Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos espacios topológicos y π 1 : X × Y −→ Xy y π 2 : X × Y −→ Y las proyecciones canónicas.a) Pruebe que π 1 y π 2 son funciones abiertas.b) Muestre con un ejemplo que π 1 y π 2 pueden no serfunciones ceradas.2. Sea X un espacio con un número finito de puntos y sea Ycualquier espacio topológico. Demuestre que la proyecciónπ 2 : X × Y −→ Y es una aplicación cerrada.3. Sea X un espacio con la topología grosera y sea Y cualquierespacio topológico. Demuestre que la proyección π 2 : X ×Y −→ Y es una aplicación cerrada.4. Sean (X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., (X 1 , m 1 ) espacios topológicos,X = X 1 ×X 2 ×...×X n , W un espacio topológico cualquieray para cada i = 1, ..., n sea f i : W −→ X i una funcióncontinua. Pruebe que la función f : W −→ X definida porf(w) = (f 1 (w), ..., f n (w)) es continua.5. Sean (X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., (X 1 , m 1 ) espacios métricos ysea X = X 1 × X 2 × ... × X n .a) Demuestre que la función m : X × X −→ R definidapor∑m(x, y) = √ n m i (x i , y i ) 2 ,i=1donde x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) y y = (y 1 , y 2 , ..., y n ), es unamétrica sobre X.159