Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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de los espacios tienen su contraparte en el otro y la función fes el puente para pasar de uno de los espacios al otro. Diremosque el intervalo (− π 2 , π ) y el espacio R son homeomorfos y que2la función f es un homeomorfismo.En general tenemos la siguiente definición.3.2.1 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es un homeomorfismo si f es continua, unoa uno y sobreyectiva y f −1 también es continua.Si existe un homeomorfismo f : X −→ Y decimos que losespacios X y Y son homeomorfos.Es inmediato que una función continua f : X −→ Y es unhomeomorfismo si y sólo si existe una función continua g : Y −→X tal que g ◦ f =id X y f ◦ g =id Y , donde id X y id Y son lasfunciones identidad de X y Y , respectivamente.Nótese que la condición de que f −1 sea continua es equivalentea afirmar que f es una función abierta, esto es, que aplica conjuntosabiertos en conjuntos abiertos, o a afirmar que f es unafunción cerrada, es decir, que aplica conjuntos cerrados en conjuntoscerrados.En resumen, una función f : X −→ Y es un homeomorfismo sies uno a uno, sobre, continua y abierta (o cerrada).Con esta observación en mente resulta ser un fácil ejercicio demostrarel siguiente resultado.3.2.2 Proposición. Si X y Y son espacios topológicos y f :X −→ Y es una función uno a uno y sobreyectiva, entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes:69
1. f es un homeomorfismo.2. Si A ⊂ X, entonces f(A) es abierto en Y si y sólo si A esabierto en X.3. Si K ⊂ X, entonces f(K) es cerrado en Y si y sólo si Kes cerrado en X.4. Si M ⊂ X, entonces f(M) = f(M).3.2.3 Observación. La relación ∼ definida en los espacios topológicospor X ∼ Y si y sólo si X y Y son homeomorfos es unarelación de equivalencia. Esto justifica el hecho de que veamosdos espacios topológicos homeomorfos como el mismo espacio.La relación “ser homeomorfos” nos permite conocer un espaciotopológico por sus características relevantes (aquellas que lohacen único) y no por los nombres de sus elementos.Cuando en la observación anterior hablamos de “característicasrelevantes” de un espacio nos estamos refiriendo a las propiedadestopológicas del espacio. Una propiedad topológica es aquella quesi la posee un espacio X, la posee también cualquier espaciohomeomorfo a X.Que los conjuntos unitarios de un espacio topológico sean conjuntoscerrados es un ejemplo de una propiedad topológica.Si f : X −→ Y es una función continua y uno a uno y sif −1 : f(X) −→ X también es continua entonces X y f(X)son homeomorfos. En este caso decimos que la función f es unainmersión de X en Y o que X está inmerso en Y . En términosprácticos, podemos pensar en X como un subespacio de Y .70
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<strong>de</strong> los espacios tienen su contraparte en el otro y la función fes el puente para pasar <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los espacios al otro. Diremosque el intervalo (− π 2 , π ) y el espacio R son homeomorfos y que2la función f es un homeomorfismo.En general tenemos la siguiente <strong>de</strong>finición.3.2.1 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es un homeomorfismo si f es continua, unoa uno y sobreyectiva y f −1 también es continua.Si existe un homeomorfismo f : X −→ Y <strong>de</strong>cimos que losespacios X y Y son homeomorfos.Es inmediato que una función continua f : X −→ Y es unhomeomorfismo si y sólo si existe una función continua g : Y −→X tal que g ◦ f =id X y f ◦ g =id Y , don<strong>de</strong> id X y id Y son lasfunciones i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> X y Y , respectivamente.Nótese que la condición <strong>de</strong> que f −1 sea continua es equivalentea afirmar que f es una función abierta, esto es, que aplica conjuntosabiertos en conjuntos abiertos, o a afirmar que f es unafunción cerrada, es <strong>de</strong>cir, que aplica conjuntos cerrados en conjuntoscerrados.En resumen, una función f : X −→ Y es un homeomorfismo sies uno a uno, sobre, continua y abierta (o cerrada).Con esta observación en mente resulta ser un fácil ejercicio <strong>de</strong>mostrarel siguiente resultado.3.2.2 Proposición. Si X y Y son espacios topológicos y f :X −→ Y es una función uno a uno y sobreyectiva, entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes:69
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