Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Una de las propiedades más bonitas y relevantes de las bolas enun espacio métrico se enuncia en el siguiente resultado:1.3.2 Proposición. Si (X, d) es un espacio métrico, si a y bson elementos de X, si ɛ y δ son números reales positivos y six ∈ B(a, ɛ) ∩ B(b, δ) entonces existe γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂B(a, ɛ) ∩ B(b, δ).Para probar esta proposición basta considerar γ = mín{ɛ −d(a, x), δ − d(x, b)} y utilizar la desigualdad triangular.En los espacios métricos tenemos la posibilidad de hablar de“cercanía”. Decir que un punto está tan cerca de otro comoqueramos, significa que los puntos están a una distancia menorque un número positivo que hemos fijado con anterioridad. Enotras palabras, si para nosotros “estar suficientemente cerca”de un punto a significa estar a una distancia menor que uncierto número ɛ > 0, entonces los “vecinos” de a o los puntos“suficientemente cercanos a a” son precisamente los elementosdel conjunto B(a, ɛ). Estas consideraciones sugieren la siguientedefinición:23