Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1,...,n f −1 (K) ∩ A i , luego f −1 (K)es cerrado y f es continua.La condición de finitud de la familia {A i } i=1,...,n dada en laproposición anterior se puede debilitar un poco si se tiene encuenta la siguiente definición.3.1.11 Definición. Una familia de subconjuntos de un espaciotopológico es localmente finita si cada punto del espacio tieneuna vecindad que tiene puntos en común con sólo un númerofinito de elementos de la familia.3.1.12 Ejemplo. La colección de todos los intervalos de la forma(n, n + 1) con n ∈ N es una familia localmente finita desubconjuntos de R, mientras que la colección de todos los intervalosabiertos en R no lo es.Tenemos el siguiente resultado.3.1.13 Proposición. Si {A α } α∈Λ es una familia localmente finitade subconjuntos cerrados de X cuya unión es X, entonces unafunción f : X −→ Y es continua si y sólo si su restricción acada A α es continua.Demostración. Como en los casos anteriores, si f es continua,f ↾ Aα es continua para cada α ∈ Λ.Recíprocamente, sea x ∈ X y sean O una vecindad abierta def(x) y V una vecindad abierta de x que tiene puntos en comúnsólo con un número finito de elementos de la familia {A α } α∈Λ .Digamos que V ∩ A αi ≠ ∅ para i = 1, ..., n y que V ∩ A α = ∅ siα ≠ α i para cada i = 1, ..., n.67
Dado i ∈ {1, ..., n} consideremos B i = V ∩ A αi . La colección{B i } i=1,...,n es una familia finita de subconjuntos cerrados de Vcuya unión es V y como la restricción de f ↾ V a B i es continuapara cada i = 1, ..., n, entonces la proposición 3.1.10 garantizaque la función f ↾ V es continua. Esto garantiza que existe unavecindad abierta W en V tal que f ↾ V (W ) ⊂ O. Esta contenenciaimplica que f es continua en x porque W es una vecindad dex en X, ya que V es abierto en X y además f(W ) = f ↾ V (W ).Puesto que x fue escogido de manera arbitraria, se concluye quef es una función continua.Ejercicios3.2. Homeomorfismos e inmersionesConsideremos la función f : (− π 2 , π ) −→ R definida por f(x) =2tan −1 x. Es bien sabido que la función f es continua, uno a unoy sobreyectiva, además, que su inversa, la co-restricción de lafunción tangente al intervalo (− π 2 , π ), también es una función2continua. Esta función f con estas características nos permitepasar del espacio topológico (− π 2 , π ) al espacio topológico R2sin perder información alguna. En otras palabras, gracias a lafunción f, conocemos la topología de uno de los espacios unavez conocemos la topología del otro.En el fondo, aunque los dos espacios son en apariencia distintos,son el mismo espacio. Los conjuntos abiertos, cerrados, lasadherencias, los interiores o los puntos de acumulación en uno68
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Dado i ∈ {1, ..., n} consi<strong>de</strong>remos B i = V ∩ A αi . La colección{B i } i=1,...,n es una familia finita <strong>de</strong> subconjuntos cerrados <strong>de</strong> Vcuya unión es V y como la restricción <strong>de</strong> f ↾ V a B i es continuapara cada i = 1, ..., n, entonces la proposición 3.1.10 garantizaque la función f ↾ V es continua. Esto garantiza que existe unavecindad abierta W en V tal que f ↾ V (W ) ⊂ O. Esta contenenciaimplica que f es continua en x porque W es una vecindad <strong>de</strong>x en X, ya que V es abierto en X y a<strong>de</strong>más f(W ) = f ↾ V (W ).Puesto que x fue escogido <strong>de</strong> manera arbitraria, se concluye quef es una función continua.Ejercicios3.2. Homeomorfismos e inmersionesConsi<strong>de</strong>remos la función f : (− π 2 , π ) −→ R <strong>de</strong>finida por f(x) =2tan −1 x. Es bien sabido que la función f es continua, uno a unoy sobreyectiva, a<strong>de</strong>más, que su inversa, la co-restricción <strong>de</strong> lafunción tangente al intervalo (− π 2 , π ), también es una función2continua. Esta función f con estas características nos permitepasar <strong>de</strong>l espacio topológico (− π 2 , π ) al espacio topológico R2sin per<strong>de</strong>r información alguna. En otras palabras, gracias a lafunción f, conocemos la topología <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los espacios unavez conocemos la topología <strong>de</strong>l otro.En el fondo, aunque los dos espacios son en apariencia distintos,son el mismo espacio. Los conjuntos abiertos, cerrados, lasadherencias, los interiores o los puntos <strong>de</strong> acumulación en uno68
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