Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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De la misma forma si se escoge b ∈ A tal que d(x, b) < d(x, A)+δse encuentra queEntoncesEsto completa la demostración.d(x 0 , A) < ɛ + d(x, A).|d(x, A) − d(x 0 , A)| < ɛ.Ejercicios1.3. Topología de un espacio métrico1.3.1 Definición. Sean (X, d) un espacio métrico, x ∈ X yɛ > 0. El conjunto B(x, ɛ) = {y ∈ X : d(x, y) < ɛ} se llamala bola abierta centrada en x con radio ɛ. El conjunto B[x, ɛ] ={y ∈ X : d(x, y) ≤ ɛ} se llama la bola cerrada centrada en xcon radio ɛ.Nótese que en R, la bola abierta centrada en un número real xcon radio ɛ es el intervalo abierto (x − ɛ, x + ɛ).La siguiente figura muestra la bola abierta de radio 1 centradaen el origen, para cada una de las métricas ρ, ρ 1 y ρ 2 definidassobre R 2 en los numerales 2, 3 y 4 de los ejemplos 1.1.2..21
Por su parte, la bola abierta de radio ɛ centrada en una funciónf : R −→ R que pertenezca al espacio métrico descrito en elnumeral 5. de los ejemplos 1.1.2., está formada por las funcionesacotadas que tienen su gráfica contenida en la franja que muestrala siguiente figura:Si X es un espacio discreto, es decir si en X consideramos lamétrica discreta, entonces la bola abierta de radio ɛ > 0 centradaen un punto x ∈ X se reduce a {x} si ɛ ≤ 1 y es todo el conjuntoX si ɛ > 1.Si X es el Espacio Métrico de Sierpinski definido en el numeral8 de 1.1.2. entonces la bola de radio 0 < ɛ ≤ 1 centrada encualquier punto x ∈ X se reduce a {x}.22
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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