Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

2. A ∪ B = A ∪ B para cada A, B ⊂ X.3. A ⊂ X es cerrado si y sólo si A = A.Demostración.1. Por ser intersección de conjuntos cerrados, A es un conjuntocerrado que contiene a A. Entonces A ⊂ A. La otrainclusión es inmediata.2. El conjunto A ∪ B es cerrado y contiene a A ∪ B, entoncescontiene también a A ∪ B, entonces A ∪ B ⊂ A ∪ B. Porotro lado, puesto que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B se tiene queA ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B, entonces A ∪ B ⊂ A ∪ B.3. Si A es cerrado, A ⊂ A, lo que implica A = A. Por otraparte, si A = A y x /∈ A existe V ∈ V(x) tal que V ∩A = ∅.Entonces V ⊂ A c , de donde A c es abierto y A es cerrado.Cuando se tiene un espacio topológico X automáticamente setiene una función, que se llama operación de adherencia de Kuratowski,de P(X) en P(X) que asigna a cada subconjunto A deX su adherencia A. De manera recíproca, dado un conjunto X yuna función A ↦−→ A : P(X) −→ P(X) con las propiedades adecuadas,se puede encontrar una topología sobre X en la que laadherencia de cada subconjunto de X está dada por la función.Este es el resultado que se presenta en la siguiente proposición.2.5.5 Proposición. Sea X un conjunto y supongamos que seha definido una operación A ↦−→ A : P(X) −→ P(X) tal que46