Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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0.2. Unión, intersección y diferencia de conjuntosSi A y B son conjuntos entoncesla unión de A y B,que denotamos A ∪ B es elconjunto formado por los elementosque pertenecen a A opertenecen a B. Es decirA∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.Si A y B son conjuntos entoncesla intersección de A yB, que denotamos A∩B, es elconjunto formado por los elementosque pertenecen a A ysimultáneamente pertenecena B. Es decirA∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.Si A ∩ B = ∅ decimos que A y B son disyuntos.De las definiciones se concluye que A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B,A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B.3
Además se satisfacen las siguientes propiedades:1. A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A.2. A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A.3. A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todo conjunto A ytodo conjunto B.4. A ∪ B = A si y sólo si B ⊂ A.5. A ∩ B = A si y sólo si A ⊂ B.6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.7. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.9. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.La siguiente operación que mencionaremos es la diferencia deconjuntos.4
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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