Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f : X −→ Y es una función continua ysobreyectiva que es además abierta o cerrada, entonces fes una aplicación cociente.2. Sean X y Y espacios topológicos y consideremos el espacioproducto X × Y . ¿Son las proyecciones canónicas, π 1 : X ×Y −→ X y π 2 : X × Y −→ Y , aplicaciones cociente?3. Suponga que f : X −→ Y una función continua. Si X tienela topología inicial inducida por f, ¿se puede asegurar quef es una aplicación cociente? Justifique su respuesta conuna demostración o un contraejemplo.4. Dé un ejemplo de una aplicación cociente que no sea niabierta ni cerrada.5. Definimos la relación ∼ en el plano por (x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 )si y sólo si y 0 = y 1 .a) Muestre que ∼ es una relación de equivalencia.b) Determine la clase de equivalencia de un punto (x, y)del plano.c) Pruebe que el espacio cociente R/∼ es homeomorfo aR.6. Dé un ejemplo de una función continua y sobreyectiva queno sea una aplicación cociente.Regresar163
Ejercicios 5.11. Demuestre que cualquier conjunto X con la topología decomplementos finitos (resp. contables) es un espacio T 0 .2. Demuestre que cualquier conjunto X totalmente ordenado,con la topología de las colas a la derecha es un espacio T 0 .3. Pruebe que el espacio de Sierpinski de tres puntos, C ={0, 1, 2} con la topología {∅, {0}, C}, no es un espacioT 0 .4. Sea X un espacio topológico cualquiera y sea ∼ la relacióndefinida sobre X por x ∼ y si y sólo si {x} = {y}. Demuestrelos siguientes hechos:a) ∼ es una relación de equivalencia sobre X.b) El espacio cociente X/∼ es un espacio T 0 .5. Demuestre que los siguientes espacios son T 1 .a) Cualquier conjunto con la topología de los complementosfinitos (resp. contables).b) Todo espacio discreto.c) El plano de Moore.d) El plano ranurado.e) Los números reales con la topología para la cual cadanúmero real x distinto de 0 tiene como sistema fundamentalde vecindades los intervalos abiertos centradosen x, mientras que las vecindades fundamentales de0 son los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪(n, ∞), donde n ∈ N y ɛ > 0.164
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- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f : X −→ Y es una función continua ysobreyectiva que es a<strong>de</strong>más abierta o cerrada, entonces fes una aplicación cociente.2. Sean X y Y espacios topológicos y consi<strong>de</strong>remos el espacioproducto X × Y . ¿Son las proyecciones canónicas, π 1 : X ×Y −→ X y π 2 : X × Y −→ Y , aplicaciones cociente?3. Suponga que f : X −→ Y una función continua. Si X tienela topología inicial inducida por f, ¿se pue<strong>de</strong> asegurar quef es una aplicación cociente? Justifique su respuesta conuna <strong>de</strong>mostración o un contraejemplo.4. Dé un ejemplo <strong>de</strong> una aplicación cociente que no sea niabierta ni cerrada.5. Definimos la relación ∼ en el plano por (x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 )si y sólo si y 0 = y 1 .a) Muestre que ∼ es una relación <strong>de</strong> equivalencia.b) Determine la clase <strong>de</strong> equivalencia <strong>de</strong> un punto (x, y)<strong>de</strong>l plano.c) Pruebe que el espacio cociente R/∼ es homeomorfo aR.6. Dé un ejemplo <strong>de</strong> una función continua y sobreyectiva queno sea una aplicación cociente.Regresar163
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