Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es continua si f −1 (O) es un conjunto abiertoen X para cada conjunto abierto O de Y .Naturalmente también es posible definir lo que significa que lafunción f : X −→ Y es continua en un punto x ∈ X.3.1.2 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es continua en un punto x ∈ X si para cadavecindad V de f(x) en Y existe una vecindad U de x en X talque f(U) ⊂ V .De estas dos últimas definiciones se concluye de manera inmediataque una función f : X −→ Y es continua si y sólo si f escontinua en x para cada x ∈ X.3.1.3 Ejemplos.1. Si f : X −→ Y es una función constante de valor k, entoncesf es continua. En efecto, si O es un subconjuntoabierto de Y entonces f −1 (O) es X o ∅, dependiendo de sik es o no un elemento de O. En cualquier caso f −1 (O) esabierto en X.2. Si τ 1 y τ 2 son topologías definidas sobre un conjunto Xy si τ 1 es más fina que τ 2 (esto es τ 2 ⊂ τ 1 ), entonces lafunción idéntica id X : (X, τ 1 ) −→ (X, τ 2 ) es continua. Encaso contrario, es decir si existe un subconjunto O de X quepertenece a τ 2 pero no a τ 1 , entonces id −1X(O) no es abiertoen (X, τ 1 ). En este caso, aunque parezca sorprendente, lafunción idéntica no es continua.61
3. Si X es un espacio discreto, cualquier función con dominioX es continua.4. Si Y es un espacio grosero, es decir si los únicos subconjuntoabiertos de Y son ∅ y el mismo Y , entonces toda funcióncon codominio Y es continua.3.1.4 Observación. Si (X, τ) y (Y, µ) son espacios topológicos,si f : X −→ Y y si B es una base para la topología de Y podemoshacer las siguientes observaciones:1. Si f es continua entonces f −1 (B) es abierto en X para cadaB ∈ B.2. De manera recíproca, si f −1 (B) es abierto en X para cadaB ∈ B y O es un subconjunto abierto de Y entoncesO = ⋃ i∈I B i para alguna familia {B i } i∈I de elementos deB, luegof −1 (O) = f −1 ( ⋃ i∈IB i )= ⋃ i∈I(f −1 B i )es abierto en X.Las observaciones anteriores nos permiten concluir que una funciónf : X −→ Y es continua si y sólo si la aplicación imagenrecíproca de f aplica elementos básicos de la topología de Y ensubconjuntos abiertos de X.62
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3. Si X es un espacio discreto, cualquier función con dominioX es continua.4. Si Y es un espacio grosero, es <strong>de</strong>cir si los únicos subconjuntoabiertos <strong>de</strong> Y son ∅ y el mismo Y , entonces toda funcióncon codominio Y es continua.3.1.4 Observación. Si (X, τ) y (Y, µ) son espacios topológicos,si f : X −→ Y y si B es una base para la topología <strong>de</strong> Y po<strong>de</strong>moshacer las siguientes observaciones:1. Si f es continua entonces f −1 (B) es abierto en X para cadaB ∈ B.2. De manera recíproca, si f −1 (B) es abierto en X para cadaB ∈ B y O es un subconjunto abierto <strong>de</strong> Y entoncesO = ⋃ i∈I B i para alguna familia {B i } i∈I <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong>B, luegof −1 (O) = f −1 ( ⋃ i∈IB i )= ⋃ i∈I(f −1 B i )es abierto en X.Las observaciones anteriores nos permiten concluir que una funciónf : X −→ Y es continua si y sólo si la aplicación imagenrecíproca <strong>de</strong> f aplica elementos básicos <strong>de</strong> la topología <strong>de</strong> Y ensubconjuntos abiertos <strong>de</strong> X.62
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