Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Capítulo 1Espacios Métricos1.1. Métricas y seudométricas1.1.1 Definición. Sea X un conjunto. Una métrica sobre Xes una función ρ : X × X −→ R tal que:1. ρ(x, y) ≥ 0,2. ρ(x, y) = 0 si y sólo si x = y,3. ρ(x, y) = ρ(y, x) y4. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (<strong>de</strong>sigualdad triangular)para todo x, y, z ∈ X. Si ρ es una métrica sobre X <strong>de</strong>cimosque (X, ρ), o simplemente X, si no hay lugar a confusión sobrela métrica con la que se trabaja, es un espacio métrico.1.1.2 Ejemplos.1. Si X es un conjunto cualquiera, la función ρ : X ×X −→ R15
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A α ; pero como A α es abierto en
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Dado i ∈ {1, ..., n} consideremos
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1. f es un homeomorfismo.2. Si A
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Capítulo 4Topologías iniciales yT
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que la aplicación idéntica id X :
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4.2.2 Observación. En general, si
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Hay una gran cantidad de ejemplos d
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Para⋃cada x ∈ X definimos la fu
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X tal que para cada i ∈ I, las in
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4.5.1 Ejemplos.1. Sea X = {(x, y)
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centrada en z está contenida en π
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Capítulo 5Propiedades de Separaci
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7. Sea (X i ) i∈I una familia de
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2. Para cada x ∈ X, el conjunto {
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Es inmediato que todo espacio de Ha
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5.3. Espacios regulares y Espacios
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5.3.6 Proposición. Sea X un espaci
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La siguiente definición caracteriz
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2. Un producto no vacío de espacio
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5.5.3 Ejemplo.Vimos que R con la to
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En los espacios métricos tenemos e
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a) Si f(x) = 1, entonces x /∈ U r
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yB 0 = f −1 ([ 13 , 1 ]).Por el l
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esultados propios de los espacios m
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De manera recíproca, supongamos qu
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9. Determine cuáles de las siguien
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g) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 1.11. Demuestre que las
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c) Pruebe que si R y R 2 tienen cad
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) Si A es un subconjunto abierto de
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a) Describa la base B generada por
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Ejercicios 2.31. Suponga que X es u
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Ejercicios 2.5{ }−11. Consideremo
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c) (A ∩ B) ′ = A ′ ∩ B ′
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e) [1, ∞).f ){− 1 }n : n ∈ N
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Ejercicios 3.11. Demuestre que toda
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c) Sean X y Y espacios topológicos
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8. Utilice el ejercicio anterior pa
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a) Demuestre que m es una métrica
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) Demuestre que la topología produ
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Ejercicios 4.41. Demuestre que si X
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Ejercicios 5.11. Demuestre que cual
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Ejercicios 5.31. Consideremos R con
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X es un espacio de Tychonoff si y s
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Ejercicios 5.61. Suponga que A es c
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10. Sea X un espacio 2-enumerable.
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