αes continua para cada α ∈ Λ y si denotamos por Y ′ al espacioformado por el conjunto Y junto con la topología τ ′ , entonces elteorema anterior garantiza que la aplicación idéntica de Y en Y ′es continua. Esto significa que τ ′ es menos fina que la topologíafinal sobre Y .4.5. Topología cocienteEjerciciosConsideremos un espacio topológico X y una relación de equivalencia∼ definida sobre X. Como es costumbre, denotaremospor [x] la clase de equivalencia de un elemento x ∈ X y porX/ ∼ el conjuunto de todas las clases de equivalencia. Esto es,X/ ∼= {[x] : x ∈ X}.La función canónica q : X −→ X/ ∼ definida por q(x) = [x]induce la topología final sobre el cociente X/ ∼. El espacioasí definido recibe el nombre de espacio cociente y la topologíafinal se llama también topología cociente.83