Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo espacio seudométrico es completamenteregular.2. Demuestre que todo espacio métrico es un espacio de Tychonoff.3. Sea τ la topología sobre R en la cual las vecindades básicasde cada número real x ≠ 0 son los intervalos abiertosusuales centrados en x mientras que las vecindades básicasde 0 son los conjuntos de la forma (−ɛ, ɛ) ∪ (−∞, −n) ∪(n, ∞), donde ɛ > 0 y n es un entero positivo. Muestre queel espacio (R, τ) es un espacio de Tychonoff.4. Demuestre que el plano de Moore es un espacio de Tychonoff.5. Demuestre que cada subespacio de un espacio completamenteregular (resp. de un espacio de Tychonoff) es completamenteregular. (resp. de Tychonoff).6. Demuestre que un producto no vacío de espacios topológicoses completamente regular (resp. de Tychonoff) si y sólosi cada factor es un espacio completamente regular (resp.un espacio de Tychonoff).7. Pruebe que un espacio topoloógico X es completamenteregular si y sólo si tiene la topología inicial inducida por sufamilia C ∗ (X) de funciones continuas y acotadas definidasde X en R.8. Cualquier producto de intervalos cerrados y acotados en Rrecibe el nombre de cubo. Pruebe que un espacio topológico169
X es un espacio de Tychonoff si y sólo si es homeomorfo a unsubespacio de algún cubo. (Sugerencia: Si X es un espaciode Tychonoff, utilice el ejercicio anterior. Observe que cadafunción f ∈ C ∗ (X) tiene como rango un subconjunto deun intervalo cerrado y acotado I f y considere la funciónevaluación e : X −→ ∏ I f definida por [e(x)] f = f(x)).Regresar170
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- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
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- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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- Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
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- Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
- Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo espacio seudométrico es completamenteregular.2. Demuestre que todo espacio métrico es un espacio <strong>de</strong> Tychonoff.3. Sea τ la topología sobre R en la cual las vecinda<strong>de</strong>s básicas<strong>de</strong> cada número real x ≠ 0 son los intervalos abiertosusuales centrados en x mientras que las vecinda<strong>de</strong>s básicas<strong>de</strong> 0 son los conjuntos <strong>de</strong> la forma (−ɛ, ɛ) ∪ (−∞, −n) ∪(n, ∞), don<strong>de</strong> ɛ > 0 y n es un entero positivo. Muestre queel espacio (R, τ) es un espacio <strong>de</strong> Tychonoff.4. Demuestre que el plano <strong>de</strong> Moore es un espacio <strong>de</strong> Tychonoff.5. Demuestre que cada subespacio <strong>de</strong> un espacio completamenteregular (resp. <strong>de</strong> un espacio <strong>de</strong> Tychonoff) es completamenteregular. (resp. <strong>de</strong> Tychonoff).6. Demuestre que un producto no vacío <strong>de</strong> espacios topológicoses completamente regular (resp. <strong>de</strong> Tychonoff) si y sólosi cada factor es un espacio completamente regular (resp.un espacio <strong>de</strong> Tychonoff).7. Pruebe que un espacio topoloógico X es completamenteregular si y sólo si tiene la topología inicial inducida por sufamilia C ∗ (X) <strong>de</strong> funciones continuas y acotadas <strong>de</strong>finidas<strong>de</strong> X en R.8. Cualquier producto <strong>de</strong> intervalos cerrados y acotados en Rrecibe el nombre <strong>de</strong> cubo. Pruebe que un espacio topológico169
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