Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

olas abiertas en un espacio métrico. Esto es, partiendo de unabase para una topología sobre X. Ahora veremos que si tomamoscomo punto de partida colecciones con las mismas propiedadesde las vecindades de los puntos, también podemos generar unatopología sobre el conjunto X.2.3.3 Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X seha asignado una colección V(x) de subconjuntos de X tal que:1. x ∈ V para cada V ∈ V(x),2. si U, V ∈ V(x) entonces U ∩ V ∈ V(x),3. si U ∈ V(x) entonces existe V ∈ V(x) tal que U ∈ V(y)para cada y ∈ V ,4. si U ∈ V(x) y U ⊂ V entonces V ∈ V(x),entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ∈ Xla colección V(x) es precisamente la colección de vecindades dex.Demostración. Diremos que un conjunto A ⊂ X es “abierto” sipara cada x ∈ A existe V ∈ V(x) tal que V ⊂ A. Demostraremosahora que la colección de conjuntos “abiertos” es una topologíasobre X y que la colección de vecindades de cada x ∈ X es V(x).1. Es inmediato que ∅ y X son conjuntos “abiertos”.2. Si A y B son conjuntos “abiertos” y si x ∈ A ∩ B, existenU, V ∈ V(x) tales que U ⊂ A y V ⊂ B. Por hipótesisU ∩ V ∈ V(x) y puesto que U ∩ V ⊂ A ∩ B, A ∩ B es unconjunto “abierto” .36