Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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5. Demuestre que el espacio topológico X es un espacio deHausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X. (Una demostración elegante se obtieneconsiderando la función idéntica de X en X y utilizandolos resultados de las proposiciones 5.2.3 y 5.2.4.)6. Demuestre que si f es una función continua y abierta de Xsobre Y , entonces Y es un espacio de Hausdorff si y sólo si{(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X × X.7. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidasde X en Y y si Y es un espacio de Hausdorff, entonces elconjunto {x : f(x) = g(x)} es cerrado en X.8. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidasde X en Y , si Y es un espacio de Hausdorff, y si f y gcoinciden en un subconjunto denso de X, entonces f = g.Regresar167
Ejercicios 5.31. Consideremos R con la topología τ = {∅, Q, R Q, R}.Pruebe que (R, τ) es un espacio regular que no es un espaciode Hausdorff.2. Pruebe que un espacio regular es un espacio de Hausdorffsi y sólo si es T 1 .3. Determine si el plano de Moore es o no un espacio regular.4. Sea τ la topología usual sobre el conjunto de los númerosreales y τ∗ = τ ∪ {Q ∪ U : U ∈ τ}.a) Pruebe que τ∗ es una topología sobre R.b) Demuestre que (R, τ∗) es un espacio de Hausdorff.c) Demuestre que (R, τ∗) no es regular. (Sugerencia: observeque Q es abierto en (R, τ∗) y que ningún puntode Q se puede separar de R Q con conjuntos abiertosdisyuntos.)5. Demuestre que todo subespacio de un espacio regular (resp.T 3 ) es un espacio regular (resp. T 3 ).6. Demuestre que un producto arbitrario de espacios regulares(resp. T 3 ) no vacíos es un espacio regular (resp. T 3 ), si ysólo si cada uno de los factores lo es.Regresar168
- Page 118 and 119: c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
- Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
- Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
- Page 130 and 131: Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
- Page 132 and 133: g) En el conjunto C(I) de todas las
- Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
- Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
- Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
- Page 144 and 145: a) Sean τ la topología usual sobr
- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
- Page 148 and 149: Ejercicios 2.61. Explique clarament
- Page 150 and 151: Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
- Page 152 and 153: Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
- Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
- Page 156 and 157: Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
- Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
- Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
- Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
- Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
- Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
- Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
- Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
- Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
5. Demuestre que el espacio topológico X es un espacio <strong>de</strong>Hausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X. (Una <strong>de</strong>mostración elegante se obtieneconsi<strong>de</strong>rando la función idéntica <strong>de</strong> X en X y utilizandolos resultados <strong>de</strong> las proposiciones 5.2.3 y 5.2.4.)6. Demuestre que si f es una función continua y abierta <strong>de</strong> Xsobre Y , entonces Y es un espacio <strong>de</strong> Hausdorff si y sólo si{(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X × X.7. Demuestre que si f y g son funciones continuas <strong>de</strong>finidas<strong>de</strong> X en Y y si Y es un espacio <strong>de</strong> Hausdorff, entonces elconjunto {x : f(x) = g(x)} es cerrado en X.8. Demuestre que si f y g son funciones continuas <strong>de</strong>finidas<strong>de</strong> X en Y , si Y es un espacio <strong>de</strong> Hausdorff, y si f y gcoinci<strong>de</strong>n en un subconjunto <strong>de</strong>nso <strong>de</strong> X, entonces f = g.Regresar167
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