Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacios topológicos y f : X −→ Y una funciónuno a uno y sobreyectiva. Demuestre que las siguientesafirmaciones son equivalentes:a) f es un homeomorfismo.b) Si A ⊂ X, entonces f(A) es abierto en Y si y sólo si Aes abierto en X.c) Si K ⊂ X, entonces f(K) es cerrado en Y si y sólo siK es cerrado en X.d) Si M ⊂ X, entonces f(M) = f(M).2. Pruebe que la relación ∼ definida en los espacios topológicospor X ∼ Y si y sólo si X y Y son homeomorfos esuna relación de equivalencia.3. Muestre que cada intervalo abierto (a, b) en R, con a > bes homeomorfo al intervalo (0, 1).4. Muestre que cada intervalo cerrado [a, b] en R, con a > b eshomeomorfo al intervalo [0, 1].5. Defina un homeomorfismo de N con la topología discretaen Z también con la topología discreta.6. Sean τ 1 y τ 2 dos topologías definidas sobre el mismo conjuntoX. Pruebe que la función idéntica Id X : (X, τ 1 ) −→(X, τ 2 ) es un homeomorfismo si y sólo si τ 1 = τ 2 .7. Pruebe que la propiedad de que cada función continua devalor real sobre un conjunto X tome un valor máximo esuna propiedad topológica.155