Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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6. Pruebe que el espacio de Sierpinski no es un espacio T 1 .7. Sea X un conjunto ordenado y considere la topología de lascolas a derecha definida sobre X. Demuestre que X no esun espacio T 1 .8. Demuestre que todo subespacio de un espacio T 1 es un espacioT 1 .9. Demuestre que un producto arbitrario de espacios T 1 novacíos es un espacio T 1 si y sólo si cada uno de los factoreslo es.Regresar165
Ejercicios 5.21. Determine cuáles de los siguientes espacios son de Hausdorff.En cada caso justifique plenamente su respuesta.a) El plano de Moore.b) El plano ranurado.c) Los números reales con la topología para la cual cadanúmero real x distinto de 0 tiene como sistema fundamentalde vecindades los intervalos abiertos centradosen x, mientras que las vecindades fundamentales de0 son los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪(n, ∞), donde n ∈ N y ɛ > 0.2. Demuestre que todo subespacio de un espacio de Hausdorffes un espacio de Hausdorff.3. Demuestre que un producto arbitrario de espacios de Hausdorffno vacíos es un espacio de Hausdorff si y sólo si cadauno de los factores lo es.4. Recuerde que una sucesión (x n ) n∈N en un espacio topológicoX converge a un punto x ∈ X si y sólo si para cada vecindadV de x existe N ∈ N de tal manera que x n ∈ V para cadan ≥ N.a) Demuestre que si X es un espacio de Hausdorff entoncescada sucesión en X converge a lo más a un punto deX.b) Considere X = R con la topología de los complementosfinitos. Demuestre que existen sucesiones en X queconvergen a más de un punto simultáneamente.166
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- Page 118 and 119: c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
- Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
- Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
- Page 130 and 131: Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
- Page 132 and 133: g) En el conjunto C(I) de todas las
- Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
- Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
- Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
- Page 144 and 145: a) Sean τ la topología usual sobr
- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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- Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
- Page 156 and 157: Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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6. Pruebe que el espacio <strong>de</strong> Sierpinski no es un espacio T 1 .7. Sea X un conjunto or<strong>de</strong>nado y consi<strong>de</strong>re la topología <strong>de</strong> lascolas a <strong>de</strong>recha <strong>de</strong>finida sobre X. Demuestre que X no esun espacio T 1 .8. Demuestre que todo subespacio <strong>de</strong> un espacio T 1 es un espacioT 1 .9. Demuestre que un producto arbitrario <strong>de</strong> espacios T 1 novacíos es un espacio T 1 si y sólo si cada uno <strong>de</strong> los factoreslo es.Regresar165
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