Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funcionescontinuas entonces la compuesta g ◦ f : X −→ Z también esuna función continua.Demostración. Si O es un subconjunto abierto de Z, la continuidadde g implica que g −1 (O) es abierto en Y ; y como fes continua, f −1 (g −1 (O) es un subconjunto abierto de X. Laigualdad(g ◦ f) −1 (O) = f −1 (g −1 (O)concluye la prueba del teorema.3.1.8 Observación. Observe que si f : X −→ Y es una funcióncontinua y si A es un subespacio de X, entonces la restricciónf ↾ A de f a A también es una función continua. Además, si Yes un subespacio de Z entonces f : X −→ Y es continua si ysólo si f es continua cuando se le considera definida de X enZ.Veamos ahora cómo es posible concluir que una función es continuasi se sabe que sus restricciones a ciertos subespacios de sudominio son continuas.3.1.9 Proposición. Si {A α } α∈Λ es cualquier familia de subconjuntosabiertos de X cuya unión es X, entonces una funciónf : X −→ Y es continua si y sólo si su restricción a cada A α escontinua.Demostración. Es inmediato que si f es continua, f ↾ Aα es continuapara cada α ∈ Λ.De manera recíproca, sea O un subconjunto abierto de Y . Paracada α ∈ Λ el conjunto f ↾ −1A α(O) = f −1 (O) ∩ A α es abierto en65