Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual
Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos y sea X =∏i∈I X i. Demuestre que la proyección π i : X −→ X i es unaaplicación abierta para cada i ∈ I.2. Sean (X i )i ∈ I una familia de espacios topológicos, X =∏i∈N X i, W un espacio topológico arbitrario y para cadai ∈ I sea f i : W −→ X i una función continua. Demuestreque la función f : W −→ X definida por f(w) = (f i (w)) i∈Ies continua.3. Sean (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos,X = ∏ i∈I X i, π i : X −→ X i la proyección canónica paracada i ∈ I y consideremos Y un subespacio de X. Para cadai ∈ I, denotemos por p i la restricción de p i al conjuntoY . Demuestre que la topología de subespacio sobre Y es latopología inicial inducida por la familia de funciones (p i ) i∈I .4. Sean (X i , m i ) i∈N una familia enumerable de espacios métricosy sea X = ∏ i∈N X i.a) Para cada i ∈ I, sea m i ∗ la métrica sobre X i definidapor m i ∗ (a, b) = mín{1, m i (a, b)). Demuestre que lafunción m : X × X −→ R definida porm(x, y) =∞∑i=1m i ∗ (x i , y i ),2donde x = (x i ) y y = (y i ), es una métrica sobre X.b) Demuestre que la topología producto sobre X es la mismatopología inducida por la métrica m.Regresar161
Ejercicios 4.41. Demuestre que si X tiene la topología grosera entonces latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y no es necesariamente la topología grosera.2. Suponga que X tiene la topología discreta. Pruebe que latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y es la topología discreta.3. Considere la topología de los complementos finitos definidasobre el conjunto de los números racionales. ¿Cuál es latopología final sobre R inducida por la inclusión de Q enR?4. Resuelva el ejercicio anterior pero considerando R Q enlugar de Q y la topología de los complementos contablessobre R Q.5. Considere la topología de las colas a la derecha definidasobre el conjunto de los números reales. ¿Cuál es latopología final sobre Z inducida por la función parte entera,x ↦−→ [x] : R −→ Z?6. Considere la topología usual sobre R 2 . ¿Cuál es la topologíafinal sobre R inducida por la función que aplica a cadapunto del plano en su distancia usual al origen?Regresar162
- Page 112 and 113: cada i = 1, ..., N, escogemos una v
- Page 114 and 115: En los espacios 1-enumerables, las
- Page 116 and 117: 3. Cualquier subespacio de un espac
- Page 118 and 119: c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
- Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
- Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
- Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
- Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
- Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
- Page 130 and 131: Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
- Page 132 and 133: g) En el conjunto C(I) de todas las
- Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
- Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
- Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
- Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
- Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
- Page 144 and 145: a) Sean τ la topología usual sobr
- Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
- Page 148 and 149: Ejercicios 2.61. Explique clarament
- Page 150 and 151: Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
- Page 152 and 153: Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
- Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
- Page 156 and 157: Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
- Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
- Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
- Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
- Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
- Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
- Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
- Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
- Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
Ejercicios 4.41. Demuestre que si X tiene la topología grosera entonces latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y no es necesariamente la topología grosera.2. Suponga que X tiene la topología discreta. Pruebe que latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y es la topología discreta.3. Consi<strong>de</strong>re la topología <strong>de</strong> los complementos finitos <strong>de</strong>finidasobre el conjunto <strong>de</strong> los números racionales. ¿Cuál es latopología final sobre R inducida por la inclusión <strong>de</strong> Q enR?4. Resuelva el ejercicio anterior pero consi<strong>de</strong>rando R Q enlugar <strong>de</strong> Q y la topología <strong>de</strong> los complementos contablessobre R Q.5. Consi<strong>de</strong>re la topología <strong>de</strong> las colas a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong>finidasobre el conjunto <strong>de</strong> los números reales. ¿Cuál es latopología final sobre Z inducida por la función parte entera,x ↦−→ [x] : R −→ Z?6. Consi<strong>de</strong>re la topología usual sobre R 2 . ¿Cuál es la topologíafinal sobre R inducida por la función que aplica a cadapunto <strong>de</strong>l plano en su distancia usual al origen?Regresar162
Change language