Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1,...,n f −1 (K) ∩ A i , luego f −1 (K)es cerrado y f es continua.La condición de finitud de la familia {A i } i=1,...,n dada en laproposición anterior se puede debilitar un poco si se tiene encuenta la siguiente definición.3.1.11 Definición. Una familia de subconjuntos de un espaciotopológico es localmente finita si cada punto del espacio tieneuna vecindad que tiene puntos en común con sólo un númerofinito de elementos de la familia.3.1.12 Ejemplo. La colección de todos los intervalos de la forma(n, n + 1) con n ∈ N es una familia localmente finita desubconjuntos de R, mientras que la colección de todos los intervalosabiertos en R no lo es.Tenemos el siguiente resultado.3.1.13 Proposición. Si {A α } α∈Λ es una familia localmente finitade subconjuntos cerrados de X cuya unión es X, entonces unafunción f : X −→ Y es continua si y sólo si su restricción acada A α es continua.Demostración. Como en los casos anteriores, si f es continua,f ↾ Aα es continua para cada α ∈ Λ.Recíprocamente, sea x ∈ X y sean O una vecindad abierta def(x) y V una vecindad abierta de x que tiene puntos en comúnsólo con un número finito de elementos de la familia {A α } α∈Λ .Digamos que V ∩ A αi ≠ ∅ para i = 1, ..., n y que V ∩ A α = ∅ siα ≠ α i para cada i = 1, ..., n.67