Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Hay una gran cantidad de ejemplos de espacios con esta propiedad:cualquier espacio métrico la tiene, así como cualquier conjuntocon la topología de compementos finitos o cualquier conjuntototalmente ordenado con la topología de las colas a la derecha.Por supuesto también existe espacios sin esta propiedad, comolos conjuntos con más de un punto y topología grosera.Los espacios tales que dados dos puntos distintos del espacio,existe una vecindad de alguno de los dos puntos, que no contieneal otro, están inmersos en productos de espacios de Sierpinskicomo lo muestra el siguiente ejemplo.4.3.2 Ejemplo.Sea X = {0, 1} el espacio de Sierpinski. La topología sobre esteespacio es {∅, {0}, {0, 1}}. Consideremos un espacio topológico(X, τ) tal que dados dos puntos distintos del espacio, existe unavecindad de alguno de los dos puntos que no contiene al otroy tomemos el espacio producto ∏ A∈τ) X A, donde X A = C paracada A ∈ τ.⋃Para cada x ∈ X definimos la función α(x) = ̂x : τ −→ ˙A∈τ X Apor{0 si x ∈ Âx(A) =1 si x /∈ A.Veamos que la función α : X −→ ∏ A∈τ X A es una inmersión.Es decir que es una función continua, abierta sobre su imageny uno a uno.1. Sea A ∈ τ y O un subconjunto abierto de X A . Entonces{α −1 (πA −1 (O)) = A si O = {0}X si O = {0, 1}.78