Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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2.7. Interior, exterior y frontera de un conjuntoEstudiaremos ahora un concepto tan importante en topologíacomo el concepto de punto adherente.2.7.1 Definición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. Un punto x ∈ X es interior a A si existe unavecindad de x contenida en A. El conjunto de todos los puntosinteriores a A se denota por A ◦ y se llama el interior de A.De la definición anterior se concluye que A ◦ ⊂ A para todoA ⊂ X como también que si A y B son subconjuntos de X yA ⊂ B entonces A ◦ ⊂ B ◦ .El siguiente resultado caracteriza el interior de un conjunto y sudemostración es inmediata.2.7.2 Proposición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. EntoncesA ◦ = ⋃ {U ⊂ X : U es un conjunto abierto y U ⊂ A}.En la siguiente proposición se resumen algunas de las más importantespropiedades de la operación interior A ↦−→ A ◦ : P(X) −→P(X).2.7.3 Proposición. Sea X un espacio topológico.1. (A ◦ ) ◦ = A ◦ para cada A ⊂ X.2. (A ∩ B) ◦ = A ◦ ∩ B ◦ para cada A, B ⊂ X.51
3. A ⊂ X es abierto si y sólo si A ◦ = A.Demostración. La demostración es consecuencia inmediata de ladefinición.Tal como sucede con las operaciones de adherencia, dado unconjunto X y una función A ↦−→ A ◦ : P(X) −→ P(X) conciertas propiedades, se puede encontrar una topología sobre Xen la que el interior de cada subconjunto de X está determinadopor la función. Este es el resultado que se presenta en la siguienteproposición.2.7.4 Proposición. Sea X un conjunto y supongamos que seha definido una operación A ↦−→ A ◦ : P(X) −→ P(X) tal que1. A ◦ ⊂ A para cada A ⊂ X.2. (A ◦ ) ◦ = A ◦ para cada A ⊂ X.3. (A ∩ B) ◦ = A ◦ ∩ B ◦ para cada A, B ⊂ X.4. X ◦ = X.Existe una topología sobre X cuya operación de interior es precisamenteA ↦−→ A ◦ .En este caso se definen los conjuntos abiertos como aquellosconjuntos que son iguales a su interior. La prueba de que estosconjuntos forman la topología buscada es sencilla y la omitiremosaquí.52
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3. A ⊂ X es abierto si y sólo si A ◦ = A.Demostración. La <strong>de</strong>mostración es consecuencia inmediata <strong>de</strong> la<strong>de</strong>finición.Tal como suce<strong>de</strong> con las operaciones <strong>de</strong> adherencia, dado unconjunto X y una función A ↦−→ A ◦ : P(X) −→ P(X) conciertas propieda<strong>de</strong>s, se pue<strong>de</strong> encontrar una topología sobre Xen la que el interior <strong>de</strong> cada subconjunto <strong>de</strong> X está <strong>de</strong>terminadopor la función. Este es el resultado que se presenta en la siguienteproposición.2.7.4 Proposición. Sea X un conjunto y supongamos que seha <strong>de</strong>finido una operación A ↦−→ A ◦ : P(X) −→ P(X) tal que1. A ◦ ⊂ A para cada A ⊂ X.2. (A ◦ ) ◦ = A ◦ para cada A ⊂ X.3. (A ∩ B) ◦ = A ◦ ∩ B ◦ para cada A, B ⊂ X.4. X ◦ = X.Existe una topología sobre X cuya operación <strong>de</strong> interior es precisamenteA ↦−→ A ◦ .En este caso se <strong>de</strong>finen los conjuntos abiertos como aquellosconjuntos que son iguales a su interior. La prueba <strong>de</strong> que estosconjuntos forman la topología buscada es sencilla y la omitiremosaquí.52
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