Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

1.3.3 Definición. Sean X un espacio métrico y x ∈ X. Unsubconjunto V de X es una vecindad de x si existe ɛ > 0 talque B(x, ɛ) ⊂ V . Denotamos por V(x) al conjunto de todas lasvecindades del punto x.1.3.4 Ejemplos.1. En los números reales el intervalo [1, +∞) es una vecindadde 3 (en realidad es una vecindad de cualquier real mayorque 1); pero no es una vecindad de 1.2. El conjunto {x ∈ R : |x| > 2} es una vecindad de 3 en R.3. La bola cerrada B[x, 1] es una vecindad de x = (0, 0) en R 2 .4. El conjunto A = {(x, y) : y < x} es una vecindad de cadauno de los puntos de A.5. El conjunto {f : R −→ R : |f(x)| < 2 para cada x ∈ R}es una vecindad de la función arctan x en el espacio defunciones acotadas definido en el numeral 5. de 1.1.2..Los items 2 y 4 de los ejemplos anteriores muestran conjuntosmuy especiales en los que se basará todo nuestro estudio entopología. Tienen en común la característica de ser vecindadesde cada uno de sus puntos. De estos conjuntos diremos que sonconjuntos abiertos.1.3.5 Definición. Un subconjunto A de un espacio métrico Xes un conjunto abierto en X si A es vecindad de cada uno desus puntos.24