Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y tiene la topología grosera entonces latopología inicial sobre un conjunto X inducida por una funciónf : X −→ Y es la topología grosera.2. Suponga que Y tiene la topología discreta.a) Pruebe que la topología inicial sobre un conjunto Xinducida por una función uno a uno f : X −→ Y es latopología discreta.b) ¿Qué ocurre si f no es uno a uno?3. Considere la topología de los complementos contables definidasobre el conjunto de los números reales. ¿Cuál es latopología inicial sobre Q inducida por la inclusión de Qen R?4. Resuelva el ejercicio anterior pero considerando R Q enlugar de Q.5. Considere la topología de las colas a la derecha definidasobre el conjunto de los números enteros. ¿Cuál es latopología inicial sobre R inducida por la función parte entera,x ↦−→ [x] : R −→ Z?6. Considere la topología usual sobre el conjunto de los númerosreales. ¿Cuál es la topología inicial sobre R 2 inducida porla función que aplica a cada punto del plano en su distanciausual al origen?7. Sean (Y, d) un espacio métrico y f : X −→ Y una función.Definimos la función m : X × X −→ R por m(x 1 , x 2 ) =d(f(x 1 ), f(x 2 )).157