Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

2. En R con topología usual, la frontera de Q (y también deR Q) es R.3. Si X es un espacio topológico, Fr X =Fr ∅ = ∅.4. Cada subconjunto cerrado de R 2 es la frontera de algún subconjuntode R 2 . En efecto, si K es cerrado y K ◦ = ∅ entoncesFr K = K. En caso contrario sea F el conjunto depuntos de K con coordenadas racionales unido con el conjuntode puntos aislados de K (x es un punto aislado de Ksi existe una vecindad V de x tal que V ∩ K = {x}). Setiene que Fr F = K.Ejercicios2.8. SubespaciosEn nuestro estudio de espacios métricos vimos que es posibleconvertir un subconjunto A de un espacio métrico (X, ρ) en unnuevo espacio métrico considerando la restricción de la función ρal conjunto A×A. Así por ejemplo, el conjunto Q de los númerosracionales “hereda” la estructura de espacio métrico usual delos números reales restringiendo la métrica usual, originalmentedefinida en R×R, al conjunto Q×Q. En el nuevo espacio métricola bola abierta de radio ɛ > 0 centrada en un número racionalx es el conjunto {y ∈ Q : |x − y| < ɛ}. Observando con unpoco de atención, nos daremos cuenta de que este conjunto esprecisamente la intersección de la bola abierta en R de radio ɛy centrada en x, con el conjunto de los números racionales. En55