Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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2. En R con topología usual, la frontera de Q (y también deR Q) es R.3. Si X es un espacio topológico, Fr X =Fr ∅ = ∅.4. Cada subconjunto cerrado de R 2 es la frontera de algún subconjuntode R 2 . En efecto, si K es cerrado y K ◦ = ∅ entoncesFr K = K. En caso contrario sea F el conjunto depuntos de K con coordenadas racionales unido con el conjuntode puntos aislados de K (x es un punto aislado de Ksi existe una vecindad V de x tal que V ∩ K = {x}). Setiene que Fr F = K.Ejercicios2.8. SubespaciosEn nuestro estudio de espacios métricos vimos que es posibleconvertir un subconjunto A de un espacio métrico (X, ρ) en unnuevo espacio métrico considerando la restricción de la función ρal conjunto A×A. Así por ejemplo, el conjunto Q de los númerosracionales “hereda” la estructura de espacio métrico usual delos números reales restringiendo la métrica usual, originalmentedefinida en R×R, al conjunto Q×Q. En el nuevo espacio métricola bola abierta de radio ɛ > 0 centrada en un número racionalx es el conjunto {y ∈ Q : |x − y| < ɛ}. Observando con unpoco de atención, nos daremos cuenta de que este conjunto esprecisamente la intersección de la bola abierta en R de radio ɛy centrada en x, con el conjunto de los números racionales. En55
ealidad cada conjunto abierto en Q resulta ser la intersecciónde un conjunto abierto en R con los números racionales. En estesentido decimos que la topología usual de Q es la “topologíaheredada” por Q de R.En general tenemos el siguiente resultado.2.8.1 Proposición. Sean (X, τ) un espacio topológico y A ⊂ X.La colección τ ′ = {O ∩ A : O ∈ τ} es una topología sobre A.Demostración. La demostración de esta proposición se deducede los siguientes hechos:1. ∅ ∩ A = ∅.2. X ∩ A = A3. (O 1 ∩ A) ∩ (O 2 ∩ A) = (O 1 ∩ O 2 ) ∩ A.4. Si {O j } j∈J es una colección de subconjuntos abiertos de Xentonces ⋃ (O j ∩ A) = ( ⋃ O j ) ∩ A.Estas observaciones dan lugar a la siguiente definición.2.8.2 Definición. Sean (X, τ) un espacio topológico y A ⊂ X.La colección {O ∩ A : O ∈ τ} es la topología heredada por Ade X o la topología inducida por X (o por la topología de X)sobre A. El espacio topológico formado se llama un subespaciode X.En adelante, a menos que se explicite lo contrario, consideraremoscada subconjunto de un espacio topológico X como un56
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- Page 104 and 105: tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
ealidad cada conjunto abierto en Q resulta ser la intersección<strong>de</strong> un conjunto abierto en R con los números racionales. En estesentido <strong>de</strong>cimos que la topología usual <strong>de</strong> Q es la “topologíaheredada” por Q <strong>de</strong> R.En general tenemos el siguiente resultado.2.8.1 Proposición. Sean (X, τ) un espacio topológico y A ⊂ X.La colección τ ′ = {O ∩ A : O ∈ τ} es una topología sobre A.Demostración. La <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> esta proposición se <strong>de</strong>duce<strong>de</strong> los siguientes hechos:1. ∅ ∩ A = ∅.2. X ∩ A = A3. (O 1 ∩ A) ∩ (O 2 ∩ A) = (O 1 ∩ O 2 ) ∩ A.4. Si {O j } j∈J es una colección <strong>de</strong> subconjuntos abiertos <strong>de</strong> Xentonces ⋃ (O j ∩ A) = ( ⋃ O j ) ∩ A.Estas observaciones dan lugar a la siguiente <strong>de</strong>finición.2.8.2 Definición. Sean (X, τ) un espacio topológico y A ⊂ X.La colección {O ∩ A : O ∈ τ} es la topología heredada por A<strong>de</strong> X o la topología inducida por X (o por la topología <strong>de</strong> X)sobre A. El espacio topológico formado se llama un subespacio<strong>de</strong> X.En a<strong>de</strong>lante, a menos que se explicite lo contrario, consi<strong>de</strong>raremoscada subconjunto <strong>de</strong> un espacio topológico X como un56
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