Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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3. Si X es un conjunto infinito y para cada A ⊂ X definimos{A si A es finitoA =X si A es infinito,obtenemos la topología de complementos finitos sobre X.4. Si para cada A ⊂ R definimos⎧(−∞, sup A] si A es no vacío y está acotado⎪⎨A = Rsuperiormentesuperiormente⎪⎩∅ si A = ∅,si A es no vacío y no está acotadoobtenemos la topología de colas a derecha sobre R.5. Sean X un conjunto y B un subconjunto fijo de X. Paracada A ⊂ X definimos{A ∪ B si A ≠ ∅A =∅ si A = ∅.La función A ↦−→ A es una operación de adherencia queda lugar a una topología sobre X para la cual los conjuntoscerrados son ∅ y los subconjuntos de X que contienen a B.Ejercicios49
2.6. Puntos de acumulaciónEl concepto que estudiaremos ahora permite también caracterizarlos conjuntos cerrados en un espacio topológico.2.6.1 Definición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. Un punto x ∈ X es un punto de acumulaciónde A si para cada vecindad V de x se tiene V ∩ (A {x} ≠ ∅.El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se denotapor A ′ y se llama el derivado de A.De la definición se tieneasí como también queA ′ ⊂ AA = A ∪ A ′y de esta última igualdad se concluye que un conjunto A escerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.2.6.2 Ejemplo. Observe { que en R}con la topología usual, cada1punto del conjunto A =n : n ∈ N es adherente a A pero queningún elemento de A es punto de acumulación de A. El únicopunto de acumulación de este conjunto es 0.Ejercicios50
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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